电磁弹性薄板振动力学研究进展

朱为国，白象忠

(1.淮阴工学院 数字化制造技术重点建设实验室，江苏 淮安 223003； 2.燕山大学 建筑工程与力学学院， 河北 秦皇岛 066004)

0 引言

电磁效应是变形场同电磁场、温度场在弹性固体内外产生相互作用的一种效应。在线性状态的范围内，此效应无论是对电介质，还是对导电物体均具各式各样的数学模型。最近几年，把研究此效应的新兴学科称为耦合场理论。其中，磁弹性理论将专门研究电磁场同变形场的耦合，即研究在弹性固态物体中电磁场同变形场的相互作用。这个理论基本是线弹性理论和在自由运动介质中线性电动力学理论的耦合。如果所研究的弹性体位于初始强大的磁场中，机械荷载、热荷载在引起变形场的同时，将要产生电磁场。两个场将发生相互作用和相互影响，出现耦合机制。电磁场对变形场的作用是由运动方程中的洛仑兹力引起。变形场会影响磁场的强度、磁弹性波和电磁波的传播速度与位相，具体表现在欧姆定律中多了电流密度增长项，而且该项取决于变形物体在磁场中的位移速度[1-2]。

电磁结构的磁弹性非线性问题理论的广泛研究对于处在高温、高压和强电磁场作用下的结构元件的设计、制造及可靠性分析都具有非常重要的意义。当电磁结构处在外加电磁场环境中时，一方面电磁结构受到电磁力作用而变形；另一方面结构的变形又导致电磁场发生改变进而使电磁力的分布发生变化。对于载流导电体，其电磁力为Lorentz力；对于可极化或可磁化的电磁介质材料，电磁力是通过电极化或磁化与外界电磁场相互作用而产生的。这种电磁场与力学场相互耦合的一个基本特征就是非线性，即使将电磁场与力学场分别处理为线性的，经耦合后的电磁弹性力学边值方程仍呈非线性，这无疑给磁弹性理论的力学行为的定量分析带来难度，使它成为近代力学研究中的一个极富挑战性的课题。

1 薄板磁弹性振动问题的研究

国内外学者对电磁弹性振动问题已经做了大量的研究，取得了很多成果。

Pan E等研究了支持多层板的电磁弹性振动解。C.L. Zhang等研究了多铁叠层板壳的电磁影响。Yang Gao等总结了研究磁弹性板壳结构的精细理论[3-5]。A. Dorfmann和R. W. Ogden等学者对非线性磁弹性体的变形作了大量的研究工作，得到一些有益的结论[6-7]。

胡宇达和白象忠以磁弹性基本假设为出发点，给出了倾斜磁场中无限长条形薄板的磁弹性运动方程及电动力学方程，并推得了两长边简支薄板的磁弹性振动特征方程式[8]。算例表明，磁场因素的存在，将不同程度地影响着传导薄板的振动情况，从而可达到控制该磁场环境中薄板振动的目的。

戴宏亮等给出了在横向磁场作用下，各向异性厚壁圆筒磁弹性动力学问题的解析解[9]。磁弹性运动平衡方程中考虑了惯性效应和横向磁场中的Lorentz力的影响。利用相应的有限Hankel变换和Laplace变换，求得在横向磁场作用下，各向异性厚壁圆筒的动应力响应历程及筒体内磁场矢量扰动响应规律。

胡宇达由虚功原理给出了磁场中薄板的磁弹性耦合运动方程，采用多尺度法求出了横向磁场中条形板非线性振动的近似解，通过算例分析了磁场环境对振动周期和幅值的影响[10]。

苟兴华和张发祥给出了多层弹性导电层合板在恒定磁场中的弯曲、稳定和振动的基本方程[11]。Амбарцумян等给出的均匀、各向同性、弹性导电扳的著名方程是此文的特殊情形。

Hasanyan等研究了横向磁场中几何非线性、有限导电、各向同性弹性板带的振动行为[12]。用基尔霍夫假设与冯卡门应变概念来建立机械模型，而通过Ambartsumyan等提出的假设建立电场和磁场干扰沿板带的厚度方向分布模型。研究了磁场和电导率对板带振动的影响，并在弱磁场和高电导率两个特殊情况下，通过多重尺度法求的了系统振动的非线性固有频率。最后，得出了一些有关的结论。

Hu YD等研究了薄板受到机械载荷作用两边简支薄板的非线性主共振和组合共振及其解的稳定性问题。采用多尺度法和平均法进行求解，得到了稳态运动下的幅频响应方程.最后，通过算例，给出了相应的幅频响应曲线图和时间历程图，分析了板厚、磁场及激励幅值对系统振动的影响[13]。

2 薄板热弹耦合振动研究

热弹耦合振动是以热弹耦合和振动理论为基础发展起来的一个新兴的研究方向。热效应对结构振动的影响已经成为科技和工程界日益关注的重大课题。温度的改变经常会导致工程构件的破坏。国内外学者在板的热弹耦合振动方面也作了大量的研究,并取得了许多成果。

李忠学和严宗达研究了周边固支的矩形板上表面受均匀分布热流冲击的热弹耦合问题[14]。首先利用算子法将热传导方程由三维降为二维，和二维的热弹性运动方程相协调，然后利用双重傅里叶级数和拉普拉斯变换的方法消去方程中对时间的微分相，最后利用正交奇异法求解方程。

蒋嘉俊和顾皓中研究了矩形板耦合热冲击问题的摄动解。通过对薄板耦合热弯曲问题的完备方程的无量纲化，引出了关于薄板的无量纲热弹性耦合系数，并以此系数为摄动参数，运用奇异摄动方法，导出了其摄动方程，得到了关于矩形薄板耦合热冲击问题的一致有效的渐近解[15]。

吴晓在考虑温度对倾斜矩形板材料弹性模量影响的基础上,采用Galerkin 法、M elnikov-Ho lmes及Melnikov 原理研究了倾斜矩形板在热状态下的振动分岔，并讨论分析了温度、长宽比、板厚、倾斜角对矩形板发生混沌运动区域的影响[16]。

树学锋等人研究了圆板的非线性热弹耦合振动问题，采用Galerkin法进行求解，他们认为：热弹耦合效应对非线性振动的影响主要是引起振幅衰减，热弹耦合效应越大，振幅衰减的越快。当圆板的初始挠度较小时，耦合效应使板的振动频率加快，反之，则耦合效应使板的振动频率减小。边界条件对耦合效应有较大的影响，较强的边界条件使热弹耦合自由振动的频率变低但振荡幅度增大[17]。

尹益辉等利用有限Hankel变换法，导出了周界等温弹性支撑圆薄板在激光束辐照下的轴对称耦合热弹性弯曲振动近似解；针对具有不同弹性模量和热膨胀系数的薄板进行了热力耦合和非耦合弯曲振动的解析和有限元计算与分析[18]。

Yen-Liang Yeh对大变形简支正交异性矩形薄板的热弹耦合振动作了研究。导出了大挠度正交异性矩形薄板的热弹耦合振动的偏微分方程并用辽金法简化为三阶非线性常微分方程的。建模结果的数值模拟表明，简支正交异性矩形薄板振幅随着正交异性材料各种参数衰变的[19]。

李世荣等研究了薄板在周期热流作用下的温度响应。首先采用分离变量法，求解了以热流矢量为基本未知量的热传导方程，得到了板内热流场分布，然后再利用能量守恒方程，获得了板内温度响应的解析表达式[20]。通过计算，分析了板内温度响应随不同热流矢量延迟相以及边界热流频率的变化趋势，并与经典的Fourier热传导方程所得到的结果进行了比较。

侯鹏飞等对表面热力耦合均载作用下的简支圆板应力作了研究[21]。针对表面热力耦合均载作用下的简支空心和实心圆板，构造了3个含有待定常数的单调和函数，将其代入用单调和函数表示的横观各向同性热弹性材料的通解，获得了表面热力耦合均载作用下的简支空心圆板内热弹性场的解，再将所得解代入边界条件获得了确定待定常数和组合待定常数的线性方程组。经过合理退化进一步得到了实心圆板对应问题的解，所得各解都是用初等函数表示，非常方便工程应用。算例给出了在热力耦合载荷作用下的简支空心圆板内热弹性场的分布。

N.S. Al-Huniti和M.A. Al-Nimr采用双曲热传导模式集中分析了加热下的复合薄板的热弹性响应[22]。P. Ram等研究了具有调谐的弛豫时间下广义热弹性扩散问题的热力响应[23]。

3 板壳热磁弹性理论研究

热磁弹性理论是专门研究电磁场、温度场同变形场的耦合效应。热磁弹性理论的产生，对于处在高温、高压和强电场作用下的结构及结构元件的强度与可靠性的分析具有非常重要的意义。对温度场、电磁场与导体、变形物体间的相互作用问题的研究才刚刚起步，与该理论相关的许多因素尚未考虑，其中大部分是在没有考虑磁和电的极化特征的前提下进行的。当弹性物体材料具有磁极化特征时，场相互作用的机制将会显著地复杂化。一些学者致力于磁弹性、热磁弹性理论的实际应用研究，同时在实验领域内，开始对磁弹性、热磁弹性力学效应，以及对耦合场作用下的振型及其稳定性进行测试，提出了一些实际应用的建议和设想。

戴宏亮和戴庆华研究了厚壁圆筒在热、磁耦合作用下的动态响应[24]。运用力学和电磁场的知识对厚壁圆筒结构建立平衡方程，并通过Laplace和Hankel积分变化对物理方程进行变换，得到一个可解的方程形式。提出了一种解析方法求解杂热磁冲击作用下厚壁圆筒的动应力和磁场矢量扰动，得到柱体内动应力响应历程和分布规律及磁场矢量扰动的响应历程和分布规律。实例计算表明，该方法是简单、有效，并给出了一些有实际意义的结果。

王省哲和郑小静利用铁磁介质的磁热弹性广义变分原理和模型，以及磁弹性线性化方法和摄动技术，对铁磁梁式薄板在磁场、温度场共同作用下的多场耦合的力学行为进行了研究，解析的分析了铁磁梁式板的磁热弹性屈曲失稳，并给出了铁磁梁式板随外加磁场、温度场变化下的多场耦合稳定特征[25]。

侯鹏飞等研究了耦合均载作用下的电磁热弹性简支圆板[26]。构造了5个含有待定常数的单调和函数，将其代入用单调和函数表示的横观各向同性电磁热弹性材料的通解，获得了表面力电磁热耦合均载作用下的简支空心圆板内耦合场的解，再将所得解代入边界条件获得确定待定常数的线性方程组。该解可以退化得到实心圆板对应问题的解。所得各解都是用初等函数表示，非常方便于工程应用。算例比较了在相同热力载荷作用下，具有相同物理常数的热弹性空心圆板、压电热弹性空心圆板和电磁热弹性空心圆板内的弹性场。

何天虎和田晓耕基于Lord和Shulman广义热弹性理论，研究了热、电可导的半无限大体电磁热弹耦合的二维问题[27]。半无限大体受热和外加恒定磁场的作用，文中建立了电磁热弹性耦合的控制方程，零用正则模态法求解得到了所考虑物理量的解吸解，并用图形反映了各物理量的分布规律，从分布图上可以看出，介质中出现了电磁热弹耦合效应，各物理量的非零值仅在一个有限的区域内。

H.L. Dai和X. Wang等学者研究了磁场矢量在非均质、正交异性热弹性圆柱体和扰动正交异性复合空心圆柱的磁热应力，以及在热冲击和激励下压电层合球壳应力波的传播[28-29]。

虽然这些研究在某种程度上还处于初级阶段，但从目前研究的结果看，这对于改善壳体的工作状态是非常有益的。

4 弹性薄板混沌运动研究

混沌表示一类在确定性系统中发生的类随机运动，它不是由随机性外因引起，而是由确定性方程直接得到的具有随机性的运动状态。混沌运动是许多非线性系统的典型行为，在许多工程结构中薄板薄壳就具有类似的工作特性。因此，对板壳的混沌运动特性研究具有重要的理论和实践意思。国内外学者在这方面都做了不少研究工作。

J. Awrejcewicz等研究了各种板、板带在不同支撑和边界条件以及载荷下的非线性振动特性与分岔、混沌特性[30-31]。

Wei-Zhang等用Galerkin法从冯卡门方程导出一般方程，分析了在参数和外激励力作用下的矩形薄板、2自由度的条形板梁、悬臂梁以及非自治的屈曲薄板的局部和全局分岔[32-33]。

叶建军讨论了具有均匀介质的弹性矩形薄板在微扰下产生混沌运动的条件。徐耀寰和蔡宗熙用Melnikov-Holmes方法研究四边简支的弹性矩形薄板可能发生混沌振动的临界条件[34-35]。

米晋生等考虑材料的非线性粘弹性效应，建立了板条的横向动力方程，利用Melnikov函数法给出了系统发生混沌运动的临界条件，最后对通向混沌的道路进行了讨论[36]。

高原文等在磁体力分布的磁弹性理论模型和磁场准静态假定模式基础上，对于处在周期时变磁场中的不可移简支铁磁架式板非线性磁弹性动力特性进行定性与定量分析[37]。首先利用磁场的摄动技术和结构变形的模态法，导出了关于模态坐标的非线性动力方程；然后利用Melnikov方法，从理论上给出这一磁弹性动力系统可能出现混沌运动的必要条件及参数范围；最后利用变步长Runlge-Kutta数值积分方法对其磁弹性相互作用的混沌现象进行了定量搜索与模拟，并利用其轨迹的Poincare截面图与Liapunov指数加以判断。结果表明，磁弹性简支粱式板在横向周期时变磁场中存在混沌吸引子，且在机械阻尼很小时其混沌吸引子表现出稠的特性。

吴晓采用Melnikov法及Galerkin原理研究了屈曲黏弹性矩形板的非线性振动分岔，并讨论分析了长宽比、板厚等因素对屈曲黏弹性矩形板发生混沌运动区域的影响[38]。

Yeh YL等对热弹非耦合圆板和热弹耦合矩形板的分岔与混沌作了研究[39-40]。

王新志等推导出圆薄板的动力变分方程，用Galerkin法得到一个三次非线性振动方程，用Flouquet指数和Melnikov方法分别研究了圆板的分岔问题和可能发生的混沌振动[41]。

Hsin-Yi Lai等利用分形维数和最大Lyapunov指数的判断准则，提出了一种新的方法来描述简支大挠度矩形板有可能导致混沌运动的条件[42]。首先推导得到简支矩形板控制偏微分方程，然后用Galerkin方法将其简化为两个常微分方程。

薛春霞和树学锋研究处于横向均匀磁场中四边简支的软铁磁矩形薄板，在横向均布载荷作用下，主要考虑因磁化和涡电流引起的磁场力作用，由伽辽金法推导出磁弹性振动微分方程，求得了系统的同宿轨道参数方程；并推导和求解了振动系统的同宿轨道的Melnikov函数，给出了判断该系统发生Sma1e马蹄变换意义下混沌振动的条件和混沌判据，进一步应用Matlab程序对系统的混沌特性进行了数值模拟得到相应的相图、庞加莱截而图和时程曲线图，验证了混沌现象的存在[43]。

Chin, C和Nayfeh, A. H.研究了外激励下圆柱弹性壳的分岔和混沌[44]。P. Riberiro和R. P. Duarte研究了从周期向混沌振荡的复合材料层合板[45]。Xiaoling He用解耦的模态分析法研究了受热载作用下简支正交异性板薄的非线性动力学问题[46]。

X. L. LENG等对谐波激励下随机Duffing系统的分岔和混沌进行了分析[47]。S. B. Samoylenko和W. K. Lee研究了谐激励下无阻尼圆板的全局分叉和混沌[48]。

燕山大学白象忠团队从2006年起针对电磁弹性薄板在多场载荷作用下的分岔和混沌运动特性进行了系列研究，取得了一些研究成果[49-53]。

5 结束语

本文回顾了电磁弹性薄板非线性振动研究历史，并重点介绍了国内外薄板磁弹性振动、热弹耦合、热磁弹性、分岔与混沌等方面的研究进展，为薄板薄壁结构在多物理场作用下性能优化、提高工程结构寿命提供了有益的理论指导。

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