完全平方公式在数学运算中的作用

陈佩山

摘要：“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式，在初中阶段的教学中具有重要地位，是进行代数运算与变形的重要知识基础。运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果，不能乱套公式。特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。

关键词：应用；基础公式；简捷；正确理解

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）02-0118

“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式。它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容；它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。在初中阶段的教学中具有重要地位。所以对这个公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握这个公式，从而灵活运用公式。但是，许多学生在学习这个公式后，仍对其来源、形成过程理解不透彻，对其结构形式记忆模糊，并未深刻领悟到公式的本质。

作为整式的乘法公式，北师大版教科书把完全平方公式安排在整式的乘除这一章的第六节，前五节先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再让学生利用多项式乘法法则计算，从而推导完全平方公式，并由找规律得出公式的猜想，再通过几何面积验证方法来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出公式。

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解）。运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果.但运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，不能乱套公式。特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。

在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型（a±b）2=a2±b2错误；（错因：在公式（ab）2=a2b2的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2；③运算结果中符号错误；④变式应用对初学者来说更难于掌握。现结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：

一、概念理解

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式。

公式的结构特征：左边是二项式的完全平方，右边是三项式。如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表，那么右边三项可以记作：首平方，尾平方，首尾2倍乘积写中央；积的符号由二式项系数符号来确定，二项式系数符号同号，则积的符号为正；二项式系数符号异号，则积的符号为负，平方项前面均为正号。在运用完全平方公式（a±b）2= a2±2ab+b2解题时，应注意掌握公式中各项的特征，明确公式中的“两数”的意义。在公式中，字母a，b可以表示一个具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式。

例如：在运用公式（a-b）2= a2-2ab+b2计算（-2b2-5a）2时 “-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”。

二、把握运用公式四步曲

1. “察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用相应乘法法则进行计算。

2. “导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式。

3. “算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。

4. “验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。

三、掌握运用公式常规四变

1. 变符号

例1. 运用完全平方公式计算：

（1）（-2x+5y）2；（2）（-a-b）2；

方法一：把两式分别变形为：

（-2x+5y）2=[-（2x-5y）]2=（2x-5y）2；（-a-b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2再用公式计算。

方法二：把两式分别变形为：

（-2x+5y）2=[5y-2x]2；（-a-b）2=[（-a）-b]2后直接用公式计算。

方法三：把两式分别变形为：

（-2x+5y）2=[（-2x）+5y]2；（-a-b）2=[（-a）+（-b）]2后直接用公式计算。

2. 变项数：

例2. 计算：（a+b+c）2

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，（a+b+c）2可先变形为或[a+（b+c）] 2或[（a+c）+b]2，再进行计算。

3. 变结构

例3. 运用公式计算： （1）（a+b）·（-a-b）；（2）（a-b）·（b-a）。

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了。即（1）（a+b）·（-a-b）=-（a+b）2；（2）（a-b）·（b-a）=-（a-b）2。

4. 简便运算

例4. 计算：（1）9992；（2）100.12

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

即：（1）9992=（1000-1）2；100.12=（100+0.1）2

四、学会公式运用中三拓展

1. 公式的混用

例5. 计算：（x+y+z）（x+y-z）；

分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。

即：（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=……

2. 公式的变形：除了学会按照公式进行直接、简单的套用外，我们可以将公式进行变形，灵活运用，使某些问题求解十分简单、明快。

将公式（a±b）2= a2±2ab+b2变形为： a2+b2=（a+b）2-2ab； a2+b2=（a-b）2+2ab； （a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2-（a-b）2=4ab。熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键。

例6. 已知实数a、b满足（a+b）2=10，ab=1。求下列各式的值：（1）a2+b2； （2）（a-b）2。

分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。

例7. 已知在Rt△ABC中， ∠C= 90°，△ABC的周长为18，CD是斜边AB上的中线，CD=4，求△ABC的面积。

解：设AB=c，AC=b，BC=a。

在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×4=8

则a+b= BC+AC =△ABC的周长 -AB=18-8=10

由勾股定理，得a2 +b2=c2=82=64

∵a2+b2=（a+b）2-2ab∴把已知值代入，可求得ab=36.

∴△ABC的面积=ab/2=18

五、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值

例8. 已知a2+b2=1，a-b=■，求（a+b）4的值。

分析：要求（a+b）4，直接求a，b的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出（a+b）2，结合题目条件a2+b2=1，只需求出ab值。

解：（略）。

公式的逆用：在条件满足的情况下，将完全平方公式反过来进行逆向使用，能使运算简便得多。

例9. 计算（2x+y）2-2（x+y）（2x-3y）+（x-3y）2

分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把（2x+y）看作a，（x-3y）看作b，此算式恰好是完全平方公式的右边三项，可逆用完全平方公式，迅速得出结果。

六、利用完全平方式判断三角形形状

例10. 已知三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请你判断这个三角形是什么三角形。

分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形。结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明。

解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0两边同时乘以2，整理可得

（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0

所以（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

因为（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，所以（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0，所以 a=b，a=c，b=c即a=b=c。

所以这个三角形是等边三角形。

七、完全平方公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到

（a+b+c）2=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍。

例11. 计算（x+2y-z）2

解：原式=x2+（2y）2+（-z）2+2·x·2y+2·x（-z）+2·2y（-z）

=x2+4y2+z2+4xy-2xz-2yz

总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练习，适时积累典例，定能收到良好的效果。

（作者单位：甘肃省靖远县刘川中学 730604）