读懂数学语言，培养学生思维转化能力

陈万斌

首先，数学教学也就是数学语言的教学，而语言的教学是离不开阅读的.大部分学习数学困难的学生正是因为对于数学语言的理解困难而造成的.加强阅读能力的培养，有助于数学学习能力的提高.其次，数学学习主要是包括对概念的阅读理解，所求问题的理解，只有这些环节畅通，确实读懂了题目的条件和要求，才会用相关知识去解决问题.这几年高考对学生的阅读数学的语言要求很高，这就要求教师要引导学生学会读懂数学语言，理解数学问题的本质，不断让学生学会阅读，提高思维转化能力.本文以几个函数为例阐明对“任意性”和“存在性”的理解.

类型一：单个函数型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

（x2-3x+a）min≥0.

解 设f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2时，f（x）min≥0.

因为f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范围

读懂题意，本题转化为（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，设

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2时，f（x）max≥0.

因为f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求实数m的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由题意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

类型二：两个函数型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，转化为：f（x）min>[g（x）max]

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）min>g（x）min.

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 当1≤x≤2时，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，总x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：两函数值域之间关系.

解 设函数f（x）的值域为A，函数g（x）值域为B.

令t=2x+1，因为0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由题意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我们能一如既往地引导学生注重阅读，学会阅读，就能读懂数学语言，把握数学问题的本质，掌握问题的解决方法，真正地培养了学生的思维能力.

首先，数学教学也就是数学语言的教学，而语言的教学是离不开阅读的.大部分学习数学困难的学生正是因为对于数学语言的理解困难而造成的.加强阅读能力的培养，有助于数学学习能力的提高.其次，数学学习主要是包括对概念的阅读理解，所求问题的理解，只有这些环节畅通，确实读懂了题目的条件和要求，才会用相关知识去解决问题.这几年高考对学生的阅读数学的语言要求很高，这就要求教师要引导学生学会读懂数学语言，理解数学问题的本质，不断让学生学会阅读，提高思维转化能力.本文以几个函数为例阐明对“任意性”和“存在性”的理解.

类型一：单个函数型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

（x2-3x+a）min≥0.

解 设f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2时，f（x）min≥0.

因为f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范围

读懂题意，本题转化为（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，设

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2时，f（x）max≥0.

因为f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求实数m的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由题意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

类型二：两个函数型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，转化为：f（x）min>[g（x）max]

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）min>g（x）min.

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 当1≤x≤2时，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，总x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：两函数值域之间关系.

解 设函数f（x）的值域为A，函数g（x）值域为B.

令t=2x+1，因为0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由题意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我们能一如既往地引导学生注重阅读，学会阅读，就能读懂数学语言，把握数学问题的本质，掌握问题的解决方法，真正地培养了学生的思维能力.

首先，数学教学也就是数学语言的教学，而语言的教学是离不开阅读的.大部分学习数学困难的学生正是因为对于数学语言的理解困难而造成的.加强阅读能力的培养，有助于数学学习能力的提高.其次，数学学习主要是包括对概念的阅读理解，所求问题的理解，只有这些环节畅通，确实读懂了题目的条件和要求，才会用相关知识去解决问题.这几年高考对学生的阅读数学的语言要求很高，这就要求教师要引导学生学会读懂数学语言，理解数学问题的本质，不断让学生学会阅读，提高思维转化能力.本文以几个函数为例阐明对“任意性”和“存在性”的理解.

类型一：单个函数型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

（x2-3x+a）min≥0.

解 设f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2时，f（x）min≥0.

因为f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范围

读懂题意，本题转化为（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，设

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2时，f（x）max≥0.

因为f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求实数m的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由题意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

类型二：两个函数型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，转化为：f（x）min>[g（x）max]

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

f（x）min>g（x）min.

解 当x∈[1，2]时，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 当1≤x≤2时，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，总x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围.

读懂题意，本题转化为：两函数值域之间关系.

解 设函数f（x）的值域为A，函数g（x）值域为B.

令t=2x+1，因为0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由题意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我们能一如既往地引导学生注重阅读，学会阅读，就能读懂数学语言，把握数学问题的本质，掌握问题的解决方法，真正地培养了学生的思维能力.