广义KP-BBM方程的相似、约化、精确解及守恒律

刘 勇，刘希强



广义KP-BBM方程的相似、约化、精确解及守恒律

*刘 勇，刘希强

(聊城大学数学科学学院，山东，聊城 252059)

利用经典李群方法对(2+1)维GKP-BBM方程对称和约化，借助三个辅助方程得到了许多的精确解，并且给出GKP-BBM方程的守恒定律。

李群方法；gkp-bbm方程；精确解；对称约化；守恒律

1 研究前沿

随着科学技术的发展，人们越来越关注于非线性科学。寻找非线性发展方程的精确解已成为一个重要的课题。因此一些有效的方法被提出，试图寻找解决方案的非线发展方程，如扩展的tanh函数展开法[1]，F-函数展开法[2]，指数函数展开法方法[3]，Jacobi椭圆函数展开法[4]，齐次平衡方法[5]，经典和非经典李群方法[6-8]，双曲函数法[9]等。其中的经典李群方法是一种有效的方法。

Wazwaz[10-11]研究 Kadomtsov-Petviashvili- Benjamin-BonaMahony (KP-BBM) 方程

和广义KP-BBM方程

这里，和都是任意常系数。在文献[10-11]中，作者利用sine-cosine法和扩展的tanh法得到方程(1)的一些孤立子解和周期解。Abdou[12]在2008年得到了方程(1)的一些周期解、孤波解和三角函数解。此外，宋明[13]利用分叉法获得了方程(2)的一些平滑周期波形解和周期冲击波解。

方程(2) 转化为：

本文利用经典李群方法研究方程(3)。利用经典李群方法是寻找方程(3)对称，并借助对称得到方程(3)的一些相似约化和精确解，包括双曲函数解，三角函数解，有理函数周期解，椭圆函数解等。

本文构成如下: 第二部分，利用严拓的方法得到方程(3)的李典对称群。第三部分，得到方程(3)的相似约化和精确解。第四部分，给出方程(3)的无穷维守恒定律。在第五部分，得到了相关的结论。

2 GKP-BBM方程的经典对称

首先，考虑一个单参数李群的无穷小变换:

求解此超定方程组可得：

同时，也得到上述对称的生成元：

由(10)可得

其算子关系见表1。由表1可知，方程(3)满足一个四维李代数。

表1 李括号运算结果

若选取文献[13]中，方程(3)的周期冲击波解：

由此可知，将文献[13]中得到的GKP-BBM方程的解进行推广，继而得到大量的新精确解。

3 GKP-BBM方程的约化和精确解

为了求出方程(3)的相似约化和精确解，根据对称(9)式可得到下述对应的特征方程组：

考虑以下四种情况：

(15)

以下考虑情况(a)、(b)、(c)得到方程(3)的精确解。

设方程(21)有如下形式的解：

方程（22）转化为：

类似情况 1, 设方程(25)有如下解的形式：

(26)

将(26)式和(27)式代入到(25)式, 可以得到如下结果：

由此, 可以获得如下情况的解：

情况2.1 当方程(3)有七组双曲函数解：

为了得到方程(16)更多的解，以下利用辅助方程[17]求解，

将(26)式和(29) 式代入到(25)式中, 可以得到如下结果：

由此得如下解：

情况 3显然, 方程(18) 具有如下形式的解：

此时方程(3)有一组解

此外, 若设(18) 式有如下形式的解：

利用(18)式和(30)式, 此时方程(3)有一组解：

情况 4 类似情况 2。这里省略。

4 GKP-BBM 方程守恒律

为了得到GKP-BBM方程的守恒律，以下介绍所需的符号和定理。

定义1 方程(33)的共轭方程可以定义为如下形式[18-20]：

其中

定理1 由方程(33)和它的共轭方程(34)构成的系统[18-20]

有一个Lagrangian，即：

下面介绍由Ibragimov在参考文献[20]中提出的“新的守恒定理”

其中是李特征元素且满足

以下利用方程GKP-BBM的对称和共轭方程来研究其守恒律。方程(3)的共轭方程形式如下：

和对称形式下的Lagrangian

利用定理1, 守恒向量对应的算子如下

由以上过程可求得算子：

利用这个算子进而得到：

方程(3)的守恒律如下：

5 结论

本文利用经典李群法，得到了GKP-BBM方程的对称，李代数，相似约化。通过求解约化方程得到了GKP-BBM方程大量的精确解，这些精确解在数学物理中有着重要的作用。最后给出了GKP-BBM方程的守恒律。本文的行文过程也有力的说明了李群方法是一个非常有用的方法，值得进一步深入研究。

图1 当h2=1,h4=-1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,uc.1为钟状解

图2 当h2=1,h4=-1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,ud.1为扭结解

图3 当h2=h4=c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,ue.1为奇异解

图4 当h2=-1,h4=1,c1=c2=c3=a=h0=b=k=1,t=0,uf.1为三角周期解

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SYMMETRY REDUCTIONS, EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS OF THE GENERALIZED KADOMTSOV- PETVIASHVILI- BENJAMIN-BONAMAHONY EQUATION

*LIU Yong, LIU Xi-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based on the classical Lie group method, we find the classical symmetry and reductions of (2+1)-dimensional GKP-BBM equation.Some new solutions of the solutions should be derived by applying three auxiliary equations. Furthermore, we give the conservation laws of theGKP-BBM equation.

Lie group method; GKP-BBM equation; exact solutions; symmetry reduction; conservation laws

1674-8085(2014)01-0001-07

O175.2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.01.001

2013-09-23；

2013-12-05

国家自然科学基金委员会-中国工程物理研究院联合基金项目(11076015)

*刘 勇(1982-)，男，山东枣庄人，硕士生，主要从事非线性发展方程求解研究(E-mail: liuyong0616@163.com);

刘希强(1957-)，男，山东菏泽人，教授，博士，主要从事非线性发展方程系统研究(E-mail:liuxq@sina.com).