“线段公理”在求线段和差最值问题中的应用

在几何问题中，有一类求动态中的线段和或差的最值问题，它一般不只是单纯的线段数量的运算，往往要通过构造“两点间的线段”的基本图形，利用“两点之间，线段最短”这一公理来获得最值问题的解决。形象地体现了数形结合的重要数学思想，充分展现了以形助数的思想方法，培养了学生数形转化的能力，所以受到关注与青睐，在各省的中考中也渐渐有所体现。而如何构造“两点间的线段”是解决问题的关键。本文就此举例归纳，望对广大学生有所启示与帮助。

知识回放：人教版实验教科书八上，第十二章轴对称中的探究问题（P42）：要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所有的输气管线最短？

图1分析：如图1，作点B关于管道的对称点B′，连接AB′，交管道于点C，即是泵站所在点。而AC′+C′B=AC′+C′B′>AB′（两点之间，线段最短）；

通过“对称”及构建“两点间的线段”基本图形，将动态变化中的线段AC或BC转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。

两个关键点：（1）找准对称轴。动点所在的管线即为对称轴。（2）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。

1两点在同侧

1。1一条对称轴

图2例1如图2，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为AB中点，连接AC，在AC上找一点P，使得PE+PB为最短，并求出这最短值。

解析（1）点P是AC上的动点，则AC所在直线是对称轴。

（2）点B、E在AC同侧，因此要转化成异侧。很显然，根据图形的性质，找点B比较方便，点B、D关于AC对称。

连接DE，交AC于点P，易证△ABD为等边三角形，可得DE=3，则PE+PB的最小值为3。

点评在轴对称图形中，本身含有对称的性质，其中的一个点的对称点已经存在，从而构成两点在异侧的情境，连接后就与对称轴有交点。

1。2两条对称轴

人教版八上习题P47：将军马饮问题。如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

图3解析如图3，动点有两处：草地与河边，因此关键之一就是确定有两条对称轴。关键二：A、B两点化异侧。作点A关于草地边的对称点A′，B关于河边对称点B′，这样，A′、B′两点在对称轴的两侧，连接A′B′，得两交点E、F，即是所求位置。取任意两点C、D，根据轴对称性质可知，

AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′；AC+CD+DB=A′C+CD+DB′>A′B′。

点评有两个动点时，那么动点所在的两条直线就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，再连接，构建“两点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短”实现“化折为直”，即得最短路线。

图4例2（2011深圳中考）如图4，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）过A点的直线与抛物线交于E点，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线对称轴，点G为直线PQ上的动点，则x轴上是否存在点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值。

解析（1）易求得解析式y=-（x-1）2+4.

（2）有G、H两个动点，因此就确定有直线PQ和x轴两条对称轴，由题意知点D、E关于直线PQ对称；那么只需作点F关于x轴的对称点F′，将两动点放置对称轴两侧，连接EF′，交PQ于G，交x轴于H，则DG+GH+HF=EF′，此时D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。

解由y=-（x-1）2+4可得E（2，3），A（-1，0），D（0，3）.

求得直线AE解析式为y=x+1，知F（0，1）.

则F′（0，-1），EF′=22+（3+1）2=25，所以D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小=25+2。

2两点在异侧

2。1直接连接

例3如图5，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，BD=8，DE=1，设CD=x。

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值。

解析（1）AC+CE=25+（8-x）2+1+x2。

（2）连接AE，交BD于点C。

构建图6，得AE=62+82=10，

由△EDC∽△AFE得ED1AF=CD1EF116=x18x=413。

因此，点C距离D点413处时，AC+CE的值最小，最小值为10。

（3）构建如图7：

x2+4+（12-x）2+9的最小值是AE，可求得AE=52+122=13.

图5图6图7点评构建直角三角形，利用勾股定理，将纯数的运算，转化为图形中边长的长度运算，化“折”为“直”，避免了复杂繁琐而不得法的计算，巧妙而完美地展现了数形结合这种“以形助数”的思想方法的魅力。

2。2平移后连接

造桥选址问题：如图8，河两侧有两村庄A、B，要建一座桥EF，应选在河的什么位置，使得从A村到B村的路线最短。endprint

图8解析由于河宽（桥长）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如图将点A沿平行于EF的方向平移EF长度至点A′，连接A′B，得交点F，由平行四边形AEFA′知AE+FB=A′B。

点评：当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”，再连接构建“两点间的线段”这一图形。再如：图9和图10.

图9图10图113两点在同侧，且有固定距离

如图11，线段MN在直线a上移动，且MN=3，点A、B在直线同侧，点M、N运动到何位置时，四边形ABNM的周长最小？

解析AB与MN的长度确定，只需求出AM+BN的最小长度即可，①作点A关于直线a的对称点A′，使得A′、B点在异侧。②沿平行于NM方向，将点B平移NM个长度至B′，连接A′B′，交点即为M，则AM+BN=A′B′，此时四边形ABNM的周长最小。

例4（2010年天津中考）如图12，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。

图12图13解析作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE。DE+CE=CD′，此时△CDE的周长最小。

因为OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以点E的坐标为（1，0）。

（2）如图13，若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

解析CD与EF长度已确定，只需求出DE+CF的最短长度。先作点D关于x轴的对称点D′，将点D′与点C置于x轴异侧，再将点C沿CB方向平移EF个长度至C′，将固定距离EF压缩为0，连接D′C′构建“两点间的线段”，交x轴于E点，则DE+CF=D′C′，此时的四边形CDEF的周长最小。

4问题的拓展延伸

线段差值问题：“两点之间线段最短”适用于求线段和最短的问题，而有些问题涉及到线段之差时，需换角度思考，但“以形助数”的思想不变。

例5如图14，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三边具有“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质。因此有，PA-PB

图14图15解如图15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，则AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

数学是研究数与形的学科，数形结合，将两者完美结合才是达到数学的最高境界。本文依托“线段公理”，通过“对称”性质转换线段，把数的问题通过构建“两点间的线段”的基本图形，使之形象化、直观化，把看似没有头绪的问题转化为通俗易懂的公理，变动为静，化折为直。

以上例题，在各种图形的各种动态变化过程中，考查了学生的三角形、特殊平行四边形、圆、抛物线等许多重要知识，加强了学生的数学综合能力，同时也发展培养了学生的数学思维能力。掌握这种数学思想方法，遇到类似动态问题就会透过现象看本质，易如反掌地解决线段和差问题。

作者简介白新慧，女，1973年生，曾获优秀班主任、优秀教师、优秀共产党党员光荣称号。从事数学教学多年，积累了一些经验，发表论文多篇。

图8解析由于河宽（桥长）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如图将点A沿平行于EF的方向平移EF长度至点A′，连接A′B，得交点F，由平行四边形AEFA′知AE+FB=A′B。

点评：当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”，再连接构建“两点间的线段”这一图形。再如：图9和图10.

图9图10图113两点在同侧，且有固定距离

如图11，线段MN在直线a上移动，且MN=3，点A、B在直线同侧，点M、N运动到何位置时，四边形ABNM的周长最小？

解析AB与MN的长度确定，只需求出AM+BN的最小长度即可，①作点A关于直线a的对称点A′，使得A′、B点在异侧。②沿平行于NM方向，将点B平移NM个长度至B′，连接A′B′，交点即为M，则AM+BN=A′B′，此时四边形ABNM的周长最小。

例4（2010年天津中考）如图12，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。

图12图13解析作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE。DE+CE=CD′，此时△CDE的周长最小。

因为OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以点E的坐标为（1，0）。

（2）如图13，若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

解析CD与EF长度已确定，只需求出DE+CF的最短长度。先作点D关于x轴的对称点D′，将点D′与点C置于x轴异侧，再将点C沿CB方向平移EF个长度至C′，将固定距离EF压缩为0，连接D′C′构建“两点间的线段”，交x轴于E点，则DE+CF=D′C′，此时的四边形CDEF的周长最小。

4问题的拓展延伸

线段差值问题：“两点之间线段最短”适用于求线段和最短的问题，而有些问题涉及到线段之差时，需换角度思考，但“以形助数”的思想不变。

例5如图14，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三边具有“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质。因此有，PA-PB

图14图15解如图15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，则AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

数学是研究数与形的学科，数形结合，将两者完美结合才是达到数学的最高境界。本文依托“线段公理”，通过“对称”性质转换线段，把数的问题通过构建“两点间的线段”的基本图形，使之形象化、直观化，把看似没有头绪的问题转化为通俗易懂的公理，变动为静，化折为直。

以上例题，在各种图形的各种动态变化过程中，考查了学生的三角形、特殊平行四边形、圆、抛物线等许多重要知识，加强了学生的数学综合能力，同时也发展培养了学生的数学思维能力。掌握这种数学思想方法，遇到类似动态问题就会透过现象看本质，易如反掌地解决线段和差问题。

作者简介白新慧，女，1973年生，曾获优秀班主任、优秀教师、优秀共产党党员光荣称号。从事数学教学多年，积累了一些经验，发表论文多篇。

图8解析由于河宽（桥长）固定，因此，只要求出AE+FB最短即可。如图将点A沿平行于EF的方向平移EF长度至点A′，连接A′B，得交点F，由平行四边形AEFA′知AE+FB=A′B。

点评：当两点间有一段固定的距离时，利用平移可将这距离“压缩为零”，再连接构建“两点间的线段”这一图形。再如：图9和图10.

图9图10图113两点在同侧，且有固定距离

如图11，线段MN在直线a上移动，且MN=3，点A、B在直线同侧，点M、N运动到何位置时，四边形ABNM的周长最小？

解析AB与MN的长度确定，只需求出AM+BN的最小长度即可，①作点A关于直线a的对称点A′，使得A′、B点在异侧。②沿平行于NM方向，将点B平移NM个长度至B′，连接A′B′，交点即为M，则AM+BN=A′B′，此时四边形ABNM的周长最小。

例4（2010年天津中考）如图12，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。

图12图13解析作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE。DE+CE=CD′，此时△CDE的周长最小。

因为OE∥BC，

所以Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有OE1BC=D′O1D′B，

所以OE=3×216=1，所以点E的坐标为（1，0）。

（2）如图13，若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

解析CD与EF长度已确定，只需求出DE+CF的最短长度。先作点D关于x轴的对称点D′，将点D′与点C置于x轴异侧，再将点C沿CB方向平移EF个长度至C′，将固定距离EF压缩为0，连接D′C′构建“两点间的线段”，交x轴于E点，则DE+CF=D′C′，此时的四边形CDEF的周长最小。

4问题的拓展延伸

线段差值问题：“两点之间线段最短”适用于求线段和最短的问题，而有些问题涉及到线段之差时，需换角度思考，但“以形助数”的思想不变。

例5如图14，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则|PA-AB|的最大值等于。

解析三角形的三边具有“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质。因此有，PA-PB

图14图15解如图15，作BE⊥AC于E，得BE=DC=4，AE=8-5=3，则AB=42+52=5，所以|PA-AB|的最大值等于5。

数学是研究数与形的学科，数形结合，将两者完美结合才是达到数学的最高境界。本文依托“线段公理”，通过“对称”性质转换线段，把数的问题通过构建“两点间的线段”的基本图形，使之形象化、直观化，把看似没有头绪的问题转化为通俗易懂的公理，变动为静，化折为直。

以上例题，在各种图形的各种动态变化过程中，考查了学生的三角形、特殊平行四边形、圆、抛物线等许多重要知识，加强了学生的数学综合能力，同时也发展培养了学生的数学思维能力。掌握这种数学思想方法，遇到类似动态问题就会透过现象看本质，易如反掌地解决线段和差问题。

作者简介白新慧，女，1973年生，曾获优秀班主任、优秀教师、优秀共产党党员光荣称号。从事数学教学多年，积累了一些经验，发表论文多篇。