分数阶Duffing振子的亚谐共振

韦 鹏， 申永军， 杨绍普

(石家庄铁道大学机械工程学院， 河北 石家庄 050043)

引 言

分数阶微积分运算包括分数阶微分和分数阶积分运算，其含义就是将常规微积分运算的阶次从传统的整数阶推广到分数阶和复数阶的情况。从1695年Leibniz与Hospital的最早研究开始，发展至今已经有300多年历史。在这个过程中，很多学者围绕着分数阶微积分的性质和特点展开了研究，在基础理论方面取得了较大的进展[1,2]。同时，分数阶微积分也可以用来解决工程中的科学问题，例如：模拟含记忆特性的工程材料的本构关系，分数阶微积分的引入能够更加准确地反映材料的真实本构关系；由于分数阶反馈和传统的整数阶反馈相比具有控制精确、鲁棒性更好、抗噪声能力强等优点，因此在控制系统中人为引进分数阶反馈项能够提高系统的控制效果。

目前对于分数阶动力系统的研究主要分为三类[3～13]，分别是解析、定性和数值的研究。其中解析研究主要目的是找到系统的近似解并进行定量分析，定性研究主要研究解的数目和稳定性的变化，数值研究则偏重于稳定可靠的数值计算方法或者直接数值分析分数阶微分方程的复杂动力学现象。申永军、杨绍普等人研究了一些含分数阶微分的线性和非线性振子[3～6]，分析了分数阶微分项中各个参数对系统动力学行为的影响。李媛萍[7]等人对分数阶van der Pol-Duffing系统的非线性动力学行为进行分析，发现在地震荷载作用下，分数阶次的变化能改变系统的输出能量。廖少锴和张卫利用Newmark法研究了一些非线性分数阶微分振子的动力学行为并推广到Duffing系统[8,9]，建立了高效率的数值计算格式。陈林聪和朱位秋等人研究了谐和与宽带噪声联合激励下含分数阶微分项的Duffing振子和其它非线性振子的随机平稳响应[10～12],验证了解析方法的准确性。刘崇新等人提出了基于Lyapunov方程的分数阶系统稳定理论的控制方法[13]，并设计了相应的控制器。

目前在大量对分数阶动力系统进行解析研究的文献中一般是直接将分数阶微分项当作阻尼来进行处理，这是不恰当的。由申永军、杨绍普等人对分数阶微分方程的解析研究发现[3～6]，动力系统中的分数阶微分项不仅起到阻尼的作用还起到刚度的作用。本文以含分数阶微分项的Duffing振子为对象，研究分数阶微分项对系统1/3次亚谐共振动力学特性的影响。利用平均法建立了系统的一次近似解析解，同时通过分数阶微分项的系数和阶次对等效线性阻尼和等效线性刚度的影响，研究了分数阶微分项对系统的1/3次亚谐共振解的存在条件、定常解稳定性条件和幅频特性的影响。

1 分数阶Duffing振子的1/3次亚谐共振近似解

研究如下含分数阶微分项的Duffing振子

(1)

式中m,k,c,α1,F1,ω分别为系统的质量、线性刚度、线性阻尼、非线性刚度系数、激励幅值和频率，K1(K1>0)和p(0≤p≤1)分别是分数阶微分项的系数和阶次。分数阶微分的定义方式有多种，这里采用Caputo型分数阶微分定义

(2)

式中Γ(x)为Gamma函数，满足Γ(x+1)=xΓ(x)。

对系统进行如下坐标变换：

式(1)变为

(3)

(4)

假设式(4)的解具有如下形式：

其中

根据平均法在[0,T]区间上对式(6)进行积分平均：

积分平均时，可取T=2π(若Pi(a,θ)(i=1,2)是周期函数)或者T=∞(若Pi(a,θ)(i=1,2)是非周期函数)。对式(7)第一部分积分得到：

对式(7)第二部分积分得到：

引入两个基本公式[4]：

(11)

利用坐标变换s=t-u，ds=-du得到

(12)

(13)

(14)

利用类似的方法，发现当T→∞

(15)

因此

(16)

(17)

于是得到

(18a)

(18b)

结合式(8)和(18)得到

代入原系统参数得到

其中

分别定义为1/3次亚谐共振时的等效线性阻尼和等效线性刚度。

分析式(21)可知，分数阶微分项的系数K1和阶次p对等效线性阻尼和等效线性刚度都有重要的影响。分数阶系数K1与等效线性阻尼和等效线性刚度成线性关系，因此分数阶系数K1的大小影响着系统响应幅值的大小和系统共振频率的大小。更重要的是分数阶阶次p对等效线性阻尼和刚度的影响，当分数阶阶次p→1时，分数阶微分项几乎等同于线性阻尼，等效线性阻尼趋近于极大值c+K1，系统响应的幅值会较小；当分数阶阶次p→0时，分数阶微分项几乎等同于线性刚度，等效线性刚度趋近于极大值k+K1，系统共振频率会较大，同时等效线性阻尼趋近于极小值c，系统响应幅值也会较大。这些特性与人们的直观感觉是一致的。从式(21)中，还可以发现等效线性阻尼和等效线性刚度与激励频率也存在着一定关系。

2 1/3次亚谐共振解的存在条件和定常解的稳定性分析

2.1 1/3次亚谐共振解的存在条件

(22a)

(22b)

(23)

以及相频曲线方程

(24)

(25)

令

则式(25)变换为

A1ρ2+B1ρ+C1=0

(26)

求解式(26)得到

(27)

根据上式得到系统1/3次亚谐共振解的存在条件

(28)

从而由式(28)的两个不等式可以得到定常解的存在条件如下

(29)

将

代入式(29)得到

(30)

研究式(30)，可以得到分数阶参数对定常解存在条件的影响。同时，还可以发现定常解的存在条件与激励频率也存在着一定关系。

2.2 定常解稳定性分析

(32)

其中

于是得到特征方程

(33)

由于C(p)>0，因此可以得到定常解的稳定性条件为

(34)

式中R定义为稳定性条件参数。

展开式(34)并化简得到

(35)

由式(35)可以发现，幅频曲线存在两个定常解时，上枝是渐进稳定的，而下枝是不稳定的。这与传统整数阶Duffing振子的亚谐共振情况是一致的。

3 数值仿真

选取一组基础参数：m=5，k=45，c=0.2，α1=15，F1=200，K1=1，p=0.5，根据(5)式和(25)式得到系统的幅频曲线如图1所示，其中实线表示稳定解，虚线表示不稳定解。为了验证解析结果的准确性，参照文献[1]中的分数阶数值解法，对分数阶Duffing系统亚谐共振的幅频曲线进行数值分析。首先，引入数值解法的近似公式

(36)

(37)

在运用Matlab的计算过程中，取步长h=0.005，计算时间t=200 s，将前160 s响应值略去，取后40 s的响应最大幅值为稳定幅值，所得数值结果如图1中圆圈所示。可见，近似解与数值解符合效果较好，说明本文得到的结果具有较高的精度。

图1 系统近似解与数值解幅频曲线的比较

3.1 1/3次亚谐共振解的存在条件

根据式(30)，得到分数阶微分项系数和分数阶微分项阶次对1/3次亚谐共振解的存在条件的影响图，分别如图2和3所示。

图2表示当p=0.5时分数阶微分项系数K1对系统1/3次亚谐共振解的存在条件的影响。其中K1=0表示整数阶Duffing亚谐共振周期解的存在条件。从图2中可以看出，随着分数阶微分项系数K1的增大， 1/3次亚谐共振的存在区域逐渐减小。分析发现，K1的增大会导致等效线性阻尼的增大，根据文献[14]，这时1/3次亚谐共振的存在区域会减小。

图2 K1对系统亚谐共振解的存在条件的影响

图3表示K1=1时分数阶微分项阶次p对系统1/3次亚谐共振解的存在条件的影响。从图3中看到，随着分数阶微分项阶次p的增大，满足1/3次亚谐共振解的存在条件区域逐渐减小。分析发现，随着p的增大，分数阶微分项的阻尼作用在逐渐增强。尤其是当p=1时，分数阶微分项完全等同于线性阻尼，因此1/3次亚谐共振的存在区域会减少至最小。

图3 p对系统次亚谐共振解的存在条件的影响

3.2 定常解的稳定性条件

根据式(34)和(35)以及C(p)和K(p)，可以得到分数阶微分项系数和阶次对稳定性条件参数R的影响图，分别如图4和5所示。

图4为p=0.5且ω分别为10，13，15时，分数阶微分项系数K1对稳定性条件参数的影响。其中，虚线表示定常解不稳定时对应的稳定性条件参数，其他线型表示定常解稳定时对应的稳定性条件参数。由式(34)，(35)并结合图4可知，随着K1的增大，定常解稳定部分的稳定性条件参数逐渐增大，最终趋近于零。由于K1的增大会导致等效线性阻尼增大，因此1/3次亚谐共振稳定幅频曲线的存在范围在逐渐减小。

图4 K1对稳定性条件参数的影响

图5 p对稳定性条件参数的影响

图5表示在K1=1且ω分别为10，13，15时，分数阶微分项阶次p对稳定性条件参数的影响。同样，图5中虚线部分对应不稳定定常解。由公式(34),(35)并结合图5可知，当p增大时，定常解稳定部分的稳定性条件参数也是逐渐增大的。分析发现，随着p的增大，分数阶微分项的阻尼作用逐渐增强，将会破坏系统的稳定性。

3.3 1/3次亚谐共振幅频曲线

根据对1/3次亚谐共振解的存在条件的分析，仍然选用原系统参数对比整数阶与分数阶的1/3次亚谐共振幅频曲线如图6所示。分析图6可知，分数阶微分项会引起系统等效线性阻尼和等效线性刚度的同时增大，从而导致幅频曲线中响应幅值的相对减小以及系统共振频率的增大，在幅频曲线上表现为幅值减小和幅频曲线右移。

图6 整数阶与分数阶系统幅频曲线比较

图7 K1对系统幅频曲线的影响

在p=0.5的条件下，当分数阶微分项的系数K1取不同值时，得到幅频曲线如图7所示。分析图7发现，随着K1的增大，系统等效线性阻尼在逐渐增大，因此系统响应幅值在逐渐减小；同时系统等效线性刚度也在逐渐增大，导致系统共振频率增大，幅频曲线向右偏移。并且不再像整数阶Duffing振子那样(幅频曲线相互包含)，不同参数下的分数阶Duffing振子的幅频曲线出现了相交。

在K1=1的条件下，当分数阶微分项的阶次p取不同值时，得到幅频曲线如图8所示。分析图8可知，在p从0到1的变化过程中，系统等效线性阻尼逐渐增大，同时等效线性刚度逐渐减小，亚谐共振的响应幅值也在逐渐减小，系统的共振频率相应逐渐减小。但是，根据系统周期解存在条件，阻尼的增大会导致周期解存在区域减小。二者作用相结合，使得系统的共振频率增大且共振区间显著减小，并且不同参数下的分数阶Duffing振子的幅频曲线出现了相交。

图8 p对系统幅频曲线的影响

4 结 论

本文利用平均法对含分数阶微分项的Duffing振子的1/3次亚谐共振响应进行了研究，借助等效线性阻尼和等效线性刚度的概念分析了分数阶微分项的系数和阶次对系统1/3次亚谐共振解的存在条件、稳定性条件及响应特性的影响，发现分数阶微分项的系数和阶次可以通过影响系统的等效线性阻尼，从而影响系统的响应幅值，同时还可以通过影响系统的等效线性刚度从而影响系统共振频率大小。分数阶微分项同时起到刚度和阻尼的作用，对系统的动力学行为有着重要影响。

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