基于尖点突变理论的平行组拼双肋拱侧倾失稳临界荷载计算新方法*

禹奇才，刘爱荣,肖才涛，傅继阳

(广州大学-淡江大学工程结构灾害与控制联合研究中心∥广东高校结构安全与健康监测工程技术研究中心∥广州市结构安全与健康监测重点实验室, 广东 广州 510006)

拱在外力作用下一般会发生两种失稳形式：面内失稳和面外失稳。对于大跨肋拱桥，面外失稳临界荷载远低于面内失稳，所以获得其侧倾失稳临界荷载显得非常重要。

失稳问题是拱结构的重要课题之一，目前计算结构稳定性的方法最常用的有三种[1-3]：①静力法。静力法是通过建立平衡微分方程，在满足边界条件的情况下求得临界荷载，即求解弹性系统平衡路径分支点所对应的荷载值。这种方法比较繁琐，且平衡微分方程为超越方程，求解十分困难。②能量法。能量法避免了直接求解法的问题，通过建立弹性系统的位势ΔEp，求解泛函的一级变分，使得ΔEp=0，即总势能保持不变，说明初始平衡位置是中性平衡的，从而得到临界荷载计算公式。已有学者们提出了一系列的能量法，如Timoshenko法、Rayleigh-Ritz法、Galerkin法和势能驻值原理等。通过能量法可求解弹性系统的总势能不再是正定时的荷载值。③动力法。动力法假定体系通过扰动使得结构在原平衡位置附近作微小自由振动，获得振动方程，并求出其自振频率的表达式，根据体系处于临界状态时频率等于零这一条件确定临界荷载。

除了以上三种常见的失稳计算方法，近年来，突变理论也逐渐在工程中得到应用。突变理论是研究自然界中不连续(跳跃性)变化现象的一种数学方法。应用突变理论可得出拱结构失稳的尖点突变模型和临界条件[4]。

突变理论是法国数学家勒内汤姆[5]20世纪70年代提出的一种新的数学理论，并由Posto T[6]完善应用的研究不连续现象的一种新兴的数学分支，是研究非线性问题的重要手段。近40年来突变理论已经在自然学科、社会学科、生物学科和经济学等领域取得了广泛的应用。目前，基于突变理论的拱结构屈曲研究代表性研究成果有：魏德敏、戴莉莉、沈茂山[4,7-8]应用突变理论研究单拱的面内静力失稳和非线性动力稳定性；潘岳[9]利用折迭突变和尖点突变模型，研究了圆弧双铰拱面内对称和反对称失稳。虽然突变理论可作为研究拱结构失稳行为的一种方法，但大部分学者致力于弹性拱面内失稳的分析，对于拱结构的面外失稳的研究，目前尚未见诸报道。相对于面内失稳研究，面外失稳属空间弯扭变形问题，更具复杂性，拱的面内失稳变形通过一个几何方程即可描述，而面外失稳变形需要建立多个几何变量方程来描述。另外面外失稳所涉及的变形能较多，建立能量方程比较困难。本文构建了平行组拼双肋拱的侧倾失稳能量表达式，首次通过数学转换，建立了尖点突变模型，获得了平行组拼双拱肋系统的平衡曲面M方程和分歧点集B方程，通过分析体系失稳条件，计算了分歧点集解，推导了系统侧倾失稳临界荷载计算公式，提出了平行组拼双拱肋侧倾失稳临界荷载计算新方法，采用突变理论所推出的临界荷载计算公式不仅简洁明了，而且计算精度较高。

1 突变理论的基本原理

突变理论是以分叉理论、奇异理论和拓扑学为数学工具，用以分析如岩石突然断裂、桥梁突然坍塌、拱坝等受压结构失稳等传统的微积分方法不能解释的不连续变化现象的数学分支。突变理论通过给出系统在突变过程的势函数，讨论相应的突变模型，特别是控制空间中突变集的几何形状，定性研究不连续变化现象。按照几何形状的不同，可分为折叠型、尖点型、燕尾型等7种类型的初等突变[10]。

拱结构一般在设计荷载作用下变形光滑连续，但在特殊情况下，如刚度不足，突然失稳，从一种连续的状态突然跳跃到不连续的状态，其失稳突变过程具有突跳性、滞后性、发散性、多模型性和不可达性等特征，这与尖点突变模型的典型性质相符合[10]，故本文采用尖点突变模型研究平行组拼双肋拱的侧倾失稳问题。尖点模型突变流形和分叉集如图1[11]。

图1 尖点突变模型示意图Fig.1 Cusp catastrophe model sketch

由图1，尖点突变的势函数为

(1)

式中x是状态变量，a和b是控制变量，控制变量a为分裂因素，控制变量b为正常因素，状态空间(x,a,b)是三维的。如果系统在演变过程中控制变量a>0，则系统的状态位于奇点集的另一侧，系统是稳定的。如果a<0，但系统沿路径2演化，而不去跨越分叉集，则系统只能以渐变的方式进化。只有a<0，且系统沿路径1跨越分岔集，系统才发生突变。

相应的平衡曲面M(平衡路径)方程为

(2)

平衡曲面的奇点集S除了满足式(2)，尚应满足：

(3)

联立式(2)、(3)并消去状态变量x可得分叉集B：

Δ=4a3+27b2=0

(4)

由图1可知，平衡曲面M是一带有褶皱的曲面，M曲面分为三叶。

(5)

(6)

能量取极小值，物体才处于稳定状态。所以上下叶表示系统的稳定平衡状态，中叶表示不稳定状态。

2 拱侧倾失稳的尖点突变

2.1 平行组拼双肋拱侧倾失稳的力学模型

平行组拼双肋拱在径向均布荷载作用下，侧倾失稳后的变形图、空间曲线坐标如图2所示。

图2 平行组拼双肋拱侧倾失稳变形Fig.2 Parallel dual-arch-ribs buckling deformation

组拼拱发生侧倾失稳后，任意截面s垂直于拱平面x轴，在指向拱轴法向的y轴和在拱轴切线重合的z轴三个方向分别发生了线位移u、υ、ω并绕这三个轴发生转角β、γ、θ。拱肋截面主轴x、y、z也发生了变位，相对于变形拱的坐标系取为ξ、η、ζ。

假设拱轴线为圆弧拱，则发生侧倾失稳后圆弧拱的扭转角及侧倾位移函数可分别表示为:

(7)

式中C1、C2分别为拱侧倾变形后拱顶扭转角及拱顶侧倾位移的0.5倍，α为圆弧拱的圆心角，φ为截面s对应的圆心角。

公式(7)满足拱脚两端固接边界条件，即：

2.2 侧倾屈曲的能量方程

略去拱的轴向压缩变形能和剪切变形能的影响，平行组拼双肋拱的总势能可表示为：

∏=Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ

(8)

上式中Ux为拱肋的面内弯曲变形能、Uy为侧向总体弯曲变形能、Uz为扭转变形能、Uy1为拱肋局部弯曲变形能、Uby为横撑弯曲变形能、V为竖向外力势能、UQ为横向干扰力所做的功。

1)面内弯曲变形能Ux。

(9)

(10)

式中，EIx为拱肋面内抗弯刚度，k为侧向变形曲率，R为圆弧拱半径。

2)拱肋的侧倾变形能Uy和扭转变形能Uz。

(11)

代入位移函数，得

(12)

式中，EIy为拱肋的侧向抗弯刚度，GId为拱肋抗扭刚度。

3) 局部弯曲变形能Uy1和Uby。

组拼双肋拱侧倾失稳的变形和对应的弯矩图如图3示，拱肋截面绕y轴的转角为γ，拱肋局部变形在节点A的转角为γ2，则由于刚性节点上各杆的夹角保持不变，横撑在节点A的转角γ1=γ-γ2。设横撑的杆端弯矩为M1，拱肋的杆端弯矩为M2。

图3 拱肋和横撑的局部变形和弯矩图Fig.3 Local transformation and bending moment

由横撑的转角位移方程，可得：

(13)

式中EIby为横撑沿拱肋径向的抗弯刚度。

由节点A的平衡条件M1=2M2，得

(14)

设想将弯曲变形能平摊在节间长度d上，则全部横撑的弯曲变形能为

(15)

则一个节间内单根拱肋的局部弯曲变形能为

(16)

整体结构局部弯曲变形势能可表示为

(17)

(18)

4) 外力势能Vy。

拱轴受均布径向荷载作用后竖向变形为υ，则外力势能Vy等于q在υ上所做的功的负值，即：

(19)

5) 横向干扰力做功。

设x轴方向的横向干扰力为Q，则横向干扰力所做的功为

(20)

将式(10)、(12)、(17)、(19)、(20)代入式(8)得总势能：

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(21)

由平衡曲面方程：

(22)

所以，

(23)

将式(23)代入(21)得

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(24)

2.3 突变模型的建立

利用简单的数学变换，将系统总势能转化成以a,b为控制变量，以x为状态变量的尖点突变模型。作变量代换，令：

(25)

(26)

(27)

变量代换后则，系统能量方程可表示为：

2.4 侧倾屈曲条件分析

由图1可知，拱的侧倾失稳突变行为是一种以b为正常因素，以-a为分裂因素的尖角突变，它的行为曲面M分为三叶。由式(5)，上、下叶表示为

(28)

而中叶表示为

(29)

从图1中的C平面(控制平面)，M的折线在C上的投影称为尖角分叉集合，任何加载路径经过分叉集合时都会使拱产生突变行为。

建立静态平衡方程：

(30)

上式可表示为尖点突变模型平衡曲面M，平衡曲面M上两条垂直切线的点集S的方程为

(31)

S集在控制平面上的投影为分叉集B，如图1。

令：

ħ2+(ħ-1)2)+

(32)

所以，

a=(qcr-q)×

(33)

由上式可知qcr与横撑间距d2成反比，与拱肋间距b成反比。

当在平衡曲面M中叶时，则必须满足式(29)即，3x2+a<0，由x2>0，所以a<0即q>qcr时，即结构处于失稳状态。

当在平衡曲面M上、下叶时，由式(28)得3x2>-a，由图1，当a>0时，即q-a恒成立；当a<0，即q>qcr时，且满足3x2>-a时，此时对应组拼双肋拱失稳后的平衡状态， M曲面是在褶皱外的上、下叶上。由b的正负决定曲面M是在上叶还是下叶。当b<0时，即Q<0对应上叶。当b>0，Q>0对应下叶。横向干扰力Q的正负值表示力的方向。

当在平衡曲面M的S集上时，由式(31)得3x2+a=0，此时对应着临界状态，组拼双肋拱处于平衡状态，即x=0，所以a=0，q=qcr，qcr即为临界荷载，当q>qcr时，发生第一类分支点失稳。

3 算例分析

图4 有限元模型Fig.4 Finite element model

为了验证本文所推导的侧倾临界荷载计算公式的正确性，采用Midas/Civil软件，建立一组不同跨径、不同矢跨比的组拼双肋拱有限元计算分析模型，有限元模型中的横撑数目和间距根据表1中的d确定，图4仅仅为有限元计算模型示意图。拱肋和横撑均采用梁单元。表1给出了跨径为60～120 m的平行组拼双肋拱的计算参数；表2为临界荷载理论解与有限元数值解的比较，可以看出理论解与有限元计算结果的比较非常吻合，最大误差为4.97%。说明本文基于尖点突变理论所推导的平行组拼双肋拱侧倾失稳临界荷载的理论计算公式是正确、可靠的。

表1 计算参数

4 结 论

1)引入突变理论，推导了平式组拼双肋拱的侧倾失稳能量方程，建立了双拱肋侧倾屈曲的尖点突变模型。

2)基于突变理论基本原理，根据尖点突变模型的M曲面图形，分析了平式组拼双肋拱侧倾临界荷载与平衡曲面M上中下叶的对应关系，首次推导出平行组拼双肋拱的侧倾失稳临界临界荷载qcr计算公式。

3)通过与有限元数值解进行对比，证明了突变理论适用于组拼双肋拱的侧倾失稳分析，且验证了本文所建立的尖点突变模型和所推导的临界荷载qcr计算公式的正确性。

4)由本文推导的侧倾失稳临界荷载qcr计算公式可知qcr与横撑间距d2成反比，与拱肋间距b成反比。

表2 临界荷载理论解与有限元解的比较

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