高等数学对逆向思维的应用分析*

解 武

(运河高等师范学校，江苏 邳州 221300)

逆向思维，也叫做反向思维，就是说突破常规的思维方式，对于常规的理论知识和事物进行反方向的思考，“反其道而行之”就很好的体现了逆向思维的特点。让思维向对立方向进行发展，从问题的反面进行思考的研究。比如说“司马光砸缸”的历史小故事，正常人的思维就是下水救人，而他选择了用石头把缸砸碎，让人脱离水的逆向思维救了同伴的性命。逆向思维是一种创新型的思维模式，在自然科学中巧妙的利用逆向思维，经常会给人们带来一些意外的收获。著名的英国物理学家法拉第，就利用逆向思维发现了物理界的电磁感应定律。同样，如果把逆向思维带入到高等数学的学习当中，让学生运用逆向思维处理和思考问题，也会达到一种很强的效果。尤其是对一些复杂多样的数学表达式，运用逆向思维就可以很好的找到解答的方法。

一、逆向思维的特点

逆向思维强调的是思维方式从已知的思路上面进行反方向的探讨和研究，从一个反向的角度寻找更合适的解决方案。逆向思维的运用不仅仅是一种简单快速的解决方案，更重要的是它客服了人类常规的思维模式，拓展了人类的思维空间，释放自己的思想。逆向思维在高等数学中的应用主要体现在“逆推法”上面，就是一切从待论证的结论为出发点，一步一步分析问题，逐层递推，最终得到解题思路的一种方法。这样的“逆推法”主要的应用范围是在高等数学的证明题方面，可以帮助学生把一堆错综复杂、毫无关系的已知条件，通过对问题的先剖析，准确的找到问题的关键所在，从而达到一种教育和应用的目的。

二、逆向思维的重要性

无论是高等数学的教育和应用，还是学习和思维的培养，只能牢牢掌握逆向思维的解题方法，才可以让教师更好的教育学生，才可以让学生更好的克服难度大的数学难题。和常规思维相比较，逆向思维本身就是一种超脱常规的思维模式，这种和常规不同的思维模式是高等数学中图形和数字为最基本的分析对象，运用最基本的数学语言和数学符号，通过一定的反向思维能力推理得到每个题目之间的内在关系。在数学的发展史上，一位希腊的数学家就曾经利用反证法的逆向思维模式证明得到了“无理数”，让人们对“数”的概念从“有理数”发展到了“无理数”。俄罗斯的一位数学家也是借鉴古人5次证明欧几里德定律中失败的经验，非常大胆的采用了反命题的证明方法，间接性的证明出了“欧几里德第五公设”，从而创造出了“罗巴切夫斯基几何”。通过对逆向思维重要性的描述和实例的间接证明，让我们认识到熟练的掌握逆向思维可以让人们看到更多更远的知识。

三、应用的多种方法

高等数学中，有很多的定理都有可逆和不可逆的，但是高等数学的教材中只给出了少部分的逆定理，很多的逆定理都没有给出合理的逆向分析。这个方面教师在教育当中应该有意识的引导学生考虑这些已经给定的命题当中，是否具有相对应的逆命题。教师可以及时的向学生提出问题，逆命题怎么判断？怎么得出的？为什么是假的？这些问题都可以提高学生逆向思维能力，提高逆向思维能力在高等数学中的应用。下面笔者为大家提供几种高等数学中常见的逆向思维能力的应用方法。

第一种：逆推法。逆推法是一种非常常见的，而且应用范围很广的一种逆向思维解题的方法。这个方法根据前后量的变化得出的结果，一步步进行逆向的推理，逐层推理出原有的已知条件，从而解决提出的问题，属于一种“因果型的逆向思维”。比如说在简单的算法验算当中，运用逆向运算的方法进行验算。在求面积的问题中，知道圆的面积，求圆的半径，等等这些用的都是逆推法。在高等数学中，用数列极限的定义证明极限的存在问题当中，同样用的是逆推法，它根据的原理就是给定任何一个正数A，然后指出定义中所提到的正整数B的确存在，最后求证问题的答案。积分和求导是高等数学中最为关键的学习内容，这两个内容互为逆运算，也就是说相互之间可以验算，尤其在求复杂函数的不定积分的时候，通过对结论求导就能确保计算的精准性。

第二种：变量代换法。这个方法是一种非常典型的“转换型逆向思维”，属于数学变量法中的一个分支。它的本质就是在研究某一个问题的时候，常规思维方法受到阻碍以后，转变一定思考角度，把要解决但是很难解决的问题进行等量的代换，转化成为一种容易解决的问题，可以使得问题顺利的解决的一种思维模式。一般这个方法都是通过变换问题中的函数自变量或者因变量。在高等数学中，主要的代换方法有很多，其中包括对数的代换、算式的代换、三角的代换、根式的代换等。代换方法具备一定的多样性和灵活性的特征，根据问题的不同可以采用不同的代换方法，把困难的问题简单化，将问题转化成为一种方便求解的方式。这样的方法在求导和积分、求极限等方面都有了很好的应用。极限的计算就是一个很好的例子，在求解过程中经常用的就是等价无穷小的代换，通过恰当的量的变化，将原来困难的问题简单化。其中不定积分中的换元积分法也是利用这个特点，通过变量的变换，得到一个复合函数的积分法。二重积分计算中的极坐标和直角坐标间的变换、三重积分计算中的球坐标、柱面的坐标和直角坐标间的变换等，都是通过变化代换法完成的。

第三种：反证法。反证法是高等数学中一个非常重要的证明方法。和综合法、分析法相同，这个方法也得到了广泛的应用。不仅体现在初等数学的教育中，在高等数学的场地中，它更是驰骋疆场。反证法，就是常说的间接证明法，就是从相反面的视角思考问题的证明方法，通过肯定的命题中得出否定的结论，从矛盾中推理得出的。法国数学家阿达玛对于反证法的本质说过这样的话“如果肯定定理的假设否定了肯定定理的结论，就会产生矛盾。”换言之就是说，反证法是通过否定的命题结论为出发点，对命题结论的否定结论作为推理的已知条件，然后进行逻辑推理，把得到的结论和已知的结论进行比较，或者说和正确的命题结论互相矛盾，就能得到一种假设不成立的结果，从而肯定了命题的结论。这种方法属于典型的“反转性逆向思维”。在高等数学的教育学习中，要求学生必须证明大量的命题和定理。当命题很难顺利证明或者直接证明的话，我们必须要转变自己的思维方式，应用反证法。

第四种：待定系数法。这个系数法是解决和研究数序问题的一种方法，意思就是在已知答案形式的大前提下，通过引入一定的待定系数，转化为一组方程组或者多个方程组来解决问题的一种思路，使得原有的问题转化为一种容易解决、简单的解题方法。待定系数法的关键所在就是：根据已知的条件，正确的列出方程式。比如说需要证明变量之间的函数关系，可以先假设出一些未知的系数，接下来依据给定的条件确定未知数的范围。在初等数学中，数列求和、因式分解、求复数、求函数等问题都具备一定的数学表达式，都可以利用待定系数法求解方程。在高等数学当中，我们也可以利用待定系数法求解微积分方程、级数等问题。

除了上述提到的4种解决方法以外，在高等数学的其他方面，我们也灵活运用了逆向思维。比如说递归法和自然归纳法等。高等数学中有很多概念都是通过证明本质问题定义的。而在证明的过程中，存在很多的逆概念，比如说常量和变量、函数和反函数、有理数和无理数等，在学习当中必须学会根据不同的情况运用不同的逆向思维解决问题，往往都会收到很强的效果。

四、高等数学的方法和知识的互逆

在熟悉各种各样的逆向思维的方法之后，我们还需要注意思想方法和知识体系之间的关系。比如说微积分，它研究的对象就是函数，研究的内容就是积分学和微分学，研究的工具就是极限，学生在学习的过程注重各个部分知识的统一，重视各个部分思想方法和知识体系的联系，在学习中一定会收到想不到的学习效果。举个例子说，积分和导数就是很强的互逆关系。从积分和倒数的计算方面来看，这就是一种互逆运算方式。比如说在一元函数的计算中，从导数引出的逆运算就可以得到不定积分。在可积函数的函数积分和原函数之间，也能够用牛顿—莱布尼茨公式进行等量的转换，由此可见，导数和积分在问题的计算当中的运用，就崛北了相对统一的性质和互逆的性质。同样如此，在微积分中求曲线的长度的时候，就应该把曲线划分成为无数个小段，然后把每个小段定义为直线，通过“以直线代替曲线”的方式得出每个小段的长度，然后通过微积分的计算方法将每个小段的长度加在一起，就可以得到求解曲线长度的目的。这样的化整体为部分，再把部分化为整体的计算方法在高等数学的解题模式当中到处都是。这样的方法就是利用逆向思维在整体和部分之间的转换应用。微积分解题的主要目的就是连续、极限、积分定义、导数、广义的积分敛散性和级数等知识的考察，这所有的知识都是建立在极限的基础上面。也可以说极限运算就是高等数学中微积分计算的核心理念，其内涵的思想就包括将无限的问题有限化，再把有限的理念和思想对无限进行论证，由此我们知道有限和无限之间的辨证联系。

总结：在高等数学这个领域范围内，积极有效的创新更多的思维方式，可以有效的推进学生的学习，逆向思维就是其中的代表。作为思维模式的创新，一种常规模式的扩展，在高等数学的教育应用中，正在强化常规思维的同时，潜意识的培养逆向思维，通过一个互逆过程的培养，就可以摆脱常规的思维羁绊，冲破固有的思维模式，有助于学生克服顺向思维下呆板的解决方法。所以老师需要跟上时代的脚步，时刻更新教育理念，带领学生运用逆向思维。我们需要打破常规的思维模式，注重逆向的思维培养，让学生养成一种从不同角度解决和分析问题的能力，提高学生的思维灵活性和敏捷性，达到把握知识的最终目的。

参考文献：

[1]林岚.逆向思维在高等数学中的应用[J].价值工程，2011，(12)：216～218.

[2]孙红霞.例说高等数学中的逆向思维[J].中国科技信息，2008，(11)：270～274.

[3]梁娜,来祥戍.高等数学教学中的逆向思维[J].咸宁学院学报，2011，(12)：121～124.