利用柱壳法求立体的体积

邱香兰

(萍乡学院，江西萍乡 337000)

所以，本文讨论一个封闭的平面图形绕坐标轴或与坐标轴平行的直线旋转得到一个立体时，求其体积的方法，其中坐标轴不在已知的平面图形内。［1］中利用已知平行截面的面积求其旋转体的体积有过探讨，本文利用柱壳法来求简便得多，也容易推广。

1 定义及命题

旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这条直线叫旋转轴。由［1］知，当平面图形是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形，而旋转轴为 x轴时，所得旋转体的体积为 V =f (x)]2dx;当平面图形是由连续曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形，而旋转轴为y轴时，所得旋转体的体积为V= φ (y)]2dy。下面讨论:

命题1:当平面图形是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形，而旋转轴为y轴时，所得立体的体积为:Vy=.

命题2:当平面图形是由连续曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形，而旋转轴为x轴时，所得立体的d体积为:Vx=.

2 命题证明

利用［1］证明命题1，如图2－1

图 2－1

命题2同理可证.

3 命题推广

命题3:由连续曲线y=f(x)及y=g(x)围成的封闭平面图形绕y轴旋转而得的立体体积为(如图3－1):

图 3－1

命题4:由连续曲线x=φ(y)及x=ψ(y)围成的封闭平面图形绕x轴旋转而得的立体体积为:

4 应用举例

图 4－1

解:方法一 利用［1］求出，如图4－1.

方法二 用柱壳法求出，如图4－2.

图 4－2

柱面面积 2πx·y，柱壳体积 2πxy·dx.

例2:求抛物线y=x2与直线y=x所围成图形绕x轴旋转而得的立体体积.

解:方法一 利用［1］求出，如图4－3.

方法二 用柱壳法求出，如图4－4.

图 4－3

图 4－4

例3:设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数，且f(0)=0，V(t)表示y=f(x)，x=t(t＞0)及x轴所围成图形绕直线x=t旋转一周所成旋转体体积，证明:V'(t)=2πf(t).

图 4－5

证:利用柱壳法求出，如图4－5.

［1］同济大学数学系.高等数学(上册)［M］.第6版.北京:高等教育出版社，2007:278－280.