数学文化教育与大学生数学理性精神的培养

周红林

(湖北科技学院 数学与统计学院，湖北 咸宁 437100)

当数学是一种文化的观念被确立，数学教育就应该是一种文化教育。数学文化教育不仅要实现数学的科学价值，也要担当起提高全民族人文素质的重任。因为数学，尤其是西方数学中蕴含了丰富的数学理性精神，正是这种理性精神造就了西方近代各种思想流派以及各种思潮的摩擦和整合，创造了西方灿烂的文化和文明[1]。而对我国来说，这种理性精神一直在我们的传统文化和传统数学以及数学教育中都极为缺乏，历史也证明它已经对我们民族的发展形成了阻碍。因此，探讨在数学文化教育中培养学生数学理性精神意义重大。

一、数学文化与数学文化教育

1.数学文化的含义

通俗的说，数学文化主要是指从文化这一角度来关注数学，强调数学的文化价值。从系统的观点看，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神和物质功能的动态系统[2]。南开大学顾沛教授从数学文化一词的使用入手，剖析了数学文化的狭义和广义内涵：狭义上指的是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；而广义上则指数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系[3]。

无论怎么定义数学文化，更为重要的是我们要认识到，数学不仅是一种知识体系、一种实用工具，更是一种思维模式、一种思想方法和一种理性精神。数学文化作为一门科学、一门艺术和一种智慧，不仅是研究自然和描绘现实世界的重要技术，也是创新文化和创造新世纪的重要力量。数学文化具有科学与人文的双重学科性质和精神价值，不仅是物质文明的基础，更是精神文明的财富。数学文化是现代文明极为重要的组成部分，数学素养更是现代公民必不可少的素养之一。

2.数学文化教育

所谓数学文化教育的涵义，包括摆脱单一的知识、工具教育或逻辑教育，以充分揭示数学的文化内涵，体现数学文化的丰富性，全面提升学生的数学科学素养和人文素养。数学文化教育作为联结自然科学和人文科学的纽带，扮演沟通文理、兼收并蓄、弥合文化裂痕的文化使者的作用，实现科学价值和人文价值的双赢与融合[4]。

数学文化的另一个重要含义是，数学是一种理性精神。正如美国著名数学家、数学史家M.Kline指出：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神， 一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度；亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”[5]数学理性是西方文明极其重要的特点，西方文明发展的各个时期、各个方面几乎都受到数学理性的深刻影响。数学理性精神是数学科学的精髓，实质上是人文精神的一种。因此，数学文化教育的价值不仅在于推进数学知识的应用，还在于为人类文明传承这种独特的理性精神。在数学文化教育中重视培养学生的数学理性精神，就是沟通文理、兼收并蓄、有效体现数学人文价值的最好方式，数学文化教育应以发展理性思维、培育理性精神为核心任务。

二、数学理性精神的来源、发展与内涵

1. 数学理性精神的来源与发展

纵观数学的发展历史我们可以了解到，数学理性精神萌芽于公元前6世纪论证数学的鼻祖泰勒斯的演绎证明思想，基本成形于公元前3世纪欧几里得的巨著《几何原本》，正是《几何原本》的公理化体系为数学初步注入了理性精神。经过文艺复兴，人们真正认识到必须利用理性重建所有知识，必须到大自然中去寻找真理之源：伽利略用数学定量方法研究自然，笛卡尔用几何公理化方法演绎哲学，数学理性的力量初显威力。进一步地，《几何原本》的公理化设计作为理性设计的样本和模版，作为一种世界科学理论的普遍研究原则，开出了璀璨耀眼的科学和人文之花：托勒密的天体运行理论、牛顿的《自然哲学的数学原理》、美国的独立宣言、18世纪西方的天赋人权说、黑格尔的绝对理念、马克思对资本主义的分析和预测、罗素的数理逻辑、现代西方哲学的实证主义等等。数学理性精神随着西方社会科学文化的发展而成熟和定型。之后，希尔伯特的公理体系使这种数学理性精神更为完美和坚挺。随着非欧几何的建立、康托尔的无穷集合理论的发现、抽象代数的出现、布尔巴基学派的结构思想的提出，直至哥德尔证明了“不完备性定理”使数学有了自知之明，数学理性精神发展到极致[6，7]。

2.数学理性精神的内涵

人类的文明是靠理性建构的，因此世界各大文明中均不乏理性，但是各种不同文明中的理性却呈现出各自不同的特点：中华文明中主要是实践理性(实用理性)和伦理理性；印度文明中是宗教理性；而西方文明中则是数学理性。数学理性是西方社会孕育和发展起来的一种精神文化和价值体系[8]。我们知道，无论是实践理性还是宗教理性，发展到近代均对现代文明产生了一定阻碍作用，只有从古希腊文明中孕育出来的这种数学理性精神，一直深深地影响着西方社会的发展，成就了西方灿烂的文化与文明，成为西方现代社会的核心价值理念和文化精神。

那么，作为西方文明核心的数学理性精神其内涵究竟有那些呢？我国著名学者郑毓信先生概括出数学理性的内涵为：(1)主客体的严格区分；(2)对自然界的研究应该是精确的、定量的，而不是含糊的、直觉的；(3)批判的精神和开放的头脑；(4)抽象的超验的思维取向[9]。张乃达认为，数学理性精神的基本内涵，它首先表现为一种信念，表现为对真理的追求；其次，理性精神坚持以理性(或理智)或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准[10]。张奠宙先生在谈到良好数学思维品质的培养中总结道，理性思维的含义包括：(1)独立思考，不迷信权威；(2)尊重事实，不感情用事；(3)思辨分析，不混淆是非；(4)严谨推理，不违背逻辑[11]。曹一鸣将理性精神阐述为：诚实、求是；严谨、朴实；勤奋、自强；理智、自律；开拓、创新[12]。

综上所述，我们看到，数学理性精神不仅内涵丰富而且是一个动态发展的过程，但其主要内涵包括：客观性和理智性、精确性和确定性、思辨性和严谨性、实证性和逻辑性、批判性和开放性，以及对真善美执着的追求、对大自然永恒的探索和永远勇于创新的精神等。

三、在高等数学教育中培养大生的数学理性精神

高等数学是我国各高校开设最为广泛的数学课程。正如王宪昌教授所言：作为高等数学，数学不仅是一种技法，更是一种思维方式，确定性、因果逻辑性、逻辑建构和无限发展及探索性这样的数学理性精神，应该在高等数学中获得。如果在高等教育中没有体现出这样的数学理性的培养，那我们缺乏的数学理性就无法弥补[7]。

1.树立数学文化观念 体会数学是一种丰富多彩的文化

虽然数学文化的研究和探索在我国经历了二三十年，在数学教育研究和一些教学探索中也算是轰轰烈烈，并被作为专题写进了高中数学课程标准。但是，相对于整体的数学界和数学教育界来说，真正实施数学文化教学的老师还是极少数。尤其是在应试教育的大环境下，大部分中学数学的教学中有系统的知识建构，有缜密的逻辑思维，有条分缕析的推理与证明，但却缺少了对于一门学问的教化来说关乎灵魂的东西，那就是盈盈流转的文化意蕴和深厚的历史内涵。所以，在大学数学教学中要培养大学生的理性精神，首先就是让大学生明白数学是一种文化，确立数学文化的观念。比如我每次上高等数学的开端，就专门讲一节“数学文化”的绪论课，内容包括：介绍西方数学发展简史；阐释典型数学思想方法；概述数学在各行各业中的广泛渗透；例解数学建模思想；简述教育专家对数学文化的研究。这些内容让学生耳目一新，真正一开始就体会到数学除了是一门科学之外，还是一门丰富多彩的文化。在其后整个具体知识的教学中，我们还是要一以贯之地实施数学文化的教育，重视数学的思想方法、数学语言、数学观念、数学的发展历史、数学的广泛应用等方面的教学，真正把数学文化教育落到实处。

2.精心设计极限概念的教学 领悟其思想方法及严谨性、确定性和辩证性

高等数学的核心内容是微积分，而微积分的核心思想则是极限，它贯穿了整个微积分学的内容。这启示我们在教学中一定要重视揭示极限概念和思想方法的实质。本人在讲授极限概念时采取的是研究式教学[13]：分三步：第一，结合历史与实例，体会极限的思想方法及极限概念发生发展的过程；第二，充分感知，经历抽象，定性描述数学极限；第三，超越直观与运动，走向理性，定量描述极限概念。由此，引导学生体会极限概念的形成历程：从定性到定量，从语言到符号，从动态到静态，从感性到理性，从直观到形式化。极限体现了这样一个哲理：稳定不变的事物是过程、运动的结果。所以，要想让学生深刻理解极限概念，就要引导学生理解无穷，理解无限与有限、常量与变量、静与动的辩证关系，体会通过有限来认识无限，用常量来刻画变量，通过变量研究常量等思想方法。这样的研究式教学，不仅展现了极限概念的来源、发生发展完善的过程，揭示了知识产生的自然性、合理性，体现了数学的逻辑性、严谨性和完整性，还揭示了数学家们所走的曲折的道路、所付出的艰辛和汗水，以及对数学的确定性、严密性的执着追求和科学求真求美的精神。这种的教学不仅有助于大学生对知识的正确认识，还能启迪他们严谨、客观、精确、执着的科学研究态度。

3.揭示高数内容的内在逻辑联系 感受数学逻辑建构的魅力

一般高等数学的编排体系都是：函数、极限、微分、积分。从知识的体系结构上来看，这样编排才是符合逻辑的：函数是所有研究的对象；极限概念是整个微积分的思想和理论基础；导数实质上是瞬时变化率，就是一种极限；定积分实质上也是一种和式极限，而从运算上来看，求不定积分又是求导数运算的逆运算。由此可知，高等数学中这几个主要概念之间的逻辑联系是非常紧密的，但是对于学生来说却不是一下子就可以体会到的。因此老师在讲授的过程中应适时地揭示它们之间的逻辑联系，让学生体会到高等数学的知识系统以及其体现出的数学逻辑建构的理性精神。比如，我们还可以把整个微积分知识模块高度概括为：以六种基本函数为研究对象，以极限思想为主线，以微分积分的互逆性为纽带。逻辑建构知识的能力是我们研究任何一门科学都必须拥有的能力。微积分知识板块整体结构一气呵成，严谨到完美无缺，堪称逻辑建构的典范。老师在讲解时适时揭示，引导学生体会知识的逻辑建构体系，领悟数学逻辑建构的魅力，对提高学生的逻辑建构能力是有很大帮助的。

4. 强调数学规则的严肃性和不可侵犯性 增进理智、自律及民主法治精神

当世界越来越开放，信息越来越通畅，我们都成为地球村的村民时，我们在对比中发现，相对于发达的西方社会，我们中国人似乎历来都不怎么讲究规则，法制意识普遍淡薄，自律精神较差、民主意识贫乏。中国社会权大于法、人情大于法的现象屡见不鲜。不讲规则不自律的人，在别人讲规则的时候总是可以得到点小小的便宜，但从长远看却总是要吃大亏的。可是我们很多国人就是只顾眼前利益，不愿做长远打算，也不愿顾全大局。这确实显示了我们大多中国人实用至上、急功近利的劣根性，其实也是数学理性精神缺乏的表现之一。

数学的规则蕴含了理智和自律——这种对规律的敬重能够迁移到对人对事的态度上，是人们形成一种对社会公约、秩序、法律等内在的自我约束力，有利于社会民主意识、法制意识的形成。这种文化精神，它可以进入人的观念系统，影响人们的世界观和人生观[12]。高等数学中一样有许多的规则，我们在讲授这些规则的时候，就应该有意识地强调数学规则的严肃性和不可侵犯性，强调规则与社会中的法律法规一样，人人都得遵守，在规则面前人人平等，以此增进学生理智、自律、平等的精神意识。有了这种理智、自律和平等，学生走上社会，才会具有较强的民主法治精神，才会成为遵纪守法、理智选择的良好公民。

5.重视数学公式法则的阐释和证明 提升因果逻辑性与严谨的治学态度

高等数学的一大特点就是定理多、公式多、规则多，学生必须掌握这些公式、定理、规则才能够灵活运用它们来解决问题。但是，高等数学又不同于一般的代数，只用掌握其高度有效的运算程序就可以了。高等数学中几乎每一个公式、定理和规则都是有着坚实的逻辑基础，都是可以证明的。虽然对于非数学专业的学生来说，证明不是最重要，但是我们在教学中依然要重视数学公式、定理、规则的证明，能证明的尽量证明，不能证明的也要对学生有所交代，至少要说明清楚。我们可以明确告诉学生，高等数学中所有的公式、定理、法则都不是仅仅靠观察、猜想得来，都是有根有据的，都是可以严格证明的。正因为如此，数学才具有可靠性和确定性，才能成为自然科学有效的工具。重视证明的教学，可以提升学生对数学逻辑因果性的深刻认识，培养严谨朴实的治学态度。

6.创造数学探索活动的机会 增强执着与坚韧、开拓创新与超越的精神

高等数学的教学对象是大学生，他们经历了小学中学十几年的学习生涯，已经具备了一定的自学能力和研究能力。所以，在高等数学的教学中我们应该适当地创造机会让学生自己进行数学探索活动，引导他们自己去探究、自己去发现。一方面可以培养学生的自学能力、探究能力，提高对数学的兴趣；另一方面，通过学生自己探索、研究，还可以培养学生的执着与坚韧，培养学生创新、开拓与超越的精神，也增强学生学习数学研究数学的信心。比如，在一些基本概念(极限、导数、积分等)的教学中，我们可以采取研究式教学，引导学生一起去寻找概念产生发展的过程，概念在形成发展的过程中采用了哪些思想方法，数学家在发展这些概念时经历了哪些挫折，最终如何成功表述概念等等，深入挖掘完美的数学概念背后的故事和思想，形成对概念深刻内涵的理解。再如，我们对一些核心公式的教学(微分中值定理，牛顿莱布尼兹公式等)，可以引导学生自己去探索和发现它跟其他知识、其他定理之间的关系，对数学形成整体系统的认识。另外，我们也可以带领学生进行一些数学建模的活动，加强数学的应用意识，培养学生的动手实践能力和创新意识。

参考文献：

[1]张其亮. 论数学理性精神与人文的关系[J].安徽大学学报，2007，(9).

[2]黄秦安. 数学文化观念下的数学素质教育[J].数学教育学报，2001，(8).

[3]顾沛. “数学文化”课与大学生文化素质教育[J].中国大学教育，2007，(4).

[4]黄秦安，曹一鸣. 数学教育原理——哲学、文化与社会视角[M].北京：北京师范大学出版社,2010，(1).

[5]M．克莱因(美)著. 张祖贵译.西方文化中的数学[M].上海：复旦大学出版社，2005.

[6]侯为民. 数学精神与数学教育[J].数学教育学报,2004，(8).

[7]王宪昌. 数学文化概论[M].北京：科学出版社，2010，(7).

[8]何柏生. 理性的数学化与法律的理性化[J].中外法学，2005，(4).

[9]郑毓信，王宪昌，蔡仲. 数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2001.

[10]张乃达. 数学证明和理性精神[J].中学数学，2003,(2).

[11]张奠宙，宋乃庆. 数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[12]曹一鸣 .数学教育的文化价值[J].数学教师，1997，(5).

[13]周红林. 极限概念的研究式教学[J].咸宁学院学报，2010，(6).