Lagrange中值定理在伏安法测电阻实验数据中的应用

豆铨煜，王励冰，宋 莹

(周口师范学院数学与统计学院，河南 周口 466001)

0 引言

拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心，在导数应用中起着桥梁作用，揭示了函数整体与局部的关系，是研究函数变化的纽带。本文主要讨论Lagrange中值定理在伏安法测电阻的实验数据中的应用，文献［1］采用平均值方法，为了体现微分中值定理方法的精确度，本文又利用Matlab描点法绘出原始数据的U－I曲线，通过比较得出Lagrange中值定理方法具有较小的误差，即Lagrange中值定理方法在处理数据时具有较高的精度。

引理 1(Lagrange 中值定理［2］［3］):若 f(x)在［a，b］上连续，在 (a，b)内可导，则至少存在一点 ξ∈(a，b)，使得

1 伏安法测电阻概述

伏安法测电阻的具体实验方法和实验内容详见文献［1］，其中所测电阻的阻值R≈10KΩ，通过实验测得数据如表:

表1 实验所测电阻两端的电压值和电流值

对于此实验的数据处理，文献［1］采用了平均值方法对实验数据进行了处理.具体方法是根据所测的电压U和电流I，利用公式，算出每次实验对应的电阻值，再对这些电阻值求平均值，所得值即为所测电阻阻值R1。

为了体现微分中值定理方法的精确度，本文采用Matlab描点法，根据电压和电流的数据描出U－I散点图，因为所测电阻为一个恒定电阻，故大部分散点会落在一条直线上，在图中绘出这条直线并求出直线斜率即为所求电阻值。然后利用求得三种方法对应的误差度σ，比较它们的误差i度，可以看出各自的精确性。

2 Lagrange中值定理应用

2.1 平均值方法

根据表(1)中的数据计算出相应的电阻值，如表2所示:

表2 实验数据和计算的电阻值

由上表第三行的电阻值，可计算出电阻平均值为9470.58，故该电阻R1=9.47KΩ。此方法的误差度为

2.2 微分中值定理方法

(1)计算实验测得值的平均值。具体的数据结果如图2所示，利用Excel中的(A2:A11)和(B2:B11)分别计算出“电压计算用值”一列

(C2==AVERAGE(A2:A3)，其中C3～C10采用Excel公式拖拽功能即可)

和“电流计算用值”一列(D2==AVERAGE(B2:B3)，其中D3～D10采用Excel公式拖拽功能即可)。

(2)计算U－I曲线斜率。利用微分中值定理计算U－I曲线在“电压计算用值”和“电流计算用值”下的斜率，即，E～E采用Excel公式拖拽功能即可)。39

(3)计算斜率的平均值和误差度。计算U－I曲线斜率的平均值9958.4125，故所测电阻值R2=9.958KΩ.此方法的误差度为

数据结果在Excel中的截图如图2所示:

图2 Excel中的截图

2.3 Matlab 描点法

利用Matlab描点作图3如下:

图3 Matlab绘制的U－I曲线

利用Matlab所测得直线斜率为0.0099，即所测电阻的电阻R1=9.9KΩ.此方法计算的误差度为

由σ2＜σ3＜σ1可知，利用Matlab描点法和求平均值法误差稍大，而Lagrange中值定理方法处理数据误差度较小，因此在误差允许范围内，Lagrange中值定理方法具有较高的精度.Lagrange中值定理方法和平均值方法实质是对斜率进行了不同的处理，因此在研究处理斜率的问题时，可以考虑利用Lagrange中值定理方法，它具有一定的理论意义和实践价值。

［1］常加忠，吴定允.大学物理实验［M］.石家庄:河北教育出版社，2006:161－168.

［2］华东师范大学数学系.数学分析:上册［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001:119－135.

［3］欧阳光中，朱学炎.复旦大学数学系.数学分析:上册［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007:184－225.