数值微分问题的两种正则化方法研究

杨 婷

（兰州职业技术学院 甘肃兰州 730050）

数值微分问题的两种正则化方法研究

杨 婷

（兰州职业技术学院 甘肃兰州 730050）

随着工业水平的不断发展和科学技术的不断进步，数值微分问题的正则化逐渐受到研究人员的重视。现如今正则化已经是数学领域的重要研究课题之一，尤其是近些年，相关的研究成果层出不穷。本文从数值微分和正则化的相关理论出发，简要分析了反问题与不适定问题的内涵，并对Fourier截断方法及修改核方法进行了一定程度的研究。

数值微分；正则化；反问题；不适定

一、数值微分

所谓数值微分就是指有函数在离散点的函数值，计算出该函数在整个取值区间内某一点的导数或者高阶导数近似值。在实际计算过程中，我们往往会使用差商去代替微商，选择更为简单的可微函数去代替原函数来进行最终求导计算。譬如，在等距离范围内可以利用插值多项式的导数来代替一些数值微分问题，给出函数导数近似值；或者利用待定系数法来计算函数各阶导数的微分公式，并逐步推导出所需要的函数求导阶数，从而提高最终的计算精确度。上述两种方法都是数值微分的计算方式，但对于不同类型的函数我们需要采取不同的计算方法。如果该函数的可微性不好，就需要使用到样条插值来进行数值微分；如果该函数在取值范围内存在离散点随机误差，那么就必须才用到曲线拟合的方式来替代函数插值，通过拟合来求导，以尽可能地降低随机误差对于计算精确度的影响。

二、正则化

所谓正则化就是为了使用正则表达式用以在海量数据中迅速查找匹配的数据方法。研究正则化肯定要涉及反问题这一概念，反问题在形式上主要分为两种，即在已知系统和输出的前提下，计算输入值；在系统未知的前提下去计算输入值。当然，反问题的计算解决有难易之分，大多数的反问题是可以通过合适的方法计算出最终结果的，但还有一些非常难以计算的问题。这些较难解决的问题我们就称他们为不适定问题，它们通常表现出病态的特征，即使对问题本身进行一定的改变，仍然不会最终改善病态问题。实际证明，仅仅通过简单的形式变化并不能最终解决不适定问题，而且从某种意义上来说，不是定问题完全不可能被准确计算出来，只能够计算出一个近似准确值。“近似”是当前求解不适定问题最常使用的方法，即用一组与不适定问题近似的适定问题去不断逼近最终解。实质上这个过程我们就可以称之为正则化，研究正则化就是在研究不适定问题。

三、反问题与不适定问题

随着世界工业水平的不断发挥和科学技术的不断进步，实际生产生活中出现了越来越多的反问题，现代数学研究领域已经将反问题作为重要课题之一，时不时就会有一些关于反问题的研究成果问世。简单理解，所谓反问题就是相对于正问题出现的，美国Stanford University的J.B.Keller教授早在1976年就针对反问题的定义做出了解释：在一对互逆的问题之中，假如其中一个问题是由另一个问题解的部分信息构成，那么我们就是将其中一个问题称为正问题，另一个问题称为反问题。国内是在上世纪80年代才开始对反问题进行相关研究的，著名数学家冯康院士是该领域的先驱者之一。

一个反问题的求解涉及了多种数学计算方法，如最优化方法、微分方程数值解法、概率统计等等，基本是按照数学物理方程求解来进行的。相较于正问题而言，我国在反问题的研究上起步较晚，现在基本处于初级阶段。虽然反问题的研究对我国数学其他领域的发展有着一定的促进作用，但就近些年反问题的研究成果来看，收效甚微。究其原因，主要是因为反问题求解非常困难，很多情况下都要违背自然物理顺序，正问题求解过程中保存的良好性质无法照搬使用。这几十年来，针对于反问题的研究基本就限定在设计与识别、设计和探测等应用问题上。反问题和不适定问题在本质上是有一定联系的，主要表现为大多数反问题都是不适定的，这种不适定性主要表现为两个方面：一方面，在客观条件的限制下，给定解的部分信息通常情况下是欠定的或者过定的，从而导致解的不存在性和不唯一性；另一方面，在输入小扰动的情况下，往往会引起数值解和精确解两者之间出现不可接受的大误差，从而促使研究人员针对扰动数据求反问题进行稳定计算方法的研究。所以，反问题和不适定问题是两个紧密相连的理论，在很多研究过程中都是放在一起进行分析的。

经典数学物理理论中，主要研究的是适定问题，实际上早在1923年著名数学家Hadamard就已经对“问题适定性”的概念进行了解释。他指出只要能够满足三个要求：问题的解是存在的；问题的解是唯一的；问题的解是稳定的，就说明该问题是一个适定问题。其中任何一个要求没有得到满足，该问题就是一个不适定问题。但大多数的不适定问题，都是阿达马意义下的不适定问题。经过长时间的发展之后，苏联科学院院士吉洪诺夫率先针对不适定问题提出了正则化方法，这可以算的上是不适定问题和反问题的里程碑之一。正则化方法的核心理念就是根据具体问题的相关附加信息对不适定问题解进行全新定义，从而利用正定泛函来推导出一个逼近原问题解的稳定求解法。

四、Fourier截断方法及修改核方法

经过分析我们知道，数值微分之所以会出现不适定问题的根本影响因素是无界核中的高频部分，这一块是数据中出现噪音的主要原因。显然，要想获得一种稳定求解问题方法，就必须要删除无界核中的所有高频部分，以彻底解决噪音源。当前用来删除噪音源的方法主要有两种：一是傅里叶截断法，另一种是修改核方法。

1961年著名学者Miranker首次提出了傅里叶截断法，并在实际的反向热传导问题中加以应用，但其并没有实际使用正则化方法，只是给出了一些条件稳定性结果。随着工业技术的不断发展，我们在很多实际不适定问题的解决中广泛使用了傅里叶截断法，并且最终都获得了较为优秀的结果。Reginska等研究人员在Helmholtz方程Cauchy问题上的分析可以说是傅里叶截断法的最新应用，在其之后所发表出来的研究成果中，就具体的周期函数高阶导数修改核进行了全面而透彻的解释。但任何一种正则化方法都会存在一定程度的不足之处，傅里叶截断法同样在有些地方还存在着优缺点。优点就是傅里叶截断法能够非常方便的应用于频域问题中，不需要进行任何形式的改变，就可以直接应用与实际计算过程，而且从结果上看具有较好的收敛性；缺点就是傅里叶截断法在非频域中的应用效果不佳，很多非频域中的反问题并无法采用傅里叶截断法进行噪音消除。

最早提出修改核方法理论的是著名学者Lattes和Lions，他们是在不同正则化方法的基础之上，进行了更深层次的共性研究，提炼出所有方法的本质。具体将其定义为正则化方法之一的是Weber，之后又由Elden在Weber的基础之上把修改核方法理论中的稳定性和收敛性进行了更为全面的估计分析。同样修改核方法也存在着一定的优缺点：优点是能够应用于非频域中不适定问题的解决；缺点是这种反问题解决方法在收敛性上表现不佳。

[1]温瑾.几类抛物型方程逆问题的数值方法研究[D].兰州大学,2011.

[2]郑光辉.分数阶偏微分方程几类反问题的正则化方法[D].兰州大学,2012.

[3]王希云,黄建国,陈宇.基于正则化方法的一个新型数值微分算法[J].高等学校计算数学学报,2009,03:246-256.

[4]张宏武.椭圆方程柯西问题的正则化方法[D].兰州大学,2013.

[5]朱华平,吴传生,吕小红.二维离散数据的数值微分问题的积分算子方法[J].武汉理工大学学报(信息与管理工程版),2010,04:591-594.

Two regular methods for numerical differential problems

Yang Ting

(Lanzhou Vocational Technical College, Lanzhou Gansu,730050, China)

With the development of industrial level of science and technology, regularization of numerical differential problems are paid great attention by researchers. Now the regularization is one of important research topics in mathematics field, especially in recent years, the related research results emerge in an endless stream. This paper starts from the related theories of numerical differentiation and regularization, briefly analyzes the connotation of inverse problems and ill posed problem, and the truncated Fourier method and modified kernel method has been studied to some extent.

numerical differentiation; regularization; inverse problem; ill posed

O172.1

A

1000-9795（2014）04-0181-01

［责任编辑：刘丽杰］

2014-02-20

杨 婷（1979-），女，宁夏银川人，兰州职业技术学院中级讲师，从事高等数学方向的研究。