21世纪美国基础教育数学课程改革与启示

岳增成，张维忠，田 晨

（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

21世纪美国基础教育数学课程改革与启示

岳增成，张维忠，田 晨

（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

美国在21世纪初颁布了3个具有影响力的基础教育数学课程改革文件，这些课程改革文件表现出了将课程内容作为基础教育数学课程改革的重点，逐渐提升基础知识和基本技能在数学教育中的重要作用；重视教师教育，将课程内容与教师专业成长相联系；注重各方的积极参与，提升课程改革文件的可信度等特点．其给中国数学课程改革带来的启示主要有：注重课程内容改革；数学教师培训应该以文本形式提出；课程改革应为全社会所接纳等．

美国基础教育；数学课程改革；启示

数学在当今社会中发挥的作用越来越大，各个国家已深刻地认识到了这一点，比如在中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》的“前言”部分就明确提出“数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于生产和生活的各个方面”[1]，在美国《成功的基础——全美数学顾问小组最终报告》的“背景”部分也给予了明确说明“引导社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来发展优势……以及在分析过去失败和预测未来发展的能力等方面带来优势”[2]．基于这样的认识，各个国家都试图进一步发挥数学的重要作用．而数学教育作为培养学生数学能力的主要途径，势必会受到更多的重视．事实也证明了这一点，当前各个国家都积极地进行数学教育改革，特别是基础教育数学课程改革，以使自己的数学教育培养出更多具备竞争力的劳动者来应对21世纪的挑战．美国作为世界教育强国也积极地进行数学教育改革，特别是进入21世纪，改革的步伐逐渐加快，先后颁布了3个具有世界影响力的基础教育数学课程改革文件，即《幼儿园学龄前到八年级数学课程焦点：追求一致性》[3]（以下简称“课程焦点”），《成功的基础——全美数学顾问小组最终报告》[4]（以下简称“成功的基础”）、《美国州共同核心数学标准》[5]（以下简称“核心数学标准”）．这里试图通过对这3个课程改革文件的梳理，挖掘出美国基础教育数学课程改革的特点，同时对中国数学课程改革提出建议．

1 21世纪美国基础教育3个具有世界影响力的数学课程改革文件

1.1 课程焦点

进入21世纪，美国的数学教育在2000年全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM）《学校数学的原则和标准》的影响下，教育质量不但没有实质性的提高，反而在课程、教材、教学等方面都出现了一些严重的问题，导致学生的学业成绩下降，这也使得以数学家为代表的对NCTM制定的一系列标准持反对意见的“保守”阵营的抵触情绪更加高涨，甚至发表了讨伐檄文《关于数学教育的十大神话，以及你为什么不该信》对进步主义所倡导的一些理念进行反驳，并导致“数学战争”愈演愈烈．然而这样的争论是不具建设性的，任何数学教师和数学家都清楚，学生既需要扎实的基本技能，也需要概念性理解与问题解决能力[6]．这也使得对拟合冲突具有奠基性作用的论文《寻求K-12：数学教育共同基点》应用而生．在此论文中，冲突双方的代表人物共同探讨了数学教育的争议问题，梳理出了一些教育共识．但仅仅拟合冲突是不够的，数学教育必须落实到改善学生的学习成绩上来，NCTM也深刻地认识到了这一点，并与2006年9月发布了“课程焦点”这一报告，为“数学战争”画上了“圆满”的句号．

“课程焦点”报告围绕“什么是课程焦点”“如何确定课程焦点”以及“怎样使用课程焦点”展开，在叙述此部分内容之前，报告指出了“现行数学课程存在的主要问题是缺少连贯性和一致性，同时美国数学课程的深度不够，各州课程内容范围差异过大”[7]等现行数学课程的不足，即此报告的研制背景，阐明了“课程焦点”“可以使教师每年有更多的时间对额外的数学课程重点加以研究，学生也有机会对题目进行更深入地探索和研究，对相关的数学应用也会有兴趣，这样就能够促进学生加深对数学的理解”[7]的重要性．那么此报告是如何叙述此部分内容的呢？对于什么是课程焦点的叙述比较简单，即“课程焦点是从幼儿园学龄前到八年级的每个年级学生所需要学习的重要的数学知识的主题”．对于如何确定课程焦点，此报告首先明确了哪些主题有成为课程焦点的可能，即从NCTM《学校数学原则与标准》中抽取若干与问题解决、推理与证明、交流、关联及表征等过程性目标紧密相连的相关数学内容主题，然后确定了课程内容的选取标准，即该要点在数学领域是否很重要，并且在学校内外是不是既具有应用价值，同时能为进一步的数学学习打下基础；该要点是否适合作为数学课程学习；该要点能否很有逻辑地衔接前面年级和后面年级的数学学习．最后通过这样的选取标准的筛选，从相关数学内容主题中选取出课程焦点．在此报告中，课程焦点按年级呈现，每个年级包含数与运算、测量、代数、几何等领域的3个焦点，每个焦点的陈述又由焦点本身和解释课程焦点的“连接”构成．另外，每一个年级的课程焦点不是孤立的，而是紧密联系的，前一个年级的是后一个年级的前提，后一个是前一个的延伸，体现出“课程焦点”连贯性与一致性的特点．对于怎样使用课程焦点，由于课程焦点只规定了“教什么”，而没有涉及到“如何教”的问题，所以课程焦点鼓励职前教师的准备和在职教师的专业发展．

1.2 成功的基础

“成功的基础”是由全美顾问小组（National Mathematics Advisory Panel，简称NMAP）于2008年3月颁布的．此报告的整个研制过程围绕两个核心问题展开：一是数学教育传授机制内部各组成部分；二是代数领域．为什么要围绕传授机制内部的各组成部分？这与美国数学教育传授机制内部各组成部分存在着严重的问题有着密切的关联．NMAP在报告研制初期，经过调研发现美国数学教育的传授机制——将数学知识转化为下一代的价值和能力的机制——存在着严重的问题，而这些问题表现在传授机制内部的方方面面，这直接导致了美国的数学教育达不到国家的发展要求，也不能实现国家的价值理念．基于这样的认识，NMAP进一步的调查发现“我们拥有确确实实的机遇来改进我们的数学教育”，并列出了涉及传授机制内部各方面——课程内容、学习过程、教师和教师教育、教学实践、教学材料、评估、教育研究的政策与机制——“幼儿园至八年级的数学课程需要一体化发展，低年级的课程内容应该突出一整套经过精心设计的、关键性问题”“国家教育进展评估和州一级的教育评估需要改进评估质量，并且需要加强对与代数相关的最重要的知识和技能进行评估”等7项期望后续采取的行动．以此为指引，NMAP明确了涉及传授机制内部各方面的“学校代数应该包括哪些必不可少的内容？学生在接触代数前应该具备哪些知识？”等6项研究内容，并最终得到了针对这6项研究内容的研究成果和建议．

数学课程内容包含数与代数、空间与几何、概率与统计等部分，为什么此报告只涉及了代数领域？这主要与代数学习的重要性“高收入的人学习代数多，说明未来就业和学生学习代数的多少有密切关系”“美国已经很多年没有平行公理这样的内容了．但是，人们似乎没有多大的抱怨．可能是不会做平面几何证明，对大学学习微积分、线性代数、概率论影响不大．可是，代数运算不行，理工科大学生就没法读下去”[8]等有着直接的联系．基于对学校代数学习重要性的认识，“成功的基础”聚焦“代数基础”、提前渗透代数概念和思想[9]，对于如何聚焦“代数基础”，这从整个报告涉及的课程内容只有代数可见一斑．此外，报告还列出了有关“代数基础”的“学校代数核心主题”、“关键基础知识”及其基准，并要求将这些主题和基准应用于数学教育的各个方面．对于如何提前渗透代数的概念和思想，报告推翻了数学知识的学习与年龄有关的理论，并要求以非形式化的方式逐渐进行渗透．

1.3 核心数学标准

尽管进入21世纪，美国进行了一系列的基础教育数学课程改革，但是数学教育质量仍然没有大的起色，这引起了联邦政府的高度重视，各州和各阶层也进行了深刻的反思，他们认为美国的数学教育质量之所以没有实质性的提高与各州课程标准不一、各州学生数学成绩评价标准不一有着直接的关系，这就促使美国的数学课程改革朝着统一课程标准的方向发展．“核心数学标准”就是在这一背景下产生的．

“核心数学标准”是由全美州长协会最佳实践中心（the National Governors Association Center for Best Practices, NGA Center）与州首席教育官员理事会（The Council of Chief State School Officers, CCSSO）合作研制，于2010年6月发布的，旨在让全美学生进入大学前，每年级的学习均接受相同的数学教育标准，为学生的大学学习和就业做准备[10]．“数学核心标准”主要包含两部分内容，数学实践标准和数学内容标准，这两个领域的标准是在“更加精简、更加明确、更高标准”“与大学与就业对学生的要求相一致”等原则下制定出来的，具有较高的科学性．在实践标准方面，“数学核心标准”阐述了各年级学生应该发展的各种专业知识与实践能力，并开发出8项指标作为评价基准，即理解问题，并坚持不懈地解决问题；推理的抽象性与数量化；构建可行的论断，质疑他人的推理；数学模型；策略地使用恰当工具；注意精确性；探求并利用结构；在重复的推理中，探求并表达规律．在内容标准方面，“数学核心标准”首先列出了每一年级教学焦点，然后分层次呈现了各年级的内容，其中第一层次为课程内容领域，比如5年级有运算与代数思维、数与十进制运算、数与运算——分数、度量与数据、几何等5部分；第二层次为第一层次下放到每一个年级需要掌握的知识点，比如5年级的几何领域，有两个重要知识模块：通过坐标平面上的点来解决实际问题和数学问题，根据二维图形的性质分类；第三层次为第二层次的进一步细化，包括知识点和利用实例对知识点进行解读．其中，第二、三两个层次与实践标准进行了融合，力图使学生在掌握课程内容的同时，实现实践标准．

2 21世纪美国基础教育数学课程改革的特点

（1）将课程内容作为基础教育数学课程改革的重点，逐渐提升基础知识和基本技能在数学教育中的重要作用．

21世纪初，美国数学基础教育的“钟摆”继续在以数学家为代表的“保守”阵营坚持的“重视基础”的观点与以数学教育家为代表的“进步”阵营坚持的“强调理解”的观点之间摆动，但随着“数学战争”的终结，“进步”阵营所偏重的“教学法”的要求在基础教育数学课程改革中的受重视程度逐渐减弱，而“保守”阵营重视课程内容改革的要求受到了越来越多的重视．这在一定程度上反映出了美国21世纪基础教育数学课程改革的趋势——将课程内容的改革作为重点，这也在美国进入新世纪以来颁布的3个基础教育数学课程改革文件中得到了很好地展现．比如，“课程焦点”是一个只关注教师教什么和学生学什么的报告，对于教师如何教学，没有具体的说明；“成功的基础”涉及到了教学机制内部的方方面面，既阐述了课程内容方面的成果和建议，也包含了教学实践方面的成果和建议，但由于此报告仅仅围绕代数这一内容领域展开，这就奠定了代数这一课程内容领域在此报告中的主体地位；“核心数学标准”是由数学实践标准和数学内容标准构成的，其中各年级的数学内容的呈现与数学实践标准结合在了一起，这也就表明了课程内容是此报告的重点．重视课程内容，将数学课程改革的方向转向课程内容改革，也使得课程改革关注的主体由教学法的实施者——教师转向了教师与学生的中介桥梁——课程内容，使得课程改革更加靠近学生群体，很自然地体现出了“学生为本”的理念．

课程内容是连结课程理念与教学实践的桥梁，教师通过教学内容的处理，才能将课程理念转化为真正的教学实践，才能进一步实现数学教育的目标，这就表明课程内容的设计受到多方面的制约，其中课程理念是重要的一个．美国新世纪的数学教育在“数学战争”和亚洲国家在数学教育成功经验的影响下，由原先的只注重理解向着既注重理解又强调基础知识的掌握和基本技能的获得的方向转变，这也决定了美国21世纪初数学教育改革的走向：在理解的基础上，寻求学生基础知识和基本技能方面的发展．这一走向也在美国基础教育数学课程的文件中得到了很好地体现．“课程焦点”“成功的基础”等不仅在课程理念中明确提出了“让学生通过这些核心概念与技能来发展自己的学习经验，并提供诊断学习困难、即时干涉的机会，以促进学生对重要数学知识的深刻理解”[11]“为了使学生们做好学习代数的准备，课程必须同时发展学生概念理解、熟练运算与问题解决3方面的能力”“数学理解和程序技能同等重要”，还在课程内容的阐述过程中运用了快速回忆、“达到熟练自动化的程度”“能够灵活、准确、熟练地运用相关运算法则”等与理解“相悖”的、在以前课程文件中不曾出现过的语句．

（2）重视教师教育，将课程内容与教师专业成长相联系．

课程理念的更新，课程内容的变化，给教师的数学观、数学教育观、数学教学观等带来了很大的冲击，也给教师的数学教学带来了很大的挑战．为了应对这些冲击和挑战，教师除了自身的努力外，更需要专业的教师教育．美国21世纪的基础教育数学课程改革重视教师教育，这在美国的数学课程改革文件中有所体现，在“课程焦点”中，“基于课程焦点的有效教学，需要职前教师深入的准备，更需要在职教师持续的专业发展”；在“成功的基础”中有一章来叙述教师和教师教育；“核心数学标准”中虽然没有关于教师教育的内容，但是美国已经由州际教师评估与支持联合会发布了《核心教学示范标准》，该标准涵盖适用于各学科教师应具备的核心教学知识和技能，旨在为教师专业实践提供一个基本框架，帮助学生为未来职业做准备[12]，在数学教师教育方面，美国尚未有新的标准出台，但是，从结构上看，CCSSM（《美国州共同核心数学标准》的英文简称）文本的颁布是个起点，与之配套的测量评价标准……包括教师专业发展系统（如教师培训的模式、内容）……的建立等有待逐一完成[13]．除了重视教师教育外，美国数学教师的专业成长还与课程内容紧密联系在了一起，特别是在“成功的基础”中，除了展示教师和教师教育的成果和建议外，比如更好地进行教学需要教师具备一定的知识和技能，还规定了各个阶段教师应掌握的“关键基础知识”的深度．

（3）注重各方的积极参与，提升课程文件的可信度．

美国以往数学课程改革文件的制定虽然受到各方因素的制约，但制定者往往局限于某一群体，例如《学校数学的原则和标准》是由NCTM开发的，而同一群体的成员往往有着相同或不冲突的理念或价值体系，这就使得由单一群体制定的课程文件打下了这一群体的“烙印”，较难融合其它群体的观念，这极易导致其它群体的攻击，特别是当单一群体制定的课程改革文件在实践中出现问题时，受到的非议将会更加猛烈，“数学战争”就是典范．这就要求基础教育数学课程改革要注重各方的积极参与，听取不同的声音．美国21世纪的基础教育数学课程改革就吸取了这方面的经验教训．比如，“课程焦点”虽然是由NCTM开发的，但是研制成员包含了数学家这一群体；“成功的基础”的研制成员更加广泛，不仅有数学教育家，还有数学家；不仅包括具有较高知识水平和研究能力的大学教授，还包括知识水平和研究能力相对低下的中小学教师；不仅包括校内成员还包括基金会、公司成员．这就使得各个课程改革文件有着较高的可信度．然而，这并不能保证各个课程改革文件的可信度．各个课程文件的制定者还采用了一些别的途径来提升报告的可信度．比如，为了从众多主题中选取课程标准，NCTM确立了3条选取标准；NMAP为了提供最适用之科学研究证据，专门设置了“证据”标准委员会，负责确定此项研究的标准，并对每一个任务组提出研究的要求[14]．

3 对课程改革的启示

美国“课程焦点”、“成功的基础”、“数学核心标准”的制定是对美国教育的一次重大突破，打破了地方分权的教育管理体制，从3个课改文件的调研分析到文本的最终形成，对中国课改有着很多有益的启示．

3.1 注重课程内容改革

无论数学课程的理念是什么，对数学、学习、教学等的解读又是什么，只有渗透到课程内容中由教师传递给学生，才能发挥出应有的价值与意义，这就决定了课程内容的重要性．美国的数学课程改革重视课程内容的改革，除了对课程内容的选取有严格规范的标准外，比如“课程焦点”规定了3条课程内容的选取标准，还对课程内容的组织有着合理的结构，比如“成功的基础”针对“代数基础”开发了“学校代数核心主题”“关键基础知识”及其基准等．

中国也比较注重数学课程内容的改革，史宁中、许芬英等人已对《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程内容的调整变化进行了介绍[15~16]．然而，中国的数学课程内容仍然存在着很多问题，比如“削枝强干”中的“干”具体所指内容还不够清晰，减负不能依靠过度“削枝”[17]．这些问题的出现与中国对课程内容的选取没有严格规范的标准，对课程内容的组织没有合理的结构有着密切的联系．比如在课程内容的选择上，只是泛泛而谈，要求“要贴近学生实际，有利于学生体验和理解、思考与探索”[1]．这就需要研究者设计出严格规范的选取标准，并通过合理的组织安排，使中国的数学课程内容更加严谨规范，发挥好桥梁纽带的作用．

3.2 数学教师培训应该以文本形式提出

伴随各课改文件的颁布，教师教育也作为一项重要的内容写进了此次改革．这样做的目的在于让数学教师的专业知识紧跟课程改革的步伐，做到教师的理念和观念都适应新的课程．从个人理解不同的角度上来说，以统一文本规定的数学教师应该具备的专业知识还能解决不同教师对应该理解的数学知识认知不同的问题，做到在具体统一的基础上差异化地理解．

中国对于数学教师教育的方式有职前的培训，入职后的培训，以及各学校或地方之间的讲课竞赛．这几种数学教师教育的方式，培训内容都是依据培训的目和当地的实际情况而定的，而对于数学教师教育的专业知识培训没有统一的教材，甚至没有统一的标准．数学教师专业知识没有统一标准的问题使一线教师对课改后数学知识的整体把握有了一定的难度．一些教师不肯放弃课本原有知识，不接受新的课程编排的知识，或者有的教师在对新旧知识的难度上把握不到位，都会引起不同的教学倾向．

面对这样的问题，美国各课程改革文件为中国学者提供了一个很好的借鉴方法．即在颁布数学课程标准的同时，明确地提出由此产生的数学教师教育教材．统一的数学教师教育教材是为了所有的数学教师对新的数学课程标准的认识有相同的起点，对数学知识有整体全面的把握．统一的数学教师教育教材并不排斥不同教师对于课程标准中数学专业知识的不同理解，而是在整体全面把握的基础上，寻求对课程标准中数学专业知识的深层理解．

3.3 课程改革应该为全社会所接纳

美国此次的改革是自下而上的民间发起的一次改良运动，主动性较大．参与各课改文件制定的人员更是涉及到了教育以及教育以外的人士．而课程标准也是在征求来自全美各地的教师、学生家长、学校行政人员、民权领袖、教育决策者、商界领袖和其他人士的基础上，制定而成的．民众的认同是课程改革最大的支持，通过对课程以及学生学习状况的了解，结合未来就业所需的专业知识，家长和社会可以更清晰地看到学生在学校应该学习什么，应该摒弃什么，也是通过这些对原有的教育理念提出更多的可行建议．未来的人才是向社会提供的，只有社会最清楚他们想要什么样的人才．社会人士的参与，为人才培养提供方向．民众的广泛参与可以推动课程改革，这些人员的广泛参与，说明了这些课程文件制定的自发性和主动性，这样的全民参与有助于教育改革．

纵观中国课程改革，首先是自上而下的．参与人员多是教育研究者，中小学教师等．而家长对课程知之甚少，教师夹在研究者和家长需求的中间，即研究者需要教师从教育的理论层面出发，以培养学生能力，方法和积极的态度为重，而家长对教育改革的理念不闻不问，只是一味的要求学生分数第一．在这样的情况下，教师对新课改的理念要求落实的方法总是举棋不定．很多课改的方法也流于形式．这种被动的态度很大程度上阻碍了课程改革的步伐．

因此，在这一方面，中国应该在各课改文件制定的过程中，让社会各界人士都参与到课程改革上来．社会各界的参与一方面为数学教育提供了人才培养的方向，另一方面，数学教育也可以为社会其它产业提供资源．

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[2] 全美数学顾问小组．成功的基础——全美数学顾问小组最终报告[J]．赵中建，朱鹏译．全球教育展望，2008，（7）：64-72．

[3] NCTM. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics: a Quest for Coherence [W]. http://www.nctm.org, 2006-11-16.

[4] Press Release, President Establishes National Mathematics Advisory Panel [Z]. April 18,2006,http://www.ed.gov/news/ pressreleases/2006/04/04182006a.html.

[5] NGA, CCSSO. Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. http://www.corestandards.org/the standards/ mathematics, 1-93.2010-03-06.

[6] 李祎．从“课程标准”到“课程焦点”——近20年美国数学课程发展及其启示[J]．外国中小学教育，2007，（7）：20-24．

[7] 马健生，苑大勇．《从先学前班到8年级的课程焦点：追求连贯性》报告述评[J]．全球教育展望，2008，（7）：64-72．

[8] 张奠宙，李旭辉．《成功需要基础》给我们的启示[J]．数学教学，2008，（9）：9-11．

[9] 东洪平，张维忠．美国《成功的基础》评介及其对数学课程改革的启示[J]．数学教育学报，2011，20（5）：74-76．

[10] 廖运章．美国《州共同核心数学标准》的内容与特色[J]．数学教育学报，2012，21（4）：68-72．

[11] 童莉，黄翔．寻求课程的一致性——对美国数学课程焦点的分析与思考[J]．数学教育学报，2007，16（3）：79-82．

[12] 苏红．美国州际教师核心教学标准及其特征[J]．世界教育信息，2012，（1）：21-26．

[13] 曹一鸣，王立东，Paul Cobb．美国统一州核心课程标准高中数学部分述评[J]．数学教育学报，2010，19（5）：8-11．

[14] 王尚志，高凯博．成功的基础(1)——介绍美国数学教育顾问委员会的报告[J]．数学通报，2009，（5）：17-20．

[15] 史宁中，马云鹏，刘晓玫．义务教育数学课程标准修订过程与主要内容[J]．课程·教材·教法，2012，32（3）：50-56．

[16] 许芬英．新课标，呼唤课堂教学的实质性改变[J]．中学教研（数学），2012，（4）：1-5．

[17] 朱黎生．《义务教育数学课程标准（2011年版）》修订了什么[J]．数学教育学报，2012，21（3）：7-10．

G633

：A

：1004–9894（2014）01–0084–04

2013–10–05

教育部2010年人文社会科学一般项目——多元文化数学课程的理论与实践研究（10YJA880179）

岳增成（1988—），男，山东潍坊人，硕士生，主要从事数学课程与教学论研究．张维忠为通讯作者．