基于马尔科夫链模型的中国3D电影票房研究

晋斌，张辉

(中国传媒大学理工学部，北京 100024)

1 引言

在当今社会，电影不仅是一门艺术形式，更是超越艺术而覆盖了居民生活，通过这种艺术形式影响人们的生活。特别是，3D电影《阿凡达》更是将我国电影产业推向了一个新的高峰。《阿凡达》的盈利使得影院急剧转换和3D银幕数快速增加。同时，投资商迅速加入到3D电影的行业中。在电影总银幕数量的增长比较平缓的情况下，我国的3D电影银幕数从2007年的82块，发展到2012年的9639块，2013年上半年达到了11854块，其中2009年较2008年上涨幅度最高，达到438%，从原来的130块增长到700块;其次为2010年，增长幅度达到189%，增长了将近1300多块银幕。而近两年虽然增长速度放缓，但是每年增加的银幕数却在逐年递增。

自2008年以来，3D 电影票房占电影总票房的比重也在一路飙升，2005年的占比为1.05%，2012年占比为40%，可以看出3D电影票房已经接近于2D电影票房收入。虽然3D电影的票价要比一般普通电影的票价高出一倍之多，但是中国电影消费者对3D电影的追求依然是狂热的。

尽管3D电影票房收入很高，但事实上大多数3D电影并没有获得收益，甚至连成本都未收回。例如，2011年3月上映的迪斯尼公司出品的3D电影《火星救母记》斥资1.9亿美元，而全球票房却只有3860万美元，损失十分惨烈。再比如，在2008－2012年期间，中国电影业制作了18部3D电影，投资成本范围:1600万－3.5亿。票房收入范围:300万—6亿;在18部3D电影中，只有3部3D电影票房收入大于投资成本。

这些案例说明，投资商和发行商在拍摄之前或者放映之前，应该考虑如何在进行票房的预测。特别是，我国在引入国外3D电影时，也应该在放映之前进行票房预测，如果进口3D电影不符合中国观众的胃口，我们就可以谨慎引进，从而减少损失。因为观众是构成电影市场的主体之一，它直接影响着市场走势。

本文针对3D电影观众的行为进行研究，通过建立数学模型，进行票房模拟，最终做出预测。

2 研究方法

本文基于Eliashberg(2000)的研究方法，将电影观众的行为状态分为六种:未决定观看、决定观看、拒绝观看、积极的传播者、消极的传播者和不作为者。具体传播影响如下图:

图

销售商一般是通过各种方式的宣传来吸引观众的，并且用某种方式使消费者接受电影的主题。这样宣传的结果是:一部分人很感兴趣决定去观看，另一部分人不感兴趣决定不去观看，还有一部分人由于一些外在的因素，不能确定是否去观看，这其中也包括决定去观看而又因为忘记时间未观看的人。

决定观看电影的人看过电影之后，主要通过对电影的质量和影院的硬件设施来评判电影的好坏，就产生了积极传播者和消极传播者，积极传播者会产生积极的影响，而消极传播者会产生相反的效果，他们的影评是后期消费者是否决定观看的重要依据。两种传播者中还有一部分是不管电影好与坏都不会主动去评价这部电影，他们就是不作为者，不会给电影的口碑带来任何影响。

本文的3D电影票房预测模型包括两部分:交互式马尔科夫链模型和线性回归模型。

2.1 马尔科夫链模型

马尔可夫链是具有马尔可夫性质的离散时间的随机过程，主要是指:在给定当前信息的情况下，过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的。其中，时间和状态都是离散的。马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的所有可能取值的集合称为“状态空间”，而Xn是指在时间n的状态。如果对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则

其中，x为该随机过程中的某个状态.

马尔可夫链满足下面两个假设:

第一 t+1时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关;

第二 从t时刻到t+1时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元素的含义如下:

(1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i，j(或 Si，Sj)等来表示状态。

(3)Q=［q1，q2…qn］是系统的初始概率分布，qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足

2.2 交互式马尔科夫链模型

交互式马尔科夫链描述了电影消费者在不同的状态之间的转变。在交互式模型中，每个个体状态改变的概率可以依赖于其他个体在不同状态之间的分布。

在本文中，Qt+1是t+1时刻的人口频数向量，它只与t时刻的人口频数向量有关，和其他历史时间点的人口频数无关，即 Qt+1=PtQt，其中，Qi=［qit］是t时刻的6×1人口频数向量;Pt=［pijt］是 t时刻6×6的状态转移概率矩阵。

交互式马尔科夫链模型中人口频数向量表示为:Qt+1=P［Qt］Qt，其中，P［Qt］可以根据不同情况采取不同形式。

2.3 行为状态转移矩阵计算

本文的电影消费者行为状态转移矩阵是基于Conlinsk(1976年)提出了一种方法，可以计算出每一个元素在t时刻，从状态i到状态j的概率pijt。

具体方法如下:

(1)一个未决定的消费者在时间［t，t+1］内至少一次接触积极口头传播的概率为:

(2)一个未决定的消费者在时间［t，t+1］内至少一次接触消极口头传播的概率为:

基于上述情况，本章假定接触不同的信息源之间是相互独立的。

下面写出电影消费者两个状态之间的转移概率矩阵:例如，未决定者→未决定者

按照上述等式，可以写出任何两种行为状态之间的转移概率。其中，Pr(A)t广告曝光概率，βA在接触到电影广告之后，受访者有意愿去看电影的比例;βW+在接触到积极传播之后，受访者有意愿去看电影的比例;βW－在接触到消极传播之后，受访者拒绝看电影的比例

2.4 观看率Xt的计算

观看率指受访者中实际观看比例，它是随着时间推移的，可以通过一阶回归分析获得。观看率的回归表达式如下:

上述表达式包含:第一积极的口头传播人数的比例;第二 主题接受、广告曝光概率、广告影响、对电影满意的概率;第三考虑实际观看的人数占决定去看人数的比例。

其中，PT为电影主题的可接受性，σ为实际观看占决定观看比例，γt为相关延迟参数，Ut为t时间内未决定者的人数，Wt为t时间内决定者的人数。

2.5 线性回归模型的计算

建立一元线性回归模型:

其中，Yi是电影i内地电影总票房;Xi是样本中看电影的人数比例;ei是随机干扰项，i是电影的数量。

3 研究结论

本文利用交互式马尔科夫链模型和一元线性回归模型，针对国产3D电影《画皮2》进行了票房预测。具体结论如下:

3.1 模型参数计算结果

根据典型调查问卷数据，计算出《画皮2》的电影参数和电影消费者行为参数。得到参数列表如下:

表1 模型行为参数与电影参数

3.2 电影消费者行为状态转移矩阵

根据调查问卷数据，利用3D电影模型，求得电影消费者行为状态的转移矩阵。见表2。

按照上述公式，求得3D电影《画皮2》在前四周的观看率，它们分别是第一周:0.109637;第二周:0.193766;第三周:0.255796;第四周:0.306902。这意味着，预测时刻第一周、第二周、第三周、第四周的受访者中实际到影院观看比例分别为10.9637%，19.3766%，25.5796%，30.6902%

3.3 预测电影消费者在各状态的人数比例

下边是根据模型计算出来的各种状态受访者在发布前、第一周、第二周、第三周以及第四周的人数比例。

表2 电影消费者行为状态转移矩阵

表3 预测受访者各状态人数比例

从表3可以看出预测前四周决定去影院看这部电影的比例分别是 27%，36.2%，32.5%，30.7%，可以看出预测效果还是不错的，尤其是第四周预测最准确。

3.4 3D电影《画皮2》票房预测

随机选取32个已知票房的3D电影，让受访者从中挑出自己曾到影院看过的3D电影;然后，利用受访者看过每部电影的样本比例和对应电影的全国票房之间建立回归模型，进行票房预测。回归模型如下

其中，Yi是电影i内地电影总票房;Xi是样本中观看电影的人数比例;ei是随机干扰项，i=1，2，……，32是电影的数目

根据问卷调查所得到的比例数据以及对应电影的票房数据，代入3D电影模型，建立如下回归方程

回归拟合结果较好，拟合优度R2=0.742，T检验值达到了8.969远大于95%置信区间下的临界值1.697，通过 T检验。

将前四周电影消费者的观看率，0.109637，0.193766，0.255796 和 0.306902 代入上述公式拟合出每周电影累计票房Y值。3D电影《画皮2》的国内总票房为分别为2.405970882亿元，4.373411676亿元，5.824045256 亿元，7.019210172 亿元，而实际周票房统计数据显示为:2.982亿元，5.2665亿元，6.2885亿元，6.8625亿元。对比第四周票房数据，可以知道，累计到第四周，3D电影《画皮2》预测票房与实际票房相差2.23%，预测结果良好。

表4 3D电影《画皮2》前四周预测票房与实际票房 单位:亿元

［1］Eliashberg，Jonker，Sawhney，Wierenga.moviemod:An implementable decision－support system for prerelease market evaluation of motion pictures［J］.Marketing Science.2000，19(3):226 －243.

［2］Sawhney，Mohanbir S，Eliashberg J.A parsimonious model for forecasting gross box office revenues of motion pictures［J］.Marketing Science.1996，15(2):113－131.

［3］Zufryden F S.New film website promotion and Box－Office performance［J］.Journal of Advertising Research，2000，1:55 －64.

［4］Conlinsk John.Interactive Markov Chains［J］.Journal of Mathematical Sociology，1976，4，157 －185.

［5］Conlinsk John .A Stability Theorem for an Interactive Markov Chain［J］.Journal of Mathematical Sociology，1978，6，163 －168.

［6］郭燕婷、张辉.基于数学模型的我国3D电影观众选择因素研究［J］.中国传媒大学学报(自然科学报)，2010，(4).

［7］夏丹.我国3D电影投资可行性的实证研究［J］.现代传播，2012，(4).

［8］夏丹.我国3D电影票房预测实证研究［J］.北京电影学院学报，2013，(4).

［9］张辉，付广军，杨茜.基于多元统计分析的我国电影消费者群体特征研究［J］.经济与管理评论，2012，(6).