莱布尼茨的概念代数及其外延解释

朱建平

(苏州大学 政治与公共管理学院，江苏 苏州 215123)

莱布尼茨的概念代数及其外延解释

朱建平

(苏州大学 政治与公共管理学院，江苏 苏州 215123)

根据传统的观点，莱布尼茨被视为数理逻辑的最伟大的前弗雷格先驱，但后人同时认为他的失败归之于他对三段论模式和主谓句法过于拘泥。这种近乎矛盾的说法无法解释莱布尼茨既是弗雷格的伟大先驱，同时又是传统三段论的集大成者的历史事实。莱布尼茨作为一位逻辑巨人的历史地位是建立在他对古老三段论的隐藏力量和范围继承及发展的基础上的，正是这种继承和发展决定了他比同时代的任何人都更加清晰地预见了新逻辑的诞生。莱布尼茨的概念代数就是这样一个承上启下的系统，但由于种种原因，这一承启作用只体现于逻辑史的重构中。

莱布尼茨；概念代数；外延解释；三段论

莱布尼茨的理智训练属于经院主义传统和文艺复兴的人文主义，莱布尼茨的逻辑研究在极大程度上联系到亚里士多德的三段论，但莱布尼茨真正的目的是构造概念逻辑的一般演算。这种演算能够严格地证明三段论的传统理论。更重要的是，他要构造一种能对各种推理的有效性作出裁决的普遍演算。从这种意义上讲，当代的逻辑实践正在践行着莱布尼茨的理想。本文不同意莱布尼茨是在非不足道的意义上的数理逻辑先驱的概念，也拒绝他的失败可归之于他对三段论句法过于拘泥的说法。莱布尼茨作为一位逻辑巨人的资格，并不仅是建立在对即将到来的新逻辑的预见方面，而且是建立在他对古老的三段论隐藏的力量和范围的承认和扩展的基础之上的。本文以莱布尼茨概念代数的重构为例，对上述观点作出了论证。[1]

一、莱布尼茨的概念代数AC

莱布尼茨普遍演算的起点是传统的亚里士多德三段论，三段论具有全称或特称，肯定或否定命题的范畴形式，这些命题表达了概念A和B之间的下列关系：

U.A. 所有的A是B U.N. 所有的A不是B

P.A. 有些A是B P.N. 有些A不是B

在所谓“经院”三段论框架中，否定的概念“非A”也给予了说明，在这里我们用～A加以表示。按照换质法的原理，U.N.：所有的A都不是B等同于否定谓词的U.A.：每一个A是非B。因而按照众所周知的对立法则P.N.是U.A.(命题)的否定(在本文中命题否定用”┐“表示)。P.A.是U.N.的否定。范畴形式可统一表示如下：

U.A. 所有的A是B U.N. 没有A是B

P.A. ┐(所有的 A是～B) P.N. ┐(所有的A是B)

莱布尼茨大约在1686年前后发展起来的概念代数，尤其是在1686年GI中发展起来的三段论框架有三个成就：首先，他不再使用“每一个”，以及U.A.简单地用公式表达为“A是B”，或者“A包含B”。这一基本命题被莱布尼茨符号化为“A∈B”，┐ (A∈B)简写为A∉B。其次，莱布尼茨引入了概念合取的新算子，该算子将两个概念A和B组合并置为AB。第三，莱布尼茨不理会关于三段论前提的数目以及包含在前提中的概念数目的限制。因而任何一种形式为A∈B或者A∉B的句子之间的推理都是许可的，其中的概念A和B可以是任意复杂的，即它们可以包含其他概念的否定和合取。对这样一种语言，我们称之为概念代数AC(algebra of concept)。

AC的公理化仅以否定、合取和∈关系为初始概念算子(除了假定的命题函项连接词┐、∨、∧、→和↔)。至于概念包含关系A∈B，重要的是要注意到莱布尼茨的公式“A包含B”适合于作为概念的内涵解释，尽管在这里我们要按照个体的集合发展一种外延的解释。莱布尼茨在《人类理解新论》中解释了内涵和外延之间的相互关系：

陈述的通常方式涉及个体，而亚里士多德更喜欢指概念或共相。因为当我说“所有的人都是动物”时，我的意思是说所有的人包含在所有的动物之中；但是与此同时我也意味着动物的概念被包含在人的概念之中。“动物”比“人”包含了更多的个体，但是“人”包含了更多的概念或者属性：动物有更多的实例，而人有更大程度的现实性；动物有较大的外延，而人有较大的内涵。[2]

如果概念A的内涵和外延被发表简写为“Int (A)”和“Ext (A)”，那么所谓的概念内涵与外延之间的反比律可形式化表述为：

(1)Int (A) ⊆Int (B) ↔ Ext (A)⊇ Ext (B)

这一原理蕴涵着两个概念有相同的内涵当且仅当它们有相同的外延：

(2)Int (A) = Int (B) ↔ Ext (A) = Ext (B)

但后一个法则显然是假的。按照我们现代对概念内涵和外延的理解，存在着许多概念或者谓词A和B，它们有相同的外延，却有不同的内涵。例如，蒯因著名的“有心脏的”和“有肾脏的”概念的例子，或者(受蒯因的启发)索亚对(1)的更加最近的反对。

例如，可能凑巧所有骑自行车的人是数学家，这样“是骑车人”的概念的外延是概念“是数学家”的外延的子集。但是很少有哲学家会得出在任何意义上“是数学家”的概念包含在是“骑车人”的概念之中。[3]

然而，这些例子不可能真正驳倒莱布尼茨所理解的反比律。对莱布尼茨来说，一谓词A的外延并不恰好就是被归入概念A的所有现存个体的集合，而宁可说是所有的具有那种性质的可能个体的集合。因而，莱布尼茨的确承认“数学家”的内涵或者概念并不包括在“骑车人”的概念之中。但是，他会指出即便是在真实世界中，所有的数学家的集合偶然也会与所有“骑车人”的集合相重合。显然在其他的可能世界存在着其他的可能个体，这些可能个体是数学家而不是骑车人(或者是骑车人而不是数学家)。一般地说，当两个概念A和B在内涵上不同，那么有可能存在着一个个体，该个体有一种性质而没有另一种性质。因而，假定了莱布尼茨对是什么构成了概念外延的理解，它就会推出A和B在外延方面也是不同的。

根据德国学者伦曾的研究，莱布尼茨的内涵和外延的精确定义满足上述反比定律(1)。[4]因而，莱布尼茨的观点变成了可证等值的，即可翻译为或者可转换为更加通常的集合论的观点，只要概念的外延是从话语的领域U中得到的，并被认为是可能个体的集合即可。特别是，按照内涵命题A∈B，概念A包含概念B必定被外延地解释为所有A的集合被包含在所有B的集合之中。一个概念代数的外延解释的定义的首要条件如下：

(DEF1) 令U是(可能个体的)的非空集，令Ф是对每一概念字母A，使Ф(A)⊆ B的函项。那么，Ф是莱布尼茨的概念逻辑AC的外延解释，如果(1)Ф(A∈B)=真当且仅当Ф(A)⊆Ф(B)。

下一步考虑两概念的同一和重合，莱布尼茨通常使用现代记号“=”或者符号“∞”表示这个关系，但有时他也非形式地谈论两个概念是相同的。例如，在G1,§30中，同一或者重合能够被定义为相互蕴涵：“A是B且B是A与A与B重合是相同的”。

(DEF2) A=B↔ A∈B∧B∈A

这一定义立刻产生了下列Ф的外延解释的条件：

(1) Ф(A=B)=真当且仅当ФA=ФB

在大多数的普遍演算的草稿中，莱布尼茨都是通过并置AB的形式符号化概念A和B的合取。只是在加减演算的语境中，他喜欢使用数学的‘+’号来表达A和B 的合取。它的意思是AB的外延式归属于两个概念的所有可能的个体的集合，即属于A和B的外延的交集。

(2)Ф(AB)=真当且仅当Ф(A)∩Ф(B)

(DEF3) A∈B↔ dfA=AB

显然，一集合Ф(A)与交集ФA∩ФB相重合，当且仅当ФA是ФB的子集。进一步地说，按照莱布尼茨的评论，关系“A在B中”可以简单地被定义为A∈B的逆反。[5]

(DEF4)AιB↔B∈A。

逻辑代数的下一个元素是否定，人们认为莱布尼茨在这一问题上遇到了困难。莱布尼茨表达概念否定的方式有时与他表达命题的否定方式类似，即并非(not)。这特别体现于他的GI。一概念A包含着另一个概念B的否定的陈述表达为“A不是～B”，尽管相关的短语“A不是B”必须被理解为只是“A包含B”的否定。在整个普遍演算的发展期间，莱布尼茨一直在奋力把握“A不是～B”和“A不是B”之间的不同。尽管他在其他地方也指出它们之间的不等值，但在这里他一次次错误地将二者视为等同。概念A的否定被表达为～A，尽管命题的否定通常被记为“┐”。因而“A不是～B”必须被表达为“A∈～B”，而“A不是B”必须被表达为“┐(A∈B)”或者“A∉B”。而表达～A的外延的解释应当是集合论的A的外延的补。因为每一个体或者属于A或者属于否定的概念～A，因而：

(1)Ф(～A)= ～Ф(A)

与否定算子紧密相关的是概念的可能性和自我一致性，莱布尼茨用各种方式表达它们。他经常说“A是可能的”或者“A存在”。因而，大写字母P通常被简写为概念A的可能性，而A的不可能性或者不一致通常被简写为“I(A)”。按照GI，算子P能够被定义如下：A不是A是一种矛盾。可能是不包含矛盾或者A不是～A。

(DEF5)P(B) ↔dfB∉A～A

从我们早先给定的条件(1)、(3)、(4)可推出P(A)是真的(在Ф的外延解释的条件下)当且仅当Ф(A)是非空集。

(2)Ф(P(A))=真当且仅当Ф(A)≠φ

初看起来，这一条件是不充分的，因为确有些概念(如独角兽)凑巧是空集，然而却能被看作是可能的，即不涉及矛盾。在AC外延基础上的论域并不是仅由实际存在的对象组成的，而且也包含了所有可能的对象。因而A的外延的非空是保证A的自我一致的充分和必要条件。显然，如果A是可能的，那么至少存在着一个归属于于A的可能个体。

二、莱布尼茨概念代数AC的主要元素和基本法则

莱布尼茨概念代数AC的主要元素可概括为：

元素 符号化表达 莱布尼茨的记号 集合论解释

同一 A=B A=B；A∞B Ф(A)=Ф(B)

包含 A∈B A包含B Ф(A)⊆Ф(B)

逆包含 AιB A逆包含B Ф(A)⊆Ф(B)

合取 AB A+B；AB Ф(A) ∩ Ф(B)

否定 ～A 非A ～Ф(A)

可能性 P(A) 可能A Ф(A) ≠φ

以下是AC的基本法则。这些法则都是莱布尼茨本人陈述的，它比布尔的集合代数的推演还要充分。

AC的法则 形式版本 莱布尼茨版本

包含1 A∈A B是B(GI,37)

包含2 A∈B∧B∈C→A∈C 如A是B,且B是C,那么A是C(GI,18)

包含3 A∈B↔A=AB 一般说，‘A∈B’与‘A=AB’是同样的(GI,83)

合取1 A∈BC↔A∈B∧A∈C A包含和A包含C与A包含B和C是同样的

合取2 AB∈A AB是A(C,263)

合取3 AB∈B AB是B (GI,38)

合取4 AA=A AA=A (GI,171)

合取5 AB=BA AB∞BA (C,235)

否定1 A=～～A 非非A=A(GI,96)

否定2 A≠～A 命题A与非A相同是假的(GI,11)

否定3 A∈B↔～B∈～A 一般地说，A是B与～B是～A相同(GI,77)

否定4 ～A∈┐(AB) 非A不是AB(GI,76)

否定5 [P(A)∧]A∈B→AB 如果A是B，那么A不是非B (91)

可能1 I(A～B) ↔A∈B 如果‘A不是～B’，那就等于说“A包含B”

可能2 A∈B∧P(A) →P(B) 如果A包含着B且A是真的，那么B也是真的

可能3 I(A～A) A且非A是不可能的

可能4 A～A∈B

包含1和包含2表明，包含关系是自返和传递的。包含3表明基本关系A∈B可以按照概念的合取(加否定)来定义。包含1是关于合取的决定性特征公理，它确立了概念合取和命题合取之间的联系：概念A包含概念B和C当且仅当A包含B和A也包含C。定理包含2-5可以从包含1以及相应的重言式中推出。

否定可按照3个原则被公理化：双重否定(否定1)的原则，一致性原则(否定2)说每一概念不同于它自己的否定。否定3是换质位原则。否定4能够按照合取2从否定3中推出。

原则可能1说，概念A包含概念B当且仅当A和非B的合取是不可能的。这一原则也间接地刻画了否定，因为按照定义4概念的自我一致的算子是按照否定和合取可定义的。可能2说包含在自我一致的词项A的词项B其本身也是自我一致的。可能3容易地按照包含1从可能1中推出。可能4是命题逻辑原则的对应的原则：不一致概念包含任何其他概念。莱布尼茨并没有清楚地陈述这条原则，但它仍有可能被看作是真正的莱布尼茨定理，因为它能从可能1和可能3，以及A-A和A┐(AB)是不一致的观察推出。

原理{包含1，包含2，合取1，否定1，可能1，可能2}提供了概念代数的完全公理化，它与布尔的集合代数是同构的。

三、莱布尼茨的其他逻辑

除了完整的概念代数演算AC之外，莱布尼茨还构造了其他的逻辑。这里仅作一简单描述。

1.加减演算

该演算是在1686-1687年间由两篇论文发展而来的。在这两篇论文中，莱布尼茨从数学加减的普通理论逐步发展出“实”加和“实”减的思想。严格地说，加减演算不仅仅是一个逻辑演算，更多的是一种允许相当不同的应用和解释的更一般的演算。在他的最抽象的形式中，它最好被看作集合论的蕴涵A⊆B、集合论的加A∪B、集合论的减A-B、集合论的并A∩B等基本的逻辑运算。他的加减演算可应用于概念的外延，进而获得两个逻辑演算。它是全概念代数的一子系统，因而能够给出一外延性的解释。

然而，我们不能忽略他的实加和实减的理论上的不完全。首先，被莱布尼茨所发现的公理和定律实际上对于提供算子(=、﹢、φ、-、com、⊆)的集合的公理化是不充分的；其次，当与全代数集合加以比较时，莱布尼茨的算子被证明是概念上弱的。特别是它不可能按照减来定义否定和补运算。

2.真势和道义模态逻辑

尽管莱布尼茨从没有花费很多时间用于命题逻辑的适当法则的研究，但他在这些领域也有重要的发现：通过简单方式将概念代数转换为命题代数；为解释模态算子而发展了可能世界语义学思想；发现了对道义算子(禁止，义务和允许)和真势算子(不可能、必然和可能)的逻辑定律之间的严格类比，而且预见了用后者定义前者的思想。

3.莱布尼茨的严格蕴涵演算

莱布尼茨指出了概念间的蕴涵关系和命题间的蕴涵关系之间的平行。明确指出一命题是真的当且仅当它的谓词包含在它的主词之中。更进一步，人们论证说从CL1到PL1存在一种映射，该映射产生出近似于刘易斯S2形式的严格蕴涵。然而，这并不意味着莱布尼茨已经明确承认且赞同这种模态逻辑演算的弱系统。例如，莱布尼茨的确已经认同真公理□p→p的有效性。但是，基于纯句法的理由，这些定律不可能通过莱布尼茨的命题系统而获得。莱布尼茨不仅熟悉(□p↔～◇～p)与(～◇p↔□～p)等关系，而且根据“可能情况”及可能世界的模态算子的语义学分析，以清晰的方式证明了这些关系。他明确指出，一命题p是可能的当且仅当它至少在一种情况下为真；p是不可能的当且仅当它不在任何情况下为真；p是必然的当且仅当它在所有情况下为真；p是偶然的当且仅当它至少在一种情况下不为真。他还有(□p→◇P)和(～◇p→～□p)的思想。而且莱布尼茨通过将它们还原为相应的(全称和存在)量词的法则来证明这些定律。但是，在莱布尼茨的著作中没有任何对应于世界之间的可通关系的思想，因而几乎不可能判定像T、S4、S5等各种现代系统中哪一个与莱布尼茨的观点相一致。

4.不确定的概念(量词)

不确定概念主要起一种涉及概念的量词的作用。莱布尼茨察觉到不确定概念的作用与存在量词和全称量词有些不同。但是他的系统难以足够清晰和精确地阐明这种不同。莱布尼茨预见了某些量化逻辑的基本法则，因而至少可以被看作是现代量化理论的先驱者。

5.谓词的量化(QTP)

莱布尼茨在若干个场合强调了谓词量化的重要性，把它看作三段论理论格和式的所有规则的基础。为了讨论莱布尼茨的谓词量化，让我们首先考虑全称肯定命题：当我说所有的A是B时，我把它理解为被称之为A的东西与被称之为是B的那些中的某些东西是同样的。那么何种实体是非形式量化表达式“所有的”和“有些”假定指称的对象？如何理解“被称为”A(或B)的关系？作为一个当代逻辑学家，他可能自然地将量词解释为指称集合A(或者谓词A应用的)的元素的个体。在这种情况下，人们得到了下列TPQ版本。

全称肯定命题“所有的A是B”应被意译为每一是A的元素的个体x等同于是B的元素的某些个体y。因为符号“∈”在这里用于指示两个概念之间的包含关系，在这里最好选择另一符号如“ε”表达某一对象x和集合A之间的集合论关系。更进一步地说，与莱布尼茨涉及概念的量词∀和∃不同，让我们引入另外一对涉及对象的量词Λ和V。莱布尼茨的U.A.(全称肯定命题)的外延刻画呈现如下的形式：

(U.A.)Λx (x ε A→Vy (y ε B∧y = x)).

莱布尼茨正确地指出：显然每一个肯定命题(且只有这样的命题)有一个特称的谓词；每一否定命题有一个全称的谓词。

四、结论

应当指出，这并非莱布尼茨逻辑重构的全貌，但这足以证明莱布尼茨是在非不足道意义上数理逻辑先驱的概念，也证明他的失败归之于他对三段论句法的说法是不可接受的。毫无疑问，产生于19世纪后半叶的新逻辑是在一种莱布尼茨精神氛围中创生的。但是布尔、弗雷格的逻辑系统是独立于莱布尼茨的逻辑而发展起来的。因而莱布尼茨对19世纪后半叶现代逻辑诞生的影响是间接的，他的逻辑理论的历史地位是逻辑史重建的结果。但莱布尼茨对亚里士多德逻辑的发展和对现代逻辑的预见却是有目共睹的。

在莱布尼茨和现代逻辑诞生的关系这一问题上，任何脱离具体的历史语境和文本而将问题提炼为简短的结论的做法，都会牺牲太多的历史感。一方面我们应看到，当代论述他的作者们比他们的前辈们的优越之处在于他们能够看到他的著作的哪些部分面对形式逻辑在当代的重大发展而仍保有其重要性，在这方面莱布尼茨是幸运的。同时也应看到，一位逻辑学家影响后世思想的原因是很复杂的，各种偶然因素都可能起作用。在这些偶然事件中最重要的无疑是他们的著作留存下来的数量的多寡和出版情况，尤其是后者，由于莱布尼茨的逻辑著作大多都是在他去世后由后人零星而间断地出版发表的，这极大地影响了人们对莱布尼茨逻辑学的认知和理论传播，这对莱布尼茨而言又是不幸的。

[1] Lenzen, W. “Leibniz’s Logic,” in Handbook of the History of Logic, D. M. Gabbay/J. Woods (eds.), 2004a, volume 3: The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege, Amsterdam et al.: Elsevier-North-Holland, pp. 1-83.

[2]C.I.Gerhardt(ed).,Die philosophischen Schriften von G. W. Leibnz, 7 vol Berline 1849-63, reprint Hildesheim(Olms)1962.5:469

[3]Swoyer. Leibniz on Intension and Extension. 1995(29): 96-114.

[4]Lenzen, W. Zur extensionalen und “internsionalen” Interpretation der Leibnizschen Logik[J]. Studia Leibnitiana, 1983,15(2): 129-148.

[5]F.Schupp(ed).,Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum, Hamburg(Meiner), §16.

2014-01-09

朱建平(1956- )，男，山东济南人，苏州大学政治与公共管理学院教授，博士，从事逻辑哲学与哲学逻辑研究。

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2095-7602(2014)03-0014-05