矩形张拉膜结构的应变分析

（重庆水利电力职业技术学院，重庆402160）

矩形张拉膜结构的应变分析

郭建军

（重庆水利电力职业技术学院，重庆402160）

该文利用弹性力学理论推导了滑动边界条件下的各向同性膜材在预张力作用下的应变计算公式，并计算了PVDF薄膜和ETFE薄膜在各级预张力作用下的纵向应变和横向应变，为张拉膜结构的设计、施工和维护提供了理论依据。

膜结构；滑动边界；各向同性；应变分析；经向；纬向；预张力

0　引言

膜结构是一种完全不同于钢筋混凝土结构、钢结构等传统结构的新型建筑结构，在这种结构体系中,膜既是围护结构又是受力结构[1]。膜结构以其良好的自洁性、隔热性以及高强耐久、造型新颖和自重轻等优点广泛应用于各类休闲小品、轻型大跨度无柱空间或轻型屋盖建筑结构[2]。以薄膜为主要材料的膜结构得到了很大的发展，在很大程度上取决于薄膜材料技术的进步。用于膜结构的薄膜材料可分为织物类膜材和非织物类膜材两大类。其中织物类膜材常用的有PVC涂层覆盖聚酯纤维织物（以下简称PVC膜材）以及PTFE涂层覆盖玻璃纤维织物（以下简称PTFE膜材）。在非织物类膜材中,以ETFE薄膜最具代表性和竞争性。国内有名的ETFE膜材工程是北京奥运会的“鸟巢”和水立方[3-5]。由于张拉膜结构是一种张力结构,只有在一定的张力作用下它才有一定的形状和刚度,因而膜结构建筑表现了力的平衡美,是一种受力最为合理的结构形式。采用轻质膜材,同时辅以柔性拉索、轻型钢桁架的结构形式,可以很好地达到大跨度、覆盖大空间的目的[2，6，7]。

但是膜材在张力作用下会发生变形，导致膜面松弛，失去初始张拉平衡体系；膜材表面涂层产生裂纹，膜面防水性能降低；膜面厚度减小，透光率和隔热性能发生改变等。目前国内外没有相关文献专门研究膜材在张拉力作用下的应变，本文取张拉膜结构单元为研究对象，利用弹性力学理论，推导出了膜面的应变公式；并举例对比了织物膜材和非织物膜材在张拉力作用下厚度变化的小。

1　薄膜应变公式

根据《膜结构技术规程》4.1.2条和5.2.3条[7]可得出，在膜结构的设计和施工过程中，膜材膜面的预张力都在膜材弹性变形范围内。而实际工程中，由于膜结构预张力测量的不规范，很多膜结构的实际预张力没有达到规定的取值范围；所以可以在膜材弹性变形范围内考虑其应力和应变的关系。

为了更好地运用弹性力学公式求解该问题，首先做如下假定：（1）施加的张拉应力在膜材的弹性极限范围内，即假定膜材发生完全弹性变形；（2）膜材在经向和纬向是均匀的，即假定膜材的弹性常数不随经向或纬向的位置坐标而变[8]。张拉膜结构的膜材厚度很薄，只在膜边受平行于膜面并且不沿厚度变化的面力，所以按平面应力问题进行分析计算。由于膜材很轻，可以忽略重力，膜材是静止的，也没有惯性力，所以膜材的体力为零。建立如图1所示的坐标系。

图1　滑动边界条件的矩形薄膜

在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可以得出膜材的形变分量和应力的关系如下：

式中E是弹性模量（若膜材是正交异性，那么Ex和Ey分别表示两个正交方向的弹性模量）;μ是泊松比（若膜材是正交异性，那么μx和μy分别表示两个正交方向的泊松比）。

在平面应力问题中，σz=0，所以（1）简化为：

为此需要求出薄膜的应力分量σx和σy的分布情况，即求出应力分布，根据弹性力学理论在体力为零的情况下，应力分量σx、σy和τxy应满足平衡微分方程：

以及相容方程：

并在边界上满足应力边界条件。

平衡微分方程（3）是一个齐次线性方程组，它的通解为：

其中Φ是根据（3）式而假定的一个应力函数。

将（5）式中的应力分量σx和σy的表达式代入（4）可得

需要求解一个合适的应力函数Φ，然后求出应力分量σx、σy和τxy，并且这些应力分量必须满足应力边界条件；设Φ=Ax2+ Bxy+Cy2，其中A、B、C是待定常数。则根据（5）式可得：

在给定张拉力情况下，可得出膜材全部边界上的面力：

由于图1所建坐标系满足膜材的经向和纬向的边界分别与x和y坐标轴垂直（注意应力边界值与对应面力分量的正负，当边界的外法线沿坐标轴正方向时，两者的正负号相同；当边界的外法线沿坐标轴负方向时，两者的正负号相反），则可简化得出，在经向边界面上，张拉边界应力为：

将（7）式代入（9）～（11）式，并注意有τxy=τyx，可得：

即在边界面力相等的情况下，将（13）式代入（7）式得出应力分量：

将（15）式代入（2）式可得：

2　ETFE膜结构算例分析

某ETFE薄膜的弹性模量E=650MPa，泊松比μ=0.42，厚度h=0.3mm，取矩形的边长为a=2m、b=1m；张拉力Noy=2Nox。根据公式（16）计算出在不同的预张力下Nox下薄膜的应变,见表1。

表1　ETFE薄膜在张拉力作用下的应变（张拉力单位(kN/m)）

为了分析ETFE薄膜在张拉下的应变，用传统的PVDF薄膜星益达膜材与之比较分析。星益达膜材的参数如下：经向弹性模量Ex=1520.8MPa，经向泊松比μx=0.4，纬向弹性模量Ex= 1292.9MPa，纬向泊松比μ=0.39，厚度h=0.83mm，取矩形的边长为a=2m、b=1m；张拉力Noy=2Nox。

由于（16）式适用于各向同性膜材，而星益达是正交异性的编制膜材，所以分别假定以下两种情况：取弹性模量E1=Ex= 1520.8MPa，泊松比μ1=μx=0.4，按各向同性弹性材料求其应变；取弹性模量E2=Ex=1292.9MPa，泊松比μ2=μx=0.39，按各向同性弹性材料求其应变。计算结果见图2～图5。

图2　ETFE膜材和星益达膜材Z向应变与张力的关系图

图3　ETFE膜材和星益达膜材X向应变与张力的关系图

图4　ETFE膜材和星益达膜材Z向变形与张力的关系图

图5　ETFE膜材和星益达膜材X向变形与张力的关系图

根据图2可以看出，在相同预张力的作用下，ETFE膜材的Z向厚度变化量明显大于星益达膜材的Z向厚度变化量,ETFE膜材的最大厚度减少量可以达到原厚度的4%，约为星益达膜材最大厚度减少量的10倍。同样可以由图3得出，在同等张拉力作用下，ETFE膜材的X向纵向伸长量明显大于星益达膜材的X向纵向伸长量,ETFE膜材的最大纵向伸长量可以达到原长度的3%，约为星益达膜材最大纵向伸长量的6倍。在图4和图5中，将膜材的厚度和边长分别考虑进去，更加直观地看到，相对于星益达膜材，ETFE膜材的厚度减少量和纵向伸长量随预张力的增加而增加的量要大得多，所以可以看出ETFE膜材对预张力更加敏感。

3　结论

本文推导了滑动边界条件下的各向同性膜材在预张力作用下的应变计算公式，并计算了星益达（PVDF）和ETFE薄膜在各级预张力作用下的厚度和纵向伸长量的变化量，可以看出ETFE膜材相对于传统的正交异性的编织膜材，对预张力更加敏感，所以在膜结构的设计过程中要充分考虑不同膜材的设计原则应有所区别，ETFE膜材本身就比传统的编织膜材更薄，透光率更大；在张拉膜结构中，其厚度的减少量可以达到0.04h，这将影响到膜结构的松弛、防水性能、透光率和隔热效果等。

[1]戈晓玲，郑宏.空间膜结构及其材料[J].工业建筑，2004（增刊）:463-468.

[2]刘雍，马敬安.纺织膜结构材料及其发展趋势综述[J].天津纺织科技，2006（1）:2-8.

[3]商欣萍，储才元.建筑用膜结构材料[J].产业用纺织品，2001，19（133）:12-15.

[4]陈处鑫，钱若军.ETFE薄膜的材料性能及其工程应用综述[J].钢结构，2003，18（6）:1-4.

[5]沈世钊.膜结构——发展迅速的新型空间结构[J].哈尔滨建筑大学学报，1999，32（2）:11-15.

[6]张艳红，丁新中.膜结构——建筑艺术与技术科学的完美结合[J].西部探矿工程，2003（11）:122-124.

[7]CECS158:2004膜结构技术规程[S].北京：中国计划出版社，2004:4-16.

[8]徐芝纶.弹性力学：上册[M].北京：高等教育出版社，2006:21-34.

责任编辑：孙苏，李红

Strain Analysis of Rectangular Tensioned Membrane Structure

The elasticity theory is used to derive the formula of tensioned isotropic membrane under the slip boundary condition.And the longitudinal and transverse strains of the PVDF membrane and ETFE membrane in the pre-tension levels are calculated.It provides a theoretical basis for the design, construction and maintenance of the tensioned membrane structure.

membrane structure;slip boundary condition;isotropic;strain analysis

TU311

A

1671-9107（2014）07-0052-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2014.07.052

2014-02-24

郭建军（1986-），男，四川南充人，研究生，讲师，主要从事力学、建筑科学与工程学研究。