含参数不等式解法探微

吕双平

〔关键词〕 数学教学；不等式；解答；分类讨论法；端

点比较法；构造函数法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解决数学问题的主要工具，应用于数学的各个领域，也是近年来高考试题中出题比较广泛的内容.例如，求函数的定义域和值域、求参数的取值范围、 三角函数中角的变化范围和解析几何中曲线位置关系的讨论等，都要用不等式来解决，所以解不等式是学生学习数学的基本能力.而含参数不等式的解法是学习的难点，本文举例说明含参数不等式的三种解法.

分类讨论法

分类讨论法是将含参数不等式的题进行不同的分类，依照不同的类别进行讨论的方法.在日常数学问题中，当参数在未知数最高次幂的系数上时，先对参数分类讨论，在每一种情况下求出不等式的解集.

例1 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式变为ax2+（a-2）x-2≥0

① 当a=0时，不等式变为-2x-2≥0，解集为{x│x≤-1}；

② 当a≠0时，将不等式变为（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.设x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2时，解集为{x∣x=-1}；

若a<-2时，■<-1，解集为{x∣x≤-1或x≥■}.

端点比较法

当参数不在未知数的最高次幂系数上时，先分解因式，解出方程的根，再通过比较根的大小，讨论参数范围，求出不等式的解集.

例2 解关于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式变形为（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2时，a=0或a=1，不等式解集为？覬；

②当a1，不等式解集为{x∣a

③当a>a2时，0

综上所述，当a<0时，不等式解集为{x∣a1时不等式解集为{x∣a

构造函数法

不等式的实质是f（x）≥0或f（x）≤0的自变量的取值范围，所以解不等式可以通过构造函数来解.

例3 对于p∈[-2，2]的所有实数，解关于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式变为（x-1）p+x2-2x+1>0，

设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

当p∈[-2，2]时，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解关于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函数y=■及y=a-2x的图象如（右图）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由图象可知，原不等式解集为{x∣x>■a}.

总之，对于某些不等式，必须借助于分类讨论法、端点比较法和构造函数法三种方法，方能快速解决不等式问题.用以上三种方法解答不等式，对提高解题效率能起到积极的促进作用.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；不等式；解答；分类讨论法；端

点比较法；构造函数法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解决数学问题的主要工具，应用于数学的各个领域，也是近年来高考试题中出题比较广泛的内容.例如，求函数的定义域和值域、求参数的取值范围、 三角函数中角的变化范围和解析几何中曲线位置关系的讨论等，都要用不等式来解决，所以解不等式是学生学习数学的基本能力.而含参数不等式的解法是学习的难点，本文举例说明含参数不等式的三种解法.

分类讨论法

分类讨论法是将含参数不等式的题进行不同的分类，依照不同的类别进行讨论的方法.在日常数学问题中，当参数在未知数最高次幂的系数上时，先对参数分类讨论，在每一种情况下求出不等式的解集.

例1 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式变为ax2+（a-2）x-2≥0

① 当a=0时，不等式变为-2x-2≥0，解集为{x│x≤-1}；

② 当a≠0时，将不等式变为（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.设x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2时，解集为{x∣x=-1}；

若a<-2时，■<-1，解集为{x∣x≤-1或x≥■}.

端点比较法

当参数不在未知数的最高次幂系数上时，先分解因式，解出方程的根，再通过比较根的大小，讨论参数范围，求出不等式的解集.

例2 解关于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式变形为（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2时，a=0或a=1，不等式解集为？覬；

②当a1，不等式解集为{x∣a

③当a>a2时，0

综上所述，当a<0时，不等式解集为{x∣a1时不等式解集为{x∣a

构造函数法

不等式的实质是f（x）≥0或f（x）≤0的自变量的取值范围，所以解不等式可以通过构造函数来解.

例3 对于p∈[-2，2]的所有实数，解关于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式变为（x-1）p+x2-2x+1>0，

设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

当p∈[-2，2]时，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解关于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函数y=■及y=a-2x的图象如（右图）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由图象可知，原不等式解集为{x∣x>■a}.

总之，对于某些不等式，必须借助于分类讨论法、端点比较法和构造函数法三种方法，方能快速解决不等式问题.用以上三种方法解答不等式，对提高解题效率能起到积极的促进作用.

编辑：谢颖丽

〔关键词〕 数学教学；不等式；解答；分类讨论法；端

点比较法；构造函数法

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解决数学问题的主要工具，应用于数学的各个领域，也是近年来高考试题中出题比较广泛的内容.例如，求函数的定义域和值域、求参数的取值范围、 三角函数中角的变化范围和解析几何中曲线位置关系的讨论等，都要用不等式来解决，所以解不等式是学生学习数学的基本能力.而含参数不等式的解法是学习的难点，本文举例说明含参数不等式的三种解法.

分类讨论法

分类讨论法是将含参数不等式的题进行不同的分类，依照不同的类别进行讨论的方法.在日常数学问题中，当参数在未知数最高次幂的系数上时，先对参数分类讨论，在每一种情况下求出不等式的解集.

例1 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式变为ax2+（a-2）x-2≥0

① 当a=0时，不等式变为-2x-2≥0，解集为{x│x≤-1}；

② 当a≠0时，将不等式变为（ax-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.设x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2时，解集为{x∣x=-1}；

若a<-2时，■<-1，解集为{x∣x≤-1或x≥■}.

端点比较法

当参数不在未知数的最高次幂系数上时，先分解因式，解出方程的根，再通过比较根的大小，讨论参数范围，求出不等式的解集.

例2 解关于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式变形为（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2时，a=0或a=1，不等式解集为？覬；

②当a1，不等式解集为{x∣a

③当a>a2时，0

综上所述，当a<0时，不等式解集为{x∣a1时不等式解集为{x∣a

构造函数法

不等式的实质是f（x）≥0或f（x）≤0的自变量的取值范围，所以解不等式可以通过构造函数来解.

例3 对于p∈[-2，2]的所有实数，解关于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式变为（x-1）p+x2-2x+1>0，

设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

当p∈[-2，2]时，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解关于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函数y=■及y=a-2x的图象如（右图）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由图象可知，原不等式解集为{x∣x>■a}.

总之，对于某些不等式，必须借助于分类讨论法、端点比较法和构造函数法三种方法，方能快速解决不等式问题.用以上三种方法解答不等式，对提高解题效率能起到积极的促进作用.

编辑：谢颖丽