常数项级数的基本概念的教学案例

张春英

(天津城建大学 理学院，天津 300384)

常数项级数的基本概念的教学案例

张春英

(天津城建大学 理学院，天津 300384)

为了提高知识的价值性，针对常数项级数的基本概念的教学进行了以下尝试：由生活实例引入基本概念，重点阐述概念背后的思想；结合历史典故和数值计算，介绍级数中的重要结论，渗透数学建模的思想和过程；通过错解分析，让学生自己感悟级数计算中的注意事项．

知识的价值性；常数项级数；引例；数学思想

级数是高等数学课程教学过程中的一个重点，也是一个难点．对常数项级数基本概念的正确理解是学习和应用级数的重要理论基础．无穷级数收敛、发散、求和是常数项级数中最基本、最重要的概念．等比级数和调和级数是在各个领域应用都很普遍的两类级数，也是判断级数敛散性的重要基础．笔者对级数的敛散性、级数的和的概念以及等比级数和调和级数的教学进行了一些新的尝试．

1 教学背景

在以往的教学中经常出现以下问题：一是由于教材[1]中级数部分的内容与实际生活联系较少，导致学生感觉这部分内容枯燥、无用，缺乏学习兴趣和动力；二是由于级数的相关概念在形式上比较复杂，导致学生理解困难，经常在应用中将级数的求和运算与有限个实数的求和运算混淆．

有调查显示[2]，当下大学生获取知识最依赖的仍是“教师的课堂讲授”．在影响教师授课效果的25个因子中，“教师授课能让学生学到有价值的知识和技能”对高校教师理论课教学效果的影响最大[3]．

学生对教师所传授知识的价值认知，不仅与学生自身的价值判断能力有关，而且与知识本身的内容和教师的教学方法有很大关系．这就要求教师在教学实践中，应注重提高知识的价值性，引导学生对知识价值性的认知，从而提高教学效果．

引例是指能够启发、引导学生比较顺利地进入数学课题的前沿阵地或核心领域所采用的例题或实例．及时合适的引例讲解，往往能使学生掌握并形成正确的数学思想和方法．文献[4-5]分别由芝诺悖论、圆的面积、截丈问题引入级数的基本概念，但这些引例距离学生的现实生活较远，不能充分调动学生的学习积极性．

2 教学目标

通过课堂教学，应使学生达到以下目标：①掌握常数项级数的基本概念，领会级数的本质思想；②会用级数收敛与发散的定义判定简单级数的敛散性；③了解级数运算与有限个实数求和运算法则的不同；④了解利用级数知识解决实际问题的一般过程，提高应用数学知识的意识．

3 教学设计

(1)由生活实例引入级数及和的概念，通过学生对例题的感性认识，加深他们对级数概念本质思想的理解；

(2)介绍级数收敛与发散以及级数的和的定义；

(3)由庄子的“截丈问题”引入等比级数的概念，并给出其敛散性的结论；

(4)结合数值计算，判定调和级数的敛散性，并简要介绍欧拉常数的概念及应用，渗透数学建模的思想和过程；

(5)通过对级数1− 1+ 1− 1+…+(−1)n−1+…的错解分析，强化学生利用级数定义判定级数敛散性的过程，领会级数求和与有限个实数求和运算法则的区别；

(6)总结教学要点．

4 教学过程

4.1 引例

例1：某人耳朵感染，每4,h服用一次氨卡西林，每次服用200,mg．在一个4,h的区间内，人体在该区间的末期将存留开始时人体所含该药量的12%．请问在如下的情形时，人体中该药物的含量为多少：①刚刚服下第3剂药时；②刚刚服下第6剂药时；③如果此人长期服用该药，求他刚刚服下一剂药时和即将服用下一剂药时．

解：设Qn表示刚刚服下第n剂药时人体中氨卡西林的含量(以mg为单位)，则

此为首项a=200、公比q=0.12的等比数列的前n项的和，因此

③如果长期服用该药，则刚刚服下一剂药时，人体中氨卡西林的含量为

此为等比数列中所有项的和，即为无穷多个数的和．根据极限理论，它的和可以看作是等比数列中前n项和Qn在n→∞时的极限值，即

长期服用该药，则即将服用下一剂药时，人体中氨卡西林的含量*Q仅仅比刚服下一剂药后的含量Q低一剂药的量，因此

由此可以看出，定期给一个病人服用某一剂量的某药物，由于新陈代谢的作用，总有一些药物被排出．因此，人体中的该药物的含量将趋于一个稳态．在稳态时，人体中该药物的含量将在最大值(刚服下一剂药后，达到其最大值)和最小值(在即将服用下一剂药前，达到其最小值)之间波动．

比较Q6与Q可以看出，二者的值非常接近，即从实践角度而言，人体在服用6剂药后所含药物含量与长期服用该药后所含药物含量基本没有差异．图1为刚刚服下第n剂药时人体中所含药物含量Qn的变化趋势．

图1 Qn的变化趋势

从求解Q的过程可以看出，在稳态时人体中该药物含量的最大值实际上是无限多个数的和，而且这无限多个数的和是一个有限数．这个和可以通过求这些数的前n项的和在n→∞时的极限来获得．

4.2 定义

从例1中可以抽象出级数的基本概念．

定义1：给定无穷可列个数u1, u2,…,un,…,称它们的和u1+u2+…+un+…为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为，其中第n项un叫做级数的一般项，级数的前n项的和sn=u1+u2+…+un称为级数的部分和．

若数列{sn}收敛于有限数s，即，则称级数收敛，且称它的和为s，记为；若数列{sn}发散，则称级数发散．

由上述定义可知，只有当级数收敛时，无穷多个实数的加法才有意义，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限．

例1中第③部分所求人体在长期服药的情况下，刚刚服下一剂药时的药物含量Q实际上是级数的和，其部分和由于，即部分和数列收敛．由级数的相关定义知，该级数收敛，其和为227.272 7.

4.3 等比级数及其敛散性

例2：春秋战国时期的哲学家庄子在《庄子·天下篇》中有一段名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”即1尺之棰，第一次取其长度的一半，以后每次取前面剩余长度的一半，是取之不尽的．请问，每次取下的长度之和是多少．

4.4 调和级数及其敛散性

表1 调和级数部分和sn的数值计算

由表1可以看出，随着n的不断增大，sn虽然增长缓慢，但看不出它无限接近于任何一个有限数的趋势，猜想该级数可能是发散的．下面用反证法加以证明．

证明：假设调和级数是收敛的，且它的部分和sn收敛于s，则

但另一方面，由于对一切n有

事实上，调和级数是已知发散最慢的无穷级数，它的前1亿项的和约为21，前1万亿项的和约为28.可以证明，调和级数的部分和sn与lnn趋向于+∞的速度只差一个常数，即γ就是欧拉常数，γ≈0.577 216，目前没有公认的结果判定该数是否为无理数[7]．在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限、某些收敛数项级数的和等[8]．

由例3可以看出，级数的一般项un→0时，级数不一定收敛．

4.5 错解分析

例4：关于级数1− 1+ 1− 1+…+(−1)n−1+…的下列解法是否正确：①解法1，原式=(1− 1)+(1− 1)+…= 0；② 解法2，原式=1+(−1+ 1)+(−1+ 1)+…=1.

解：根据级数敛散性的定义，需要求部分和的极限．该级数的部分和与它所含的求和项数有关．前偶数项的和s2n=0，前奇数项的和s2n+1=1，由于{sn}的两个子列收敛于两个不同的值，因此部分和数列{sn}的极限不存在，即原级数发散，1− 1+ 1− 1+…+ (−1)n−1+…只是一个表达式，没有实际意义．解法1和解法2都是错误的．

错误分析：解法1和解法2实际上是对级数使用了结合律．由本题可以看出，对有限个数相加时的一些运算法则，如加法的交换律、结合律等，对级数求和不一定适用．

4.6 教学要点

(1)级数实际上就是无限可列个数的和，它的敛散性是由它的部分和数列的敛散性决定的．当级数收敛时，其和是一个有限数；当级数发散时，它只是一个表达式，没有任何意义．级数求和与有限个数的求和运算法则不同，如加法结合律对级数不一定适用．

(2)判断一个级数的敛散性是级数部分的重要内容，除了利用定义判定敛散性之外，还有很多非常好用的判定方法，这是后续章节的主要内容，且在运用这些判定方法时，要用到调和级数和等比级数的相关结论，因此要求学生要熟练掌握这两类级数的相关知识．

5 结 语

由于在常数项级数的基本概念的教学中，所用例题比较贴近学生的实际生活，所以更容易激发学生的学习兴趣，增强学生对概念内涵的理解；此外，在教学过程中融入了数学建模思想和数值计算等内容，可以拓宽学生的视野，增强他们用数学知识解决实际问题的意识和能力．教师在教学中还可以要求学生利用课余时间搜集、整理级数的有关案例，这样既可以锻炼学生自主学习的能力，又可以丰富教师今后的教学案例．

［1］ 同济大学数学系. 高等数学：下册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2008.

［2］ 彭美云. 大学本科课堂教学中的几个共性问题——基于13所高校问卷调查的统计与分析[J]. 高等工程教育研究，2014(2)：162-166.

［3］ 廖 明，姜 峰，朱 蕾，等. 提高教师课堂教学效果的策略研究——基于学生教学质量观视角[J]. 教师教育研究，2012，24(6)：61-65.

［4］ 贺妤函，张龙滨. 关于数项级数及其敛散性概念的教学方式[J]. 萍乡高等专科学校学报，2007(6)：5-8.

［5］ 周秀琴，霍曙明，赵玉亮. 高等数学“问题-情境教学法”教学实践——“常数项级数的概念和性质”教学案例[J]. 科技信息，2010(14)：137-138.

［6］ 骆 桦，孙培梁，范友芳. 关于调和级数与Euler常数的数学实验[J]. 浙江工程学院学报，2003，20(2)：116-118.

［7］ 罗 永. 调和级数案例教学[J]. 湘南学院学报，2014，35(2)：64-67.

［8］ 丁秀梅，王晓平. 欧拉常数γ及简单应用[J]. 江苏广播电视大学学报，2003，14(3)：43-45.

（编辑校对：胡玲玲）

Teaching Case of the Basic Concepts about Series of Constant Terms

ZHANG Chun-ying
(School of Science，Tianjin Chengjian University，Tianjin 300384，China)

In order to improve the value of knowledge，an attempt has been made in the teaching of the basic concepts about series of constant terms. It mainly includes the following contents：focusing on expounding the thought behind concept by using lead-in examples in real life；introducing the important conclusions in series and penetrating the idea and the process of mathematical modeling based on historical allusions and numerical computation；enabling students to comprehend points for attention in series calculation through the wrong solution analysis.

the value of knowledge；series of constant terms；lead-in example；mathematical thought

O173

A

2095-719X(2014)05-0376-05

2014-07-10；

2014-11-06

张春英（1977—），女，天津人，天津城建大学讲师，硕士．