二次根式的求值技巧

2014-04-02 19:27李新云
初中生之友·中旬刊 2014年3期
关键词:根式化简负数

李新云

二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明,供同学们学习时参考。

一、利用二次根式的定义

例1 已知x、y为实数,且满足■-(y-1)■=0,则x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定义,得■≥0,■≥0,则有y-1≥0。

又1-y≥0,则可以求出y的值,从而x的值也可以求出。

解 已知等式即为■=(y-1)■。

因为■≥0,■≥0,

所以y-1≥0,即1-y≤0。

因为1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

则原式=(-1)2013-12013=-2。

点评 若■有意义,则■中隐含着两个非负数:一个是被开方数a≥0,另一个是■≥0。

二、利用倒数关系

例2 已知a=2+■,b=2-■,试求■-■的值。

分析 由ab=1,得a和b互为倒数,那么■=a,■=b。

解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

则原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

点评 如果ab=1,那么a和b互为倒数,即有■=a,■=b。解题时我们要注意利用这一性质。

三、利用平方法

例3 若m=■,则m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因为m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。

解 因为m=■=■+1。

所以m-1=■,(m-1)2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

点评 对于m=■+b的多项式求值问题,应先将这个条件变形为

m-b=■,然后两边平方,从而解决问题。

四、利用非负数和为零

例4 若■+(b-2)2=0,则a2+■-b=______。

分析 从已知等式出发,看看能否确定a2+■的值及b的值。

解 因为■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

则原式=a+■2-2a·■-b=21。

点评 常见的非负数有:实数的绝对值,实数的平方,非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0,则每一个都等于0。

五、利用实数相等的性质

例5 已知a、b为有理数,m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分,且amn+bn2=1,则2a-b=______。

分析 先确定m、n的值,再将其代入已知等式中,可知左边有理数部分为1,无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。

解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

因为amn+bn2=1,

所以23-■a+3-■2b=1。

所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

所以6a+16b=1,2a+6b=0。

所以a=■,b=-■。

则2a-b=2×■-(-■)=■。

点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分,n■是它的无理数部分。如果两个实数相等,那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值,只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此,应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知两等式即为a=■+■+b,c=b-■+■,

所以a-c=2■。

则原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

=(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式,将形如a2±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的形式。

练习

1.计算2■-6■+■的结果是( )

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a,则( )

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,则m-n=( )

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化简后,结果正确的是( )

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式计算正确的是( )

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估计■×■+■的运算结果在( )

A.1到2之间 B.2到3之间

C.3到4之间 D.4到5之间

7.若a<1,化简■-1等于( )

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知实数a满足2011-a+■=a,则a-20112的值是( )

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

练习参考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明,供同学们学习时参考。

一、利用二次根式的定义

例1 已知x、y为实数,且满足■-(y-1)■=0,则x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定义,得■≥0,■≥0,则有y-1≥0。

又1-y≥0,则可以求出y的值,从而x的值也可以求出。

解 已知等式即为■=(y-1)■。

因为■≥0,■≥0,

所以y-1≥0,即1-y≤0。

因为1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

则原式=(-1)2013-12013=-2。

点评 若■有意义,则■中隐含着两个非负数:一个是被开方数a≥0,另一个是■≥0。

二、利用倒数关系

例2 已知a=2+■,b=2-■,试求■-■的值。

分析 由ab=1,得a和b互为倒数,那么■=a,■=b。

解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

则原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

点评 如果ab=1,那么a和b互为倒数,即有■=a,■=b。解题时我们要注意利用这一性质。

三、利用平方法

例3 若m=■,则m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因为m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。

解 因为m=■=■+1。

所以m-1=■,(m-1)2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

点评 对于m=■+b的多项式求值问题,应先将这个条件变形为

m-b=■,然后两边平方,从而解决问题。

四、利用非负数和为零

例4 若■+(b-2)2=0,则a2+■-b=______。

分析 从已知等式出发,看看能否确定a2+■的值及b的值。

解 因为■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

则原式=a+■2-2a·■-b=21。

点评 常见的非负数有:实数的绝对值,实数的平方,非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0,则每一个都等于0。

五、利用实数相等的性质

例5 已知a、b为有理数,m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分,且amn+bn2=1,则2a-b=______。

分析 先确定m、n的值,再将其代入已知等式中,可知左边有理数部分为1,无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。

解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

因为amn+bn2=1,

所以23-■a+3-■2b=1。

所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

所以6a+16b=1,2a+6b=0。

所以a=■,b=-■。

则2a-b=2×■-(-■)=■。

点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分,n■是它的无理数部分。如果两个实数相等,那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值,只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此,应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知两等式即为a=■+■+b,c=b-■+■,

所以a-c=2■。

则原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

=(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式,将形如a2±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的形式。

练习

1.计算2■-6■+■的结果是( )

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a,则( )

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,则m-n=( )

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化简后,结果正确的是( )

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式计算正确的是( )

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估计■×■+■的运算结果在( )

A.1到2之间 B.2到3之间

C.3到4之间 D.4到5之间

7.若a<1,化简■-1等于( )

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知实数a满足2011-a+■=a,则a-20112的值是( )

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

练习参考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

二次根式求值问题是二次根式学习中常见的问题。解答时必须考虑利用一些解题技巧。下面举例说明,供同学们学习时参考。

一、利用二次根式的定义

例1 已知x、y为实数,且满足■-(y-1)■=0,则x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定义,得■≥0,■≥0,则有y-1≥0。

又1-y≥0,则可以求出y的值,从而x的值也可以求出。

解 已知等式即为■=(y-1)■。

因为■≥0,■≥0,

所以y-1≥0,即1-y≤0。

因为1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

则原式=(-1)2013-12013=-2。

点评 若■有意义,则■中隐含着两个非负数:一个是被开方数a≥0,另一个是■≥0。

二、利用倒数关系

例2 已知a=2+■,b=2-■,试求■-■的值。

分析 由ab=1,得a和b互为倒数,那么■=a,■=b。

解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

则原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

点评 如果ab=1,那么a和b互为倒数,即有■=a,■=b。解题时我们要注意利用这一性质。

三、利用平方法

例3 若m=■,则m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因为m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,关键在于确定m3及m2-2m-2013的值。

解 因为m=■=■+1。

所以m-1=■,(m-1)2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

点评 对于m=■+b的多项式求值问题,应先将这个条件变形为

m-b=■,然后两边平方,从而解决问题。

四、利用非负数和为零

例4 若■+(b-2)2=0,则a2+■-b=______。

分析 从已知等式出发,看看能否确定a2+■的值及b的值。

解 因为■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

则原式=a+■2-2a·■-b=21。

点评 常见的非负数有:实数的绝对值,实数的平方,非负实数的算术平方根。若其中任意两个或三个的和等于0,则每一个都等于0。

五、利用实数相等的性质

例5 已知a、b为有理数,m、n分别表示5-■的整数部分和小数部分,且amn+bn2=1,则2a-b=______。

分析 先确定m、n的值,再将其代入已知等式中,可知左边有理数部分为1,无理数部分为0。由此可以确定a、b的值。

解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

因为amn+bn2=1,

所以23-■a+3-■2b=1。

所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

所以6a+16b=1,2a+6b=0。

所以a=■,b=-■。

则2a-b=2×■-(-■)=■。

点评 任意一个实数都可写成m+n■的形式。其中m是它的有理数部分,n■是它的无理数部分。如果两个实数相等,那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

分析 根据已知两等式不可能单独确定a、b、c的值,只能确定a-b、b-c、a-c的值。因此,应将原式变形成关于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知两等式即为a=■+■+b,c=b-■+■,

所以a-c=2■。

则原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

=(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

点评 配方的实质是逆向应用完全平方公式,将形如a2±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的形式。

练习

1.计算2■-6■+■的结果是( )

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a,则( )

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,则m-n=( )

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化简后,结果正确的是( )

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式计算正确的是( )

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估计■×■+■的运算结果在( )

A.1到2之间 B.2到3之间

C.3到4之间 D.4到5之间

7.若a<1,化简■-1等于( )

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知实数a满足2011-a+■=a,则a-20112的值是( )

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

练习参考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

猜你喜欢
根式化简负数
“二次根式”创新题
如何比较二次根式的大小
组合数算式的常见化简求值策略
阅卷手记——二次根式
挖掘隐含,确定正负
学好乘方四注意
历经艰辛的“负数”
非负数|a|、a2帮你轻松解题
一类特殊二次根式的化简