6 072阶单群同构于PSL（2，23）的初等群论证明

周峰，徐涛，刘合国

（湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062）

本文中采用的符号和术语都是标准的，见文献［1－2］.

我们知道，单群在群论里具有基本的重要性.一个单群通常可由它的数量特征（比如群的阶和元的阶的集合）来刻画.运用Sylow定理不难证明60阶单群同构于A5≅PSL（2，5）［1，3］，Smith［1］和Huppert［3］分别用群论的不同方法证明了168阶单群同构于PSL（2，7）.Isaacs［4］用特征标的理论证明了360阶单群同构于A6≅PSL（2，9），对这个看似简单的结果至今还没有见到纯粹的群论证明.值得指出的是，Rotman［5］希望运用初等群论证明360阶单群同构于A6，但他给出的提示“360阶单群只有6个Sylow 5－子群”是错误的，因为360阶单群的Sylow 5－子群的个数一定是36.在本文中，我们运用初等群论的方法证明了下面的结果.

定理 6 072阶单群同构于PSL（2，23）.

定理的证明 设G为6 072阶单群，此时｜G｜＝6 072＝23·3·11·23.

首先证明G的Sylow 23－子群的个数n23（G）＝24，Sylow 11－子群的个数n11（G）＝276.设P是G的Sylow 23－子群，由Sylow定理知n23（G）≡1（mod 23）和n23（G）＝｜G∶NG（P）｜，因此n23＝1或24.注意到G是单群，于是n23（G）＝24，进而，下证｜NG（P）｜＝253＝11·23.下证NG（P）包含23个Sylow 11－子群，根据Sylow定理得到n11（NG（P））＝1或23.若NG（P）只有1个Sylow 11－子群Q，则Q◁NG（P），从而NG（P）⊆NG（Q），即有｜G∶NG（Q）｜整除｜G∶NG（P）｜＝24，因为n11（G）＝1（mod 11），所以n11（G）≠24，即｜G∶NG（Q）｜≤12，因此得到整除12！，矛盾.因此NG（P）包含23个Sylow 11－子群.根据Sylow定理得到G的Sylow 11－子群的个数n11（G）＝1，12，23或276.由G是单群可以得到n11（G）≠1或12，若n11（G）＝23，则NG（P）包含G的全部Sylow 11－子群，而NG（P）可由这些Sylow11－子群生成，这将有NG（P）◁G，矛盾于G是单群，所以n11（G）＝276.

考虑G在Syl23（G）上的共轭作用.由于n23（G）＝24，可设

并用｛∞，GF（23）｝表示被置换的数码集合.设P＝＜u＞，则u∈NG（P∞），所以u保持P∞不动.因为u∉NG（Pi）（0≤i≤22），所以u变动了GF（23）的每个元，因为u是G的一个23阶元，适当调整数码的排列顺序，u共轭作用在Syl23（G）上引起的置换总可以写成（∞）（0，1，2，…，22）的形式.显然u对应的映射为x→x＋1，其中x∈｛∞，GF（23）｝，这是一个线性分式映射.

设NG（P）＝＜u，n＞，其中u是一个23阶元，n是一个11阶元.n∈NG（P），故n保持P∞不动.因为211≡1（mod23），所以对所有的x∈GF（11），n对应的映射为x→2x，这是一个线性分式映射.

设N＝＜n＞是G的一个Sylow 11－子群，记H：＝NG（N），则｜G∶H｜＝n11（G）＝276，从而｜H｜＝22＝2·11，于是H有一个2阶元t.由于N◁H，t共轭作用在N上，诱导了N的一个自同构，注意到t为2阶元，因此nt＝n或nt＝n－1.

若nt＝n，则n与t可交换，nt是一个22阶元，即H含有22阶元，此时H是循环群，所以G的所有Sylow 11－子群Ni（1≤i≤276）的正规化子Hi都是循环群，且Hi≠Hj当且仅当NG（Ni）≠NG（Nj）（1≤i，j≤276）.Hi含有φ（22）＝10（φ为欧拉函数）个22阶元，而G含有276个Sylow 11－子群，因此所有正规化子共含有10·276＝2 760个22阶元.

根据Sylow定理可以得到G的Sylow 3－子群的个数n3（G）＝1，4，22，46，184或253.注意到G是单群，容易验证n3（G）≠1，4或22.若n3（G）≥46，则G至少有2·46＝92个3阶元.因为n23（G）＝24，所以G有22·24＝528个23阶元，又n11（G）＝276，故G有10·276＝2 760个11阶元.综上我们得到G中22阶元、3阶元、23阶元和11阶元的总数至少有2 760＋92＋528＋2 760＝6 140个，而6 140＞6 072＝｜G｜，矛盾.因此nt＝n－1.

下证t在｛∞，GF（23）｝上引起的置换为

因为G在｛∞，GF（23）｝上传递，任意一个点的稳定子群阶为253，t为2阶元，所以t没有不动点，因此t对换n的不动点0和∞.由nt＝n－1和xn＝2x可得（2x）t＝xnt＝xtn－1，又xn－1＝2－1x，故xtn－1＝2－1xt，从而（2x）t＝2－1xt.在等式（2x）t＝2－1xt中我们分别取x＝1，2，22，…，29，可以得到置换

显然t对应的映射为x→x－11t，其中x∈｛∞，GF（23）｝，这是一个线性分式映射.

综上所述，找到了G里的3个元素u：x→x＋1，n：x＝2x，t：x→x－11t，其中x∈｛∞，GF（23）｝.容易验证detu＝1和detn＝2，而GF（23）中的平方剩余为1，2，3，4，6，8，9，12，13，16和18.所以detu和detn是GF（23）中的平方剩余.下证1t不是GF（23）中的平方剩余.由于t在｛∞，GF（23）｝上引起的置换为

t没有不动点，故

进而

这表明1t不是GF（23）中的平方剩余.又－1不是GF（23）中的平方剩余，于是根据两个非平方剩余的乘积是平方剩余，得到dett＝－1t是GF（23）中的平方剩余.因

容易看到u，n，t对应的线性分式映射属于PSL（2，23）.

令A＝＜u，n，t＞，其中u，n，t分别是23阶元，11阶元，2阶元.因为2·11·23＝506整除｜A｜，所以｜G∶A｜≤12.注意到G是单群，于是G＝A.故G同构于PSL（2，23）的一个子群，而，因此G≅PSL（2，23）.

［1］Smith G，Tabachnikova O.Topics in group theory［M］.Berlin：Springer－Verlag，2000.

［2］Isaacs I M.Finite group theory［M］.Providence：American Mathematical Society，2008.

［3］B.Huppert.Enliche gruppen I［M］.New York：Springer－Verlag，1967.

［4］Isaacs I M.Character theory of finite groups［M］.New York：Academic Press，1976.

［5］Rotman J.An introduction to the theory of groups［M］.New York：Springer－Verlag，1994.