M-矩阵与其逆矩阵的Hadamard积特征值的新下界

高美平

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

本文继续对M-矩阵A与其逆矩阵A-1的Hadamard积的最小特征值τ(A°A-1)的下界进行研究，得到关于τ(A°A-1)的不等式.

1 符号与引理

记N={1,2,…,n}；Rn×n表示实n阶矩阵所成的集合；ρ(p)表示n×n阶非负矩阵P的Perron根；τ(A°A-1)表示非奇M-矩阵A与其逆矩阵A-1的Hadamard积最小特征值.

为了叙述方便，给出以下记号：

引理1[6]设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优矩阵，A-1=(bij)，则|bji|≤sji|bii|,j≠i.

引理5[7]设A=(aij)∈Rn×n,是行严格对角占优的M-矩阵，A-1=(bij)，则bji≤mjibii,j≠i.

引理6[10]设A=(aij)∈Rn×n,是严格对角占优M-矩阵，A-1=(bij)，则bji≤vjibii,j≠i.

设A=(aij)是严格对角占优M-矩阵，A-1=(bij)，易得mki≤ri,，于是vji≤mji.从而vi≤mi.

2 主要结果

文献[1-10]中分别给出了M-矩阵A与其逆矩阵A-1的Hadamard积的最小特征值τ(A°A-1)下界的一些结果.下面给出关于τ(A°A-1)的新下界:

推论1 设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵，A-1=(bij)是双随机矩阵，则

证明由定理1的证明和引理4知定理2成立.证毕

3 例子

对τ(A°A-1)的下界进行估计：由文献[2-10]的结果分别得τ(A°A-1)≥0.500 0，τ(A°A-1)≥0.662 4，τ(A°A-1)≥0.799 9，τ(A°A-1)≥0.800 9，τ(A°A-1)≥0.8250，τ(A°A-1)≥0.825 0.由本文定理1得：τ(A°A-1)≥0.884 1;事实上τ(A°A-1)=0.975 5.以上表明，本文所得的结果改进了Feidler和Markham的猜想和文献[1-10]的结果.

4 结语

对M-矩阵与其逆的Hadamard积的最小特征值的下界进行了研究，得到了τ(A°A-1)的2个新下界.一方面，结果改进了文献[2-8]的结果.另一个方面，由数值算例表明本文所得的结果改进了文献[1-10]的结果.因此，所得的结果是对相关文献的一个有益补充.

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