这个“√”，能给这位学生吗？

顾利国　严育洪

“望”：病例观察

苏教版教材四年级上册第四单元内容为“混合运算”，乘法和加减法混合运算是本单元的第一课时内容。上完这节课后，教师在批改作业时，发现一位学生在计算48 + 21×3的脱式书写是这样的（如下左式），对此教师自认为这位学生如此书写是自觉运用加法交换律的结果（“运算律”是本册教材第八单元的内容，但之前的教材中已有渗透），虽然感觉此处交换加数的位置并没有什么价值，但也为学生具有这样好的运算理解能力暗暗叫好，于是决然地打上了一个“√”。

批阅继续进行，但教师看到这位学生计算150 - 23×5的书写过程有明显的擦痕（如下右式），才猛然意识到刚才自己的判断是错误的，学生前一题的做法很大程度上并非在自觉运用加法交换律。然而，让教师感到困惑的是，本课教学中，教师明明进行过“递等式书写格式”的指导，为什么学生独立作业时还会这样书写呢？在这样的困惑中批改完全班学生的作业，竟然发现这样的问题还不止一例。

“问”：病历记录

学生为什么会出现这样的错误呢？为了弄清学生的原始思维和真实思想，教师找来了这些学生一问究竟。经过交流，教师终于弄清了这些学生的“病历”，概括一下，主要有以下几种情形：

第一种情况是“没转变”。一部分学生的错误属于经验负迁移惹的祸。在本课之前，学生已学过含同一级运算（只有加、减法或只有乘、除法）的两步式题，也接触过含有两级运算（乘加或乘减，但都是乘在前面）的两步式题。因为这些式题都是按照从左往右的顺序计算的，所以学生在不知不觉中建构了两步运算的解题经验——先算出第一步的结果，然后再用这个结果去加、减（或乘、除）一个数；第一步的结果都是写在前面的。经过以前几个学期的训练，这种经验被日益强化。

还有一种“没转变”是指学生思想没过来。这节课例题的第一个算式5×3 + 20的结构也是乘法在前，给学生的第一印象似乎就是先做乘法，也就是先写乘法，等到例题的第二个算式50-18×2的教学时，一些感觉“今天学的知识不过如此”的学生也就心不在焉，在关键时刻掉链子。

由此对照这节课，在教学中，新学知识与前学知识的不同之处体现得不突出、不充分，没有给学生留下深刻的印象和产生深远的影响，学生根深蒂固的原有认识没能够得到及时而有效的更新和转变。

第二种情况是“没跟上”。一部分学生的错误属于顺应不成反被同化惹的祸。当本课出现的新知（乘在后面的乘加、乘减两步式题）与原有解题经验发生冲突时，学生受各方面因素影响不能及时顺应新知，没有对原有知识结构进行适当的调整或重构，从而新知反而被以往的错误认知同化。

由此对照这节课，在教学中，涉及知识顺应方面的训练还不够或走过场，无法促使一部分吸收与反应较慢的学生的思想能够很好地转过弯来，给这些心有余而力不足的学生以足够的帮助，让他们跟上知识前进的步伐。

第三种情况是“没想对”。一部分学生的错误属于误解惹的祸。学生受乘加、乘减两步式题运算顺序“先算乘法”的影响，误以为“先算的要先写”。

由此对照这节课，在教学中，教师没有对“先算”与“先写”的意义加以区分，也没有对运算顺序与书写顺序加以区分，造成学生学习的一知半解。

综合以上“病历”情形，可以认为，如果是一个学生有问题，很大程度上只是学生的问题，如果是一批学生有问题，很大程度上是教师的问题。学生是教师的镜子，学生暴露出来的问题也就能够暴露出教师的教学问题。上述“病历”，症状只是一个简单的“格式”问题，但如果细细“搭脉”，就能够看到问题的本质，它可以反映出教师对教学内容的重点、难点、注意点是否正确把握、是否有效突破等问题。

“切”：病理诊治

在平常教学中，对这种格式错误，许多教师认为是司空见惯的“小问题”，往往采用事后告知或事后强制的方式进行纠正。然而，有时候这种错误亡羊补牢会为时已晚，一旦学生先入为主后就难以改正。有些错误，特别是一些低级错误需要在教学中防患于未然，而有些知识，如果教师想让学生在错误中学习，也应该在教学过程中及时暴露出来，让学生吸取教训、引以为戒。对这节课，在教学中，教师可以从以下几个环节在知识的源头上规避这种错误的发生。

按照意义，前一算式读为“20加5乘3的积”，后一算式读为“5乘3的积加20”，它们可以分别缩句为“20+积”和“积+20”。这样的对比，在运算顺序上的区别一目了然，学生能够清楚地看出“先算什么，后算什么”；这样的对比，在书写顺序上的区别同样一目了然，学生能够清楚地看出“先写什么，后写什么”。

第三种做法是“连一连”。知识需要在强调中加深学生印象，多次、多层次的比较可以很好地达到这一教学目的。完成两题的递等式计算后，教师应启发学生进行比较：两个算式都是先算5×3，为什么第一个算式第一步中的“积（15）”写在加号的后面，而第二个算式第一步中的“积（15）”却写在加号的前面？结合学生发表的意见，完成以下连线（当然也可以用不同颜色的粉笔标识），让学生明白：在计算两步式题递等式的第一步时，还没有参加运算的数据、运算符号以及第一步的计算结果，一般情况下要写在与原式对应的位置上。

第四种做法是“错一错”。听到了、看见了，不等于相信了、理解了、掌握了。教学第二个算式50-18×2时，教师可让学生先尝试解答，观察学生是否会出现上面谈及的格式书写错误。如果有，可呈现出来让学生讨论。一来，便于及时拯救“错误”；二来，利于提高学生对“规定”的认识与认可。张奠宙教授说，规定一般不需要论证，遵守就行了，但可以探讨规定的合理性。在20 + 5×3的书写格式教学中，也许有一些“不撞南墙不低头”的“犟驴”式学生（往往是聪明学生）会质疑：为什么要按这样的规定来解答？这样的规定有怎样的意义？（有这样的质疑是教学的一种成功）通过探讨，让学生看出、看懂“50-18×2=36-50”这一式子存在的问题，并在认识上受到强烈的冲击：哦，原来，这样的规定背后是有其“道理”的。

总之，教学无小事，教到深处是细节。简单的知识未必简单，同时，简单的错误也未必简单。其中，许多“简单”只是出于教师的自以为是，简单地认为这不成问题，于是简单地教，结果却成了问题。

就如上述课例中，教师以为混合运算学生是不会犯“混”的，教师以为学生作业是在自觉运用加法交换律。而要克服这些“自以为是”，教师必须能够读懂知识、读懂学生。

（江苏省无锡市新区硕放实验小学 214142 江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint

“望”：病例观察

苏教版教材四年级上册第四单元内容为“混合运算”，乘法和加减法混合运算是本单元的第一课时内容。上完这节课后，教师在批改作业时，发现一位学生在计算48 + 21×3的脱式书写是这样的（如下左式），对此教师自认为这位学生如此书写是自觉运用加法交换律的结果（“运算律”是本册教材第八单元的内容，但之前的教材中已有渗透），虽然感觉此处交换加数的位置并没有什么价值，但也为学生具有这样好的运算理解能力暗暗叫好，于是决然地打上了一个“√”。

批阅继续进行，但教师看到这位学生计算150 - 23×5的书写过程有明显的擦痕（如下右式），才猛然意识到刚才自己的判断是错误的，学生前一题的做法很大程度上并非在自觉运用加法交换律。然而，让教师感到困惑的是，本课教学中，教师明明进行过“递等式书写格式”的指导，为什么学生独立作业时还会这样书写呢？在这样的困惑中批改完全班学生的作业，竟然发现这样的问题还不止一例。

“问”：病历记录

学生为什么会出现这样的错误呢？为了弄清学生的原始思维和真实思想，教师找来了这些学生一问究竟。经过交流，教师终于弄清了这些学生的“病历”，概括一下，主要有以下几种情形：

第一种情况是“没转变”。一部分学生的错误属于经验负迁移惹的祸。在本课之前，学生已学过含同一级运算（只有加、减法或只有乘、除法）的两步式题，也接触过含有两级运算（乘加或乘减，但都是乘在前面）的两步式题。因为这些式题都是按照从左往右的顺序计算的，所以学生在不知不觉中建构了两步运算的解题经验——先算出第一步的结果，然后再用这个结果去加、减（或乘、除）一个数；第一步的结果都是写在前面的。经过以前几个学期的训练，这种经验被日益强化。

还有一种“没转变”是指学生思想没过来。这节课例题的第一个算式5×3 + 20的结构也是乘法在前，给学生的第一印象似乎就是先做乘法，也就是先写乘法，等到例题的第二个算式50-18×2的教学时，一些感觉“今天学的知识不过如此”的学生也就心不在焉，在关键时刻掉链子。

由此对照这节课，在教学中，新学知识与前学知识的不同之处体现得不突出、不充分，没有给学生留下深刻的印象和产生深远的影响，学生根深蒂固的原有认识没能够得到及时而有效的更新和转变。

第二种情况是“没跟上”。一部分学生的错误属于顺应不成反被同化惹的祸。当本课出现的新知（乘在后面的乘加、乘减两步式题）与原有解题经验发生冲突时，学生受各方面因素影响不能及时顺应新知，没有对原有知识结构进行适当的调整或重构，从而新知反而被以往的错误认知同化。

由此对照这节课，在教学中，涉及知识顺应方面的训练还不够或走过场，无法促使一部分吸收与反应较慢的学生的思想能够很好地转过弯来，给这些心有余而力不足的学生以足够的帮助，让他们跟上知识前进的步伐。

第三种情况是“没想对”。一部分学生的错误属于误解惹的祸。学生受乘加、乘减两步式题运算顺序“先算乘法”的影响，误以为“先算的要先写”。

由此对照这节课，在教学中，教师没有对“先算”与“先写”的意义加以区分，也没有对运算顺序与书写顺序加以区分，造成学生学习的一知半解。

综合以上“病历”情形，可以认为，如果是一个学生有问题，很大程度上只是学生的问题，如果是一批学生有问题，很大程度上是教师的问题。学生是教师的镜子，学生暴露出来的问题也就能够暴露出教师的教学问题。上述“病历”，症状只是一个简单的“格式”问题，但如果细细“搭脉”，就能够看到问题的本质，它可以反映出教师对教学内容的重点、难点、注意点是否正确把握、是否有效突破等问题。

“切”：病理诊治

在平常教学中，对这种格式错误，许多教师认为是司空见惯的“小问题”，往往采用事后告知或事后强制的方式进行纠正。然而，有时候这种错误亡羊补牢会为时已晚，一旦学生先入为主后就难以改正。有些错误，特别是一些低级错误需要在教学中防患于未然，而有些知识，如果教师想让学生在错误中学习，也应该在教学过程中及时暴露出来，让学生吸取教训、引以为戒。对这节课，在教学中，教师可以从以下几个环节在知识的源头上规避这种错误的发生。

按照意义，前一算式读为“20加5乘3的积”，后一算式读为“5乘3的积加20”，它们可以分别缩句为“20+积”和“积+20”。这样的对比，在运算顺序上的区别一目了然，学生能够清楚地看出“先算什么，后算什么”；这样的对比，在书写顺序上的区别同样一目了然，学生能够清楚地看出“先写什么，后写什么”。

第三种做法是“连一连”。知识需要在强调中加深学生印象，多次、多层次的比较可以很好地达到这一教学目的。完成两题的递等式计算后，教师应启发学生进行比较：两个算式都是先算5×3，为什么第一个算式第一步中的“积（15）”写在加号的后面，而第二个算式第一步中的“积（15）”却写在加号的前面？结合学生发表的意见，完成以下连线（当然也可以用不同颜色的粉笔标识），让学生明白：在计算两步式题递等式的第一步时，还没有参加运算的数据、运算符号以及第一步的计算结果，一般情况下要写在与原式对应的位置上。

第四种做法是“错一错”。听到了、看见了，不等于相信了、理解了、掌握了。教学第二个算式50-18×2时，教师可让学生先尝试解答，观察学生是否会出现上面谈及的格式书写错误。如果有，可呈现出来让学生讨论。一来，便于及时拯救“错误”；二来，利于提高学生对“规定”的认识与认可。张奠宙教授说，规定一般不需要论证，遵守就行了，但可以探讨规定的合理性。在20 + 5×3的书写格式教学中，也许有一些“不撞南墙不低头”的“犟驴”式学生（往往是聪明学生）会质疑：为什么要按这样的规定来解答？这样的规定有怎样的意义？（有这样的质疑是教学的一种成功）通过探讨，让学生看出、看懂“50-18×2=36-50”这一式子存在的问题，并在认识上受到强烈的冲击：哦，原来，这样的规定背后是有其“道理”的。

总之，教学无小事，教到深处是细节。简单的知识未必简单，同时，简单的错误也未必简单。其中，许多“简单”只是出于教师的自以为是，简单地认为这不成问题，于是简单地教，结果却成了问题。

就如上述课例中，教师以为混合运算学生是不会犯“混”的，教师以为学生作业是在自觉运用加法交换律。而要克服这些“自以为是”，教师必须能够读懂知识、读懂学生。

（江苏省无锡市新区硕放实验小学 214142 江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint

“望”：病例观察

苏教版教材四年级上册第四单元内容为“混合运算”，乘法和加减法混合运算是本单元的第一课时内容。上完这节课后，教师在批改作业时，发现一位学生在计算48 + 21×3的脱式书写是这样的（如下左式），对此教师自认为这位学生如此书写是自觉运用加法交换律的结果（“运算律”是本册教材第八单元的内容，但之前的教材中已有渗透），虽然感觉此处交换加数的位置并没有什么价值，但也为学生具有这样好的运算理解能力暗暗叫好，于是决然地打上了一个“√”。

批阅继续进行，但教师看到这位学生计算150 - 23×5的书写过程有明显的擦痕（如下右式），才猛然意识到刚才自己的判断是错误的，学生前一题的做法很大程度上并非在自觉运用加法交换律。然而，让教师感到困惑的是，本课教学中，教师明明进行过“递等式书写格式”的指导，为什么学生独立作业时还会这样书写呢？在这样的困惑中批改完全班学生的作业，竟然发现这样的问题还不止一例。

“问”：病历记录

学生为什么会出现这样的错误呢？为了弄清学生的原始思维和真实思想，教师找来了这些学生一问究竟。经过交流，教师终于弄清了这些学生的“病历”，概括一下，主要有以下几种情形：

第一种情况是“没转变”。一部分学生的错误属于经验负迁移惹的祸。在本课之前，学生已学过含同一级运算（只有加、减法或只有乘、除法）的两步式题，也接触过含有两级运算（乘加或乘减，但都是乘在前面）的两步式题。因为这些式题都是按照从左往右的顺序计算的，所以学生在不知不觉中建构了两步运算的解题经验——先算出第一步的结果，然后再用这个结果去加、减（或乘、除）一个数；第一步的结果都是写在前面的。经过以前几个学期的训练，这种经验被日益强化。

还有一种“没转变”是指学生思想没过来。这节课例题的第一个算式5×3 + 20的结构也是乘法在前，给学生的第一印象似乎就是先做乘法，也就是先写乘法，等到例题的第二个算式50-18×2的教学时，一些感觉“今天学的知识不过如此”的学生也就心不在焉，在关键时刻掉链子。

由此对照这节课，在教学中，新学知识与前学知识的不同之处体现得不突出、不充分，没有给学生留下深刻的印象和产生深远的影响，学生根深蒂固的原有认识没能够得到及时而有效的更新和转变。

第二种情况是“没跟上”。一部分学生的错误属于顺应不成反被同化惹的祸。当本课出现的新知（乘在后面的乘加、乘减两步式题）与原有解题经验发生冲突时，学生受各方面因素影响不能及时顺应新知，没有对原有知识结构进行适当的调整或重构，从而新知反而被以往的错误认知同化。

由此对照这节课，在教学中，涉及知识顺应方面的训练还不够或走过场，无法促使一部分吸收与反应较慢的学生的思想能够很好地转过弯来，给这些心有余而力不足的学生以足够的帮助，让他们跟上知识前进的步伐。

第三种情况是“没想对”。一部分学生的错误属于误解惹的祸。学生受乘加、乘减两步式题运算顺序“先算乘法”的影响，误以为“先算的要先写”。

由此对照这节课，在教学中，教师没有对“先算”与“先写”的意义加以区分，也没有对运算顺序与书写顺序加以区分，造成学生学习的一知半解。

综合以上“病历”情形，可以认为，如果是一个学生有问题，很大程度上只是学生的问题，如果是一批学生有问题，很大程度上是教师的问题。学生是教师的镜子，学生暴露出来的问题也就能够暴露出教师的教学问题。上述“病历”，症状只是一个简单的“格式”问题，但如果细细“搭脉”，就能够看到问题的本质，它可以反映出教师对教学内容的重点、难点、注意点是否正确把握、是否有效突破等问题。

“切”：病理诊治

在平常教学中，对这种格式错误，许多教师认为是司空见惯的“小问题”，往往采用事后告知或事后强制的方式进行纠正。然而，有时候这种错误亡羊补牢会为时已晚，一旦学生先入为主后就难以改正。有些错误，特别是一些低级错误需要在教学中防患于未然，而有些知识，如果教师想让学生在错误中学习，也应该在教学过程中及时暴露出来，让学生吸取教训、引以为戒。对这节课，在教学中，教师可以从以下几个环节在知识的源头上规避这种错误的发生。

按照意义，前一算式读为“20加5乘3的积”，后一算式读为“5乘3的积加20”，它们可以分别缩句为“20+积”和“积+20”。这样的对比，在运算顺序上的区别一目了然，学生能够清楚地看出“先算什么，后算什么”；这样的对比，在书写顺序上的区别同样一目了然，学生能够清楚地看出“先写什么，后写什么”。

第三种做法是“连一连”。知识需要在强调中加深学生印象，多次、多层次的比较可以很好地达到这一教学目的。完成两题的递等式计算后，教师应启发学生进行比较：两个算式都是先算5×3，为什么第一个算式第一步中的“积（15）”写在加号的后面，而第二个算式第一步中的“积（15）”却写在加号的前面？结合学生发表的意见，完成以下连线（当然也可以用不同颜色的粉笔标识），让学生明白：在计算两步式题递等式的第一步时，还没有参加运算的数据、运算符号以及第一步的计算结果，一般情况下要写在与原式对应的位置上。

第四种做法是“错一错”。听到了、看见了，不等于相信了、理解了、掌握了。教学第二个算式50-18×2时，教师可让学生先尝试解答，观察学生是否会出现上面谈及的格式书写错误。如果有，可呈现出来让学生讨论。一来，便于及时拯救“错误”；二来，利于提高学生对“规定”的认识与认可。张奠宙教授说，规定一般不需要论证，遵守就行了，但可以探讨规定的合理性。在20 + 5×3的书写格式教学中，也许有一些“不撞南墙不低头”的“犟驴”式学生（往往是聪明学生）会质疑：为什么要按这样的规定来解答？这样的规定有怎样的意义？（有这样的质疑是教学的一种成功）通过探讨，让学生看出、看懂“50-18×2=36-50”这一式子存在的问题，并在认识上受到强烈的冲击：哦，原来，这样的规定背后是有其“道理”的。

总之，教学无小事，教到深处是细节。简单的知识未必简单，同时，简单的错误也未必简单。其中，许多“简单”只是出于教师的自以为是，简单地认为这不成问题，于是简单地教，结果却成了问题。

就如上述课例中，教师以为混合运算学生是不会犯“混”的，教师以为学生作业是在自觉运用加法交换律。而要克服这些“自以为是”，教师必须能够读懂知识、读懂学生。

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