可分解带约束的强部分平衡2-设计的构造

孙信秀

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

可分解带约束的强部分平衡2-设计的构造

孙信秀

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

很多学者已经研究了带约束的强部分平衡t-设计. 但是关于可分解带约束的强部分平衡t-设计的结果却很少.利用分裂弱横截设计建立可分解带约束的强部分平衡2-设计的若干构造方法，从而得到两类新的可分解带约束的强部分平衡2-设计.

带约束的强部分平衡t-设计； 可分解带约束的强部分平衡t-设计； 分裂弱横截设计

1 可分解带约束的强部分平衡t-设计

带约束的强部分平衡t-设计是由Pei Dingyi、Li Yuqiang、Wang Yejing等[1]在研究带仲裁的认证码时首先引入的.2012年Liang Miao和Du Beiliang[2]利用带约束的强部分平衡t-设计给出了t-阶完善分裂认证码的组合刻画.

定义1.1 设v，b，k，c，λ，t为正整数，t≤k，带约束的部分平衡t-设计RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)是一个二元组(X，B)，其中X是v元集(称为点集)，B是X的大小为kc的子集的集合(称为区组集)，且满足下列条件:

1)每个区组B∈B都可以表示成k个长为c的互不相交的子区组的并，即B=B1∪B2∪…∪Bk；

2)X中任意t元点集{x1，x2，…，xt}或在λ个区组B=B1∪B2∪…∪Bk中同时出现，且x1∈Bi1，x2∈Bi2，xtBit(i1，i2，…，it两两不同)或不在任一区组中出现.

本文中RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)的区组记作，称|X|=v为带约束的部分平衡t-设计的阶.

定义1.2 带约束的部分平衡t-设计RPBD t-(v，b，k×c；λ，0)，如果同时也是带约束的部分平衡s-设计RPBD s-(v，b，k×c；λs，0)，0

易见，带约束的强部分平衡t-设计同时也是一个1-设计，λ1=r是包含某一固定点的区组的个数.

定义1.3 带约束的强部分平衡t-设计RSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0)是可分解的，如果它的区组集能划分成若干个类，使得该设计中任一元素在每个类中恰出现1次，记为RRSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0).

很多学者已经研究了RSPBD t-(v，b，k×c；λ1，λ2，…，λt，0)s(见文献[3]-[12]). 本文将研究可分解带约束的强部分平衡2-设计，建立可分解带约束的强部分平衡2-设计的两个构造方法，得到两类新的可分解带约束的强部分平衡2-设计.

2 两个新的构造方法

为了给出这两个新的构造，需要引入分裂弱横截设计的概念.

定义2.1 设k，c，m为正整数，分裂横截设计splitting WTD(k×c，m)是一个三元组(X，G，B)，其中:X是kcm元集(称为点集)；G是X的大小为m的子集的集合(称为组集)；B是X的大小为kc的子集的集合(称为区组集)，且满足下列条件:

1)G构成X的一个划分，且G被分成k个部分，使得每个部分包含c个组，即G=G1∪G2∪…∪Gk；

2)每个区组B∈B都可以表示成k个长为c的互不相交的子区组的并，即B=B1∪B2∪…∪Bk，且Bi=B∩Gi，0≤i≤k；

3)B∈B，G∈G，|B∩G|=1；

4)X中任意不在同一部分的点对{x，y}，即x∈Gs，y∈Gt，s≠t，恰存在唯一的一个区组B=B1∪B2∪…∪Bk使得x∈Bi，y∈Bj，i≠j.

定义2.2 分裂横截设计splitting WTD(k×c，m)是可分解的，如果它的区组集能划分成若干个类，使得该设计中任一元素在每个类中恰出现1次，记为RSWTD(k×c，m).

引理2.3 对任意正整数c和m，存在可分解分裂弱横截设计 RSWTD(2×c，m)[13].

下面给出第一个构造方法.

定理2.4 假设存在

1)可分解带约束的强部分平衡2-设计RRSPBD 2-

3)可分解分裂弱横截设计RSWTD(k×c，v2)，

则存在可分解带约束的强部分平衡2-设计RRSPBD 2-

证明 设(X，A)和(Y，B)分别为R R S P B D 2-和R R S P B D 2-.记A1，A2，…，Aλ1是A的λ1个平行类. 对任意A={a1，a2，…，ac；b1，b2，…，bc；…；d1，d2，…，dc}={A1，A2，…，Ak}∈A，在A×Y上以{a}×Y，a∈A为组，以Ai×Y，1≤i≤k为部分构造可分解分裂弱横截设计RSWTD(k×c，v2)，其区组集记为DA，且DA被划分成v2个平行类，1≤i≤v2.记.在 {x}×Y上构造RRSPBD 2-({x}×Y，Bx)，记是Bx的个平行类，并记.易见，(X×Y，DA∪BX)是RSPBD 2-

为了给出第二个构造方法，需要引入部分平行类的概念.

定义2.5 如果带约束的强部分平衡t-设计的区组集B的子集B'B，是由两两不相交的区组组成，则该子集B'被称为部分平行类.

定理 2.6 假设

1)(X，A)是可分解带约束的强部分平衡2-设计RRSPBD 2-

2)(Y，B)是带约束的强部分平衡2-设计RSPBD 2-且B能被划分成s个部分平行类B1，B2，…，Bs，s≤λ1+λ1'，

3)可分解分裂弱横截设计RSWTD(k×c，v2)，

则存在可分解带约束的强部分平衡2-设计RRSPBD 2-

证明 设A1，A2，…，Aλ1是A的λ1个平行类.对任意A={a1，a2，…，ac；b1，b2，…，bc；…；d1，d2，…，dc}={A1，A2，…，Ak}∈A，在A×Y上以{a}×Y，a∈A为组，以Ai×Y，1≤i≤k为部分构造可分解分裂弱横截设计RSWTD(k×c，v2)，其区组集记为DA，且DA被划分成v2个平行类DAi，1≤i≤v2.记.在 {x}×Y上构造RSPBD 2-({x}×Y，Bx)，并记.易见，(X×Y，DA∪BX)是 RSPBD 2-

3 结论

利用以上两个构造方法得到两类区组大小为2×4可分解带约束的强部分平衡2-设计.

引理3.1 存在RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0).

证明 易见X=Z8，B={{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；4，5，6，7}}是一个RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0).

引理3.2 存在RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0).

证明 易见X=Z12，B={{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；8，9，10，11}，{4，5，6，7；8，9，10，11}，{0，1，2，3；4，5，6，7}，{0，1，2，3；8，9，10，11}，{4，5，6，7；8，9，10，11}} 是一个RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0).

定理 3.3 对任意正整数n≥2，存在RRSPBD 2-(8n，8n-1(5×2n-2)，2×4；5×2n-2，2，0).

证明 由引理 3.1和引理2.3知，存在RRSPBD 2-(8，2，2×4；2，2，0)和 RSWTD(2×4，8). 应用定理2.4即得所需设计.

定理 3.4 对任意正整数n≥2，存在RRSPBD 2-(12×8n，30×8n(3×2n-1)，2×4；20(3×2n-1)，2，0).

证明 由定理3.3和引理2.3知，存在RRSPBD 2-(8n，8n-1(5×2n-2)，2×4；5×2n-2，2，0)和RSWTD(2×4，12). 由引理3.2知，存在RSPBD 2-(12，6，2×4；4，2，0)，且它的区组集能被划分成6个部分平行类. 应用定理2.6即得所需设计.

[1] Pei Dingyi，Li Yuqiang，Wang Yeying，et al. Characterization of authentication codes with arbitration[C]//Lecture Notes in Computer Science. Berlin-Heidelberg-New York:Springer-Verlag，1999，1587:303-313.

[2] Liang Miao，Du Beiliang.A new class of 3-fold perfect splitting authentication codes[J]. Des. Codes Cryptogr，2012，62(1):109-119.

[3] Ogata W，Kurosawa K，Stinson D R，et al.New combinatorial designs and their applications to authentication codes and secret sharing schemes[J]. Discrete Math，2004，279(1/2/3):383-405.

[4] Du Beiliang.Splitting balanced incomplete block designs with block size 3 2[J]. J. Combin. Designs，2004，12(6):404-420.

[5] Du Beiliang.Splitting balanced incomplete block designs[J].Australas. J. Combin，2005，31:287-298.

[6] Liang Miao，Du Beiliang. Splitting balanced incomplete block designs with block size 2×4[J].J. Combin. Math. Combin. Computing，2007，63:159-172.

[7] Liang Miao，Du Beiliang. Existence of optimal restricted strong partially balanced designs[J]. Utilitas Math，2012，89:15-31.

[8] Liang Miao，Du Beiliang.A new class of splitting 3-designs[J].Des. Codes Cryptogr，2011，60(3):283-290.

[9] Ge G，Miao Ying，Wang Lihua.Combinatorial constructions for optimal splitting authentication codes[J].SIAM J. Discrete Math，2005，18(4):663-678.

[10] Wang Jinhua.A new class of optimal 3-splitting authentication codes[J].Des. Codes Cryptogr，2006，38(3):373-381.

[11] Wang Jinhua，Su Renwang.Further results on the existence of splitting BIBDs and application to authentication codes[J].Acta Appl. Math，2010，109(3):791-803.

[12] Chee Y M，Zhang Xiande，Zhang Hui.Infinite families of optimal splitting authentication codes secure against spoofing attacks of higher order[J].Adv. Math. Commun，2011，5(1):59-68.

[13] Liang Miao. Some constructions of resolvable splitting BIBDs[J]. 苏州大学学报:自然科学版，2006，22(1):15-18.

(责任编辑:沈凤英)

Constructions of Resolvable Restricted Strong Partially Balanced 2-Designs

SUN Xin-xiu
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Many researchers have studied the existence and constructions of restricted strong partially balanced t-designs. But much less is known about resolvable restricted strong partially balanced t-designs. Splitting weak transversal design can establish some constructions of resolvable restricted strong partially balanced 2-designs，and obtain two infnite classes of them.

restricted strong partially balanced t-designs；resolvable restricted strong partially balanced t-designs；splitting weak transversal designs

O157.2

A

1008-5475(2014)04-0007-04

2014-08-05；

2014-08-25

国家自然科学基金资助项目（11301370）；苏州市职业大学青年基金资助项目（2010SZDQ11）

孙信秀（1976-），女，江苏盐城人，副教授，硕士，主要从事应用数学研究.