对高三数学试卷讲评的几点建议

顾静华

高中数学试卷讲评是教学过程的一个重要环节，每次训练、测试后，教师必然要上讲评课. 但是目前的讲评课不少教师不甚重视，所以笔者对本校师生做了基本的调查. 针对学生和教师分别编制了不同的调查问卷，并辅以个别访谈. 经过整理和统计分析，目前试卷讲评课存在如下的问题. 首先师生对试卷讲评课的满意度相差甚远. 在对教师调查“您对自己目前的试卷讲评课还满意吗？”一题的回答中，有78%教师是“满意或非常满意”. 而在“你对数学试卷讲评课的总体感觉”一题的回答中，有60%的学生流露出了不太满意的心态. 其中15%学生认为试卷讲评课“枯燥乏味”，15%学生认为“方法单一”，30%学生认为“气氛沉闷”. 其次师生对试卷讲评课的主体在理解上存在差距. 对于试卷讲评课，需要的是教师讲得多，还是学生探究勘误得多？有50%教师是整节课在讲解. 面对学生的调查中，只有不到25%学生选择了“全部试题教师讲评”，其余绝大部分学生都希望教师在讲解重难点和分析共同错误后，能够自由交流、探究，并完成错题的更正. 在对教师的访谈中了解到造成差异主要有以下几个原因：一是学生自学能力差，教师不讲学生不会，很多教师明白，学生听懂与自己会做是两回事，就是放心不下. 二是教学任务重，时间不够. 讲课省去了学生思考的过程，那么学生学习的效果自然大打折扣. 三是部分教师不愿意尝试新的教学方法. 我认为师生对试卷讲评课的教育价值比较单一，教学是一种意向行为. 课堂教学目标的设计，教学内容的取舍，教学行为的选择都受到授课教师的价值取向的影响. 针对以上的现状，笔者认为可以从以下几方面入手，来取得讲评课较好的教学效果.

一、析错因

试卷讲评的重要目的之一是帮助学生彻底纠正错误，弥补知识缺漏. 要达到此目的，就必须对一些典型错误认真剖析. 一线教师经常感到困惑的是错误反复出现的现象，其原因之一就是教师讲评课前，对错误的原因分析不够深入，不能对学生的错误进行纠错. 所以对错误率较高的题目，教师要重点分析其出错原因，必要时还可以找一些学生当面交流，以便教师掌握的情况更准确.

案例1 已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e），g（x）=■，其中e是自然对数的底，a∈R.

（1） 当a=1，求f（x）的单调性和极值.

（2） 求证：在（1）的条件下，f（x）>g（x）+■.

（3） 是否存在实数a∈R，使f（x）的最小值为3，如存在，求a；如不存在，说明理由.

本题是一道函数与导数常规题，在高三试卷中出现较多. 笔者将本题学生的失分原因分析总结如下：

（1） 基础知识掌握不够扎实，主要表现为（lnx）′=lnx，（■）′=■，主要原因是学生不求甚解的学习习惯使所学知识成为一种孤立的、静态的、无序的状态.

（2） 忽略函数的定义域，一些同学第一问答案“函数在（0，1）上单调递减，在（-∞，0）∪（1，+∞）上单调递增”，表面上看是学生不小心忽视本题条件，实际是学生缺乏定义域意识，对函数的概念一知半解所引起的.

（3） 思维定势束缚. 本题（2）是一道不等式的证明问题，大部分学生的试卷上都是这样的答案：

设F（x）=f（x）-g（x）-■=x-lnx-■-■，x∈（0，e），则F′（x）=1-■-■=■，令F′（x）=1-■-■=■=0. 则x2-x-1+lnx=0. 很多学生到这一步不知道如何继续了，因为上述超越方程在高中阶段是无法求其精确解的，也就是无法求出函数在定义域的最小值. 分析上述失分原因，主要是因为在平时的教学中，对于这类题型，常常教学生设F（x）=f（x）-g（x），然后只要证明F（x）min>0即可，受上述解题思路影响，学生就给出上述解答.

（4） 数学思想的缺失，主要表现：①分类讨论的思想. 学生进行分类讨论时碰到最大的问题就是何时分类，如何分类. 从本题第（3）小题的学生答案看来，很多学生都能够得到f′（x）=a-■=■，x∈（0，e），接下去有些同学直接令f′（x）=0，得到x=■. 这实际上已经缺少a=0的讨论，有些同学得到后，就无法列表讨论求函数的最小值了.②数形结合的思想. 学生在整道题目的解答，都没有想到用函数图象来辅助解题. 如果在第（2）（3）小题能够画一个草图的话，可以让我们更容易找到解题思路. 特别是第（3）小题，如果能够将f′（x）=a-■=■，x∈（0，e）转化为y=ax-1的图象，则分类讨论会更加自然.

所以，教师在准备给学生上试卷讲评课前，要提前分析学生题目错误的原因，对学生的错误要有全面的认识. 这样才能更好地了解学生错误的根源，正确纠正学生的错误，不至于下次再犯类似的错误.

二、备方法

复习的目的还是为了最后一搏. 高考题千变万化，似乎让人应接不暇，但沉下心来静思，可循的规律还是很多的. 凭高三学生的能力，要他们独立地，成功地完成方法规律的发现总结，还有一定的难度. 此时教师要适时指引，恰当点拨就能起到画龙点睛的作用. 在备课中不能就题论题，而是要善于创设问题，将基础问题变换发问角度或一题多问，设置相应的问题链，通过引导审题，帮助学生找到规律. 学生一旦掌握了这些规律就会举一反三，解题就会更快、更准.

案例2 已知x2+y2=1，求x+y的最大值.

解法1：因为（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，x+y≤■，所以x+y的最大值为■.

教师引导学生反思该问题是否还有其他解法，同学们通过反思，又得到以下解法：

解法2：条件x2+y2=1可看成是以原点为圆心，半径为1的圆，问题转化为求圆上动点的横、纵坐标和的最大值. 因为x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，θ为参数，所以x+y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）≤■，所以x+y的最大值为■.endprint

解法3： 可设x+y=m，当且仅当直线l：x+y=m与圆相切时，x+y最大，由点到直线的距离公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值为■.

综上所述，同一道题目，用不同的方法来解题，不但可以对题目本身有更深的了解，而且可以开阔师生的思路和视野，提高师生的思维深度.

三、常反思

《礼记》中说道：“虽有嘉肴，弗食，不知其旨也.虽有至道，弗学，不知其善也. 是故学然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也. 故曰：教学相长也.”只有不断地反思，才能更善于发现问题的根源，才能更善于分析问题的本质，才能更善于总结解决问题的经验，才能使自己的教学行为更有智慧和有效，也只有不断地反思，才能让自己永葆职业激情，远离职业懈怠.

案例3 已知抛物线C：y=-x2+mx-1（m∈R），给定两点A（3，0），B（0，3）. 若抛物线C与线段AB有且只有一个公共点，求m的取值范围.

解：设抛物线C与线段AB的公共点为P，并设点P分线段AB所成的比为λ，则点P坐标为P（■，■），代入抛物线的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

对λ的解进行讨论：

①方程有两个异号根，保证λ有一正根，交点在线段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有两个相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一个零根. 则10-3m=0，即抛物线C与线段AB交于A点. 但另一根λ=■>0，不满足删去.

所以，满足抛物线与线段AB有且只有一个公共点的范围■ m=3或m>■.

教师意识到这种方法比较烦琐，函数本身就有参数m，再引入变量λ，从而使问题更加复杂. 如何解题更加简洁？教师经过反思，一个思路慢慢形成，即变量分离.

记抛物线C与线段AB的公共点为P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]图象，如图1：

当m=3或m>■时，抛物线C与线段AB有1个交点.

当3■.

综上所述，教师平时在解题中往往存在思维定势，在试卷讲评课中会不顾学生的思路，把自己的解法强加给学生，缺乏有效的沟通. 有时适时反思一下自己的解题思路和方法，会发现一种更加有效的方法，学生的解题中也会发现优于教师的方法.

笔者针对本校高三数学试卷讲评课的现状做了基本的调查研究. 经过整理归纳，分别罗列以上. 通过教师合理、有效地改变教学方法，与学生更多地展开讨论和交流，以期达到更加和谐的课堂教学效果，提高试卷讲评的质量，为高效教学打下基础. ■

解法3： 可设x+y=m，当且仅当直线l：x+y=m与圆相切时，x+y最大，由点到直线的距离公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值为■.

综上所述，同一道题目，用不同的方法来解题，不但可以对题目本身有更深的了解，而且可以开阔师生的思路和视野，提高师生的思维深度.

三、常反思

《礼记》中说道：“虽有嘉肴，弗食，不知其旨也.虽有至道，弗学，不知其善也. 是故学然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也. 故曰：教学相长也.”只有不断地反思，才能更善于发现问题的根源，才能更善于分析问题的本质，才能更善于总结解决问题的经验，才能使自己的教学行为更有智慧和有效，也只有不断地反思，才能让自己永葆职业激情，远离职业懈怠.

案例3 已知抛物线C：y=-x2+mx-1（m∈R），给定两点A（3，0），B（0，3）. 若抛物线C与线段AB有且只有一个公共点，求m的取值范围.

解：设抛物线C与线段AB的公共点为P，并设点P分线段AB所成的比为λ，则点P坐标为P（■，■），代入抛物线的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

对λ的解进行讨论：

①方程有两个异号根，保证λ有一正根，交点在线段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有两个相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一个零根. 则10-3m=0，即抛物线C与线段AB交于A点. 但另一根λ=■>0，不满足删去.

所以，满足抛物线与线段AB有且只有一个公共点的范围■ m=3或m>■.

教师意识到这种方法比较烦琐，函数本身就有参数m，再引入变量λ，从而使问题更加复杂. 如何解题更加简洁？教师经过反思，一个思路慢慢形成，即变量分离.

记抛物线C与线段AB的公共点为P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]图象，如图1：

当m=3或m>■时，抛物线C与线段AB有1个交点.

当3■.

综上所述，教师平时在解题中往往存在思维定势，在试卷讲评课中会不顾学生的思路，把自己的解法强加给学生，缺乏有效的沟通. 有时适时反思一下自己的解题思路和方法，会发现一种更加有效的方法，学生的解题中也会发现优于教师的方法.

笔者针对本校高三数学试卷讲评课的现状做了基本的调查研究. 经过整理归纳，分别罗列以上. 通过教师合理、有效地改变教学方法，与学生更多地展开讨论和交流，以期达到更加和谐的课堂教学效果，提高试卷讲评的质量，为高效教学打下基础. ■

解法3： 可设x+y=m，当且仅当直线l：x+y=m与圆相切时，x+y最大，由点到直线的距离公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值为■.

综上所述，同一道题目，用不同的方法来解题，不但可以对题目本身有更深的了解，而且可以开阔师生的思路和视野，提高师生的思维深度.

三、常反思

《礼记》中说道：“虽有嘉肴，弗食，不知其旨也.虽有至道，弗学，不知其善也. 是故学然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也. 故曰：教学相长也.”只有不断地反思，才能更善于发现问题的根源，才能更善于分析问题的本质，才能更善于总结解决问题的经验，才能使自己的教学行为更有智慧和有效，也只有不断地反思，才能让自己永葆职业激情，远离职业懈怠.

案例3 已知抛物线C：y=-x2+mx-1（m∈R），给定两点A（3，0），B（0，3）. 若抛物线C与线段AB有且只有一个公共点，求m的取值范围.

解：设抛物线C与线段AB的公共点为P，并设点P分线段AB所成的比为λ，则点P坐标为P（■，■），代入抛物线的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

对λ的解进行讨论：

①方程有两个异号根，保证λ有一正根，交点在线段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有两个相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一个零根. 则10-3m=0，即抛物线C与线段AB交于A点. 但另一根λ=■>0，不满足删去.

所以，满足抛物线与线段AB有且只有一个公共点的范围■ m=3或m>■.

教师意识到这种方法比较烦琐，函数本身就有参数m，再引入变量λ，从而使问题更加复杂. 如何解题更加简洁？教师经过反思，一个思路慢慢形成，即变量分离.

记抛物线C与线段AB的公共点为P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]图象，如图1：

当m=3或m>■时，抛物线C与线段AB有1个交点.

当3■.

综上所述，教师平时在解题中往往存在思维定势，在试卷讲评课中会不顾学生的思路，把自己的解法强加给学生，缺乏有效的沟通. 有时适时反思一下自己的解题思路和方法，会发现一种更加有效的方法，学生的解题中也会发现优于教师的方法.

笔者针对本校高三数学试卷讲评课的现状做了基本的调查研究. 经过整理归纳，分别罗列以上. 通过教师合理、有效地改变教学方法，与学生更多地展开讨论和交流，以期达到更加和谐的课堂教学效果，提高试卷讲评的质量，为高效教学打下基础. ■