关于有限群超可解性的一种新判定方法

刘阿明，李保军，黄 程

(成都信息工程学院应用数学学院，四川成都，610225)

0 引言

讨论的群皆为有限群文中未交代的符号和定义都是标准的[1－2]。

群的超可解性的描述和判定是有限群研究的重要课题之一。不同于幂零群或可解群，2个正规子群之积不一定为超可解子群。因此2个超可解子群乘积的结构以及超可解子群的积仍为超可解群的条件成为广受关注的研究内容。譬如，Baer[3]证明了，如果G为2个正规超可解子群之积，且G'(群G的换位子群)幂零，则G为超可解群;Friesen[4]证明2个指数互质的正规的超可解子群之积仍为超可解群;文献[5－6]等讨论了非正规超可解子群的积为超可解的一些条件。

近年来，群论专家们在对群的超可解性的研究中，引入许多新的研究工具和子群性质，其中被广泛关注的内容是A Skiba[7]提出的子群弱s-置换性质。

定义1[7]:G是有限群，H≤G，称H在G中是弱s-可置换的，如果存在H的1个次正规子群T使HT=G，并且H∩T≤HsG，其中HsG是由H的所有在G中s-可置换的子群生成的子群。

借助子群的弱s-置换性质，研究超可解子群的积的问题，并给出群的超可解性的一些判别方法证明以下定理:

定理1 设G=AB，其中A在G中是拟正规的且B为超可解的。若A的Sylow子群的所有极大子群都在G中是弱s-可置换的，则G为超可解群。

1 预备知识

为了方便引用，列出弱s-置换子群的一些基本性质和一些已知的结论。

引理1[7]设G是群，H≤K≤G，则下面结论成立:

(1)如果H在G中是s-可置换的，那么H在G中是弱s-可置换的;

(2)如果H◁G，那么K/H在G/H中是弱s-可置换的当且仅当K在G中是s-可置换的;

(3)如果H在G中是弱s-可置换的，那么H在K中是弱s-可置换的;

(4)如果H◁G，对于任何在G中是弱s-可置换的E满足，那么HE/H在G/H中是弱s-可置换的。

引理2[1]设H是群G的次正规子群，则Soc()G≤NG()H，其中Soc()G为G的所有极小正规子群的积。

引理3[8]群G的p-超可解的，若Op'()G=1，则p为的极大素因子，且G/Op(G)为幂指数整除p－1的交换群。

群G称为是一个Dπ-群，如果G满足:(1)有Hall π-子群;所有Hall π-子群共轭;(2)所有π-子群均含于某一 Hall π -子群。对Dπ-群，得到:

引理4设G=AB，且A，B，G都为Dπ-群。则存在G的Hallπ-子群H使得H=(H∩A)(H∩B)。

证明 设Aπ，Bπ分别为A，B的 Hall π-子群，Gπ为G的 Hallπ-子群，由Dπ-群定义，可设Aπ⊆Gπ。Bπ⊆Gπx，x∈G。则x=ab，a∈A，b∈B。于是Bπb－1⊆Gπa。但Bπb－1仍为B的 Hall π -子群，因此Bπ⊂Gπa，令H=Gπa，则Bπ⊆H。又由Aπa⊆Gπa=H，以Aπ代替Aπa有Aπ⊆H。于是AπBπ⊆H.通过对阶的比较，立即可得Aπ=H∩A，Bπ=H∩B且H=(H∩A)(H∩B)。

引理5[9]设V是域GF(p)上n(≥1)维向量空间，令G是V的线性变换组成的交换群，其幂指数能整除p－1，如果群G既约的作用在V上(即V没有非平凡的G不变子空间)，则必有n=1且G是循环群。

2 定理1的证明

为了证明定理1，先证明下述2个引理。

引理6 设p为G的最小素因子，A是G的拟正规子群，B为p-幂零子群，且G=AB。若A的Sylowp-子群的所有极大子群在G中是弱s-可置换的，则G为p-幂零的。

证明:引理不成立，并设G为极小阶反例。4个步骤完成证明。

(1)Op'()G=1

由引理1，容易验证引理条件对G/Op'()G成立。假设Op'( )G≠1。则。由G的极小性可知，G/Op'()G是p-幂零的。于是G为p-幂零的，矛盾。

(2)A是p-群且G是p-可解群

由引理1(3)可知，A的Sylowp-子群的所有极大子群在A中也是弱s-可置换的。于是，由文献[10]中推论2.6和引理3.2，可得A为p-幂零的。令K为A的正规的p-补，即K为A的 Hallp'-子群且K◁A。则K≤Op'()G=1，因此A是p-群。由A在G中拟正规，得A≤Op(G)且因此有G=Op(G)B为p-可解群。

竖炉检修完毕，开炉前需预先将炉内铜原料码成圆柱状料柱直至加料口；开炉生产后，烧嘴高温火焰直接喷射至炉内铜原料，将料柱熔化成铜液；铜原料从加料口缓慢下降过程中，高温烟气在烟囱效应的作用下逆铜原料流向上升，与料柱充分换热后由炉顶排出，热量利用充分，节能降耗效果显著；烟气温度由炉底的约1 200 ℃降至加料口的约400 ℃，加料口作为补新风口，最终排烟温度降至约300 ℃[2]；通过持续预热、熔化料柱，在炉底会形成一股连续的铜液流，铜液在重力作用下，汇入炉底斜坡从出铜口流出。铜液在炉内滞留时间短，难以提温，向炉壁热传导也较少，热损失少。

(3)G为p-闭的

设T=Opp'()G，由步骤(2)知，A⊆T，因此T=T∩AB=AT∩()B，由引理1易知T满足定理条件。若T＜G，则由G的选择知T是p-幂零的，但Op'()T⊆Op'()G=1，因此T为p-群;又因为G是p-可解群，必有Op( )G/T≠1，记R/T=Op( )G/T，则由T为p-群得R⊆Op()G⊆T，矛盾。因此，T=G，即G为p-闭的。

(4)最后矛盾

设Bp和Bp'分别为B的Sylowp-子群和Hallp'-子群，因为B是p-幂零的，所以Bp'◁B。由步骤(3)知，G为p-闭的，因此B也是p-闭的，于是Bp◁B，即B=Bp×Bp'。因为A在G中是拟正规的，所以ABp'≤G;若ABp'＜G，则由归纳可知ABp'是p-幂零的，即Bp'◁ABp'，又因为A是拟正规子群，A是ABp'的次正规Sylowp-子群，所以A◁ABp'，即ABp'=A×Bp'，因此A⊆CG(Bp')中，进而有ABp⊆CG(Bp')，这表明Bp'◁G=AB，由步骤(1)得Bp'=1，从而G=ABp是p-群，矛盾。因此可设G=ABp'，则A是G的正规Sylowp-子群，同步骤(2)的证明可知G为p-幂零的，这是最后的矛盾，因此结论成立。

引理7 设G为p-闭的，A是G的拟正规子群，B为p-超可解子群且G=AB，若A的Sylowp-子群的所有极大子群在G中是弱s-可置换的，则G为p-超可解的。

证明:假设引理不成立并设G为极小阶反例，即G是满足条件的极小阶非p-超可解群，通过以下步骤证明:

(1)Op'(G)=1

(2)AG=1

假设AG≠1，并设N是包含在AG中的G的极小正规子群，由引理1，容易验证G/N也满足定理条件。由G的选择知G/N是p-超可解的。又由于所有p-超可解的群类为饱和群系，因此N≤/Φ()G。于是存在G的极大子群M，使对于A的Sylowp-子群Ap，Ap=Ap∩NM=N(Ap∩M)，即N在Ap中有补P1=Ap∩M，设Gp是G的Sylowp-子群，因为N◁G，存在N的极大子群L，且L◁Gp，令P=LP1，则P是Ap的极大子群，由已知条件可得，P在G中是弱s-可置换的，设T是G的次正规子群，则P∩T≤PsG，如果N≤/Op(G)，则NOp(G)/Op(G)≅N是G-主因子，但G/Op(G)是p-群，其所有的G主因子是循环群，因此N是循环群，所以N≤Op(G)≤T，则L=N∩P≤T∩P≤TsG，所以L=N∩TsG在G是s-拟正规的，即得Op(G)≤NG(L)，所以L◁Op()G·Gp=G，由N的极小性得L=1，所以，即得G为p-超可解的，矛盾。所以AG=1。

(3)设N是包含在Op()G中的G的极小正规子群，则G/N为p-超可解群

由G的极小性，只需验证G/N也满足定理条件。显然G/N=(AN/N)(BN/N)且AN/N是GN/N的拟正规子群，BN/N为p-超可解子群。设S/N为AN/N的Sylowp-子群的任一极大子群，P为S的Sylowp-子群。则显然P为A的Sylowp-子群的一个极大子群，从而在G中是弱s-可置换的。即存在次正规子群T使PT=G，并且P∩T≤PsG。由于|G:T|=|P:P∩T|为p-数，所以N⊆Op()G⊆T。于是G/N=(PN/N)(T/N)=(S/N)(T/N)，且S/N∩T/N=(PN∩T)/N=(P∩T)N/N≤PsGN/N≤(S/N)S(G/N).因此S/N在G/NG中是弱s-可置换的，即G/N满足定理条件。

(4)A为p-子群

设N是包含在Op(G)中的G的极小正规子群，由步骤(1)知N⊆Op(G)中，显然Z(Op(G))◁G，又由N∩Z(Op(G))≠1知N⊆Z(Op(G))，即N∩A⊆Z(Op(G));另一方面，A是G的拟正规子群，因此Op(G)⊆NG(A)，并且有Op(G)⊆NG(A∩N)。因为G为p-闭的，表明G=Op(G)·Op(G)⊆NG(A∩N)，即A∩N◁G，由N是G的极小正规子群，则A∩N=1或A∩N=N，但AG=1，所以A∩N=1，由引理2知AN=A×N，即A⊆CG(N)。

令Ap是A的Sylowp-子群，则ApB=Op(G)B≤G。令M=ApB则Ap在M中是拟正规的，且M也满足定理的条件。若M＜G，则由G的选择可知，M是p-超可解的，设R⊆N是M的极小正规子群，则R=p，又由N⊆CG(A)得R◁G=AB=AM，N的极小性表明，N=R为p阶群。又由步骤(3)知G/N为p-超可解的，所以G为p-超可解的，矛盾。这一矛盾表明，G=M=ApB，由此，不妨设A=Ap，即A为p-群。

(5)Op'(B)=1

假设Op'(B)≠1，则 (Op'(B))G=(Op'(B))BA=(Op'(B))A≤AOp'(B)，令L是含于 (Op'(B))G的G的极小正规子群，则L≤Op'(B)，由步骤(1)知L必为p-群，从而L⊆A，矛盾于步骤(2)AG=1，因此Op'(B)=1。

(6)G的Hallp'-子群为幂指数整除p－1的交换群

由步骤(5)Op'(B)=1，且B为p-超可解群，由引理3知B的Hallp'-子群Bp'≅B/Op(B)为幂指数整除p－1的交换群，但A为p-群，因此Bp'为G的Hallp'-子群，是幂指数整除p－1的交换群。

(7)最后矛盾

因为G为p-闭的且G的Hallp'-子群是幂指数整除p－1的交换群，由引理5得G为p-超可解的，矛盾。这一最后矛盾表明，引理成立。

给出定理1的证明:

由引理6知，G为p-幂零的，其中p为G的最小素因子。令M为G的p-补，则M=(M∩A)·(M∩B)且满足定理条件，重复此过程，可以得到G为Sylow塔群。设q是的极大素因子，则G为q-闭的，又由引理7可知G为q-超可解的。令Q是G的Sylowq-子群，则。设X是Q在G中的补，则由引理4可知，,从而用归纳法可知x是超可解的，又因为，且Q⊆Z∞()G，所以G为超可解群。

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