分析物理试题中的数学味道

李虎

众所周知，数学是物理学习的工具。没有数学能力做支撑，物理的学习就像无本之木、无源之水，物理的深入学习将十分有限。应用数学知识解决物理问题的能力是学生必须掌握的能力之一，也是高考考试说明中要求的五种能力之一。而应用数学知识解决物理问题的能力是一个系统的工程，绝非一朝一夕能养成。而在高三复习中，挖掘高考试题中的数学元素，却不失为一种有效的训练手段。本文从五道物理试题数学元素的分析，提取了“不等式的性质系、幂的性质、对数的性质、解析几何、均值不等式、平面几何圆的知识及函数思想”等数学知识在解决物理问题中的应用，充分彰显了数学的工具功能。

一、不等式的性质在物理判断题中的应用

【例1】（2013·广东卷，20，双选）如图1，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则：（ ）

A. P向下滑动

B. P静止不动

C. P所受的合外力增大

D. P与斜面间的静摩擦力增大

分析：此题以共点力的平衡为载体考察了动摩擦因数和斜面倾角的关系对物体运动状态的判断。物体静止于固定的斜面上，则mgsin=f≤fm=mgcos。现把物体Q轻轻地叠放在P上，斜劈是仍然保持静止，还是会沿斜面加速下滑？取决于重力沿斜面向下的分力（m+m′）gsin与最大静摩擦力fm=（m+m′）gcos大小关系。现推导如下：

如果学生平时没有形成如下结论：将物体由静止放置在倾角为的斜面上，若≥tan，物体将静止在斜面上；若

答案：BD

二、幂的性质、对数的性质与物理规律的图像表述

【例2】（2010·课标全国，20，6分）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象.图中坐标系的横轴是lg（T/T0），纵轴是lg（R/R0）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是（ ）

分析：由开普勒第三定律，得=；变形，得=；由幂的性质，得（）=（）两边取对数，得lg（）= lg（）；由对数的性质，得3lg（）=21g（），最终得到 lg（）=lg（）为正比例函数图像，比例系数为，故B答案正确。考生从开普勒第三定律到推导出lg（）与1g（）的函数关系lg（）=1g（），除了要具备一定的直觉思维外，还要具备熟练的数学技能如幂的性质、对数的性质，才能快速作答。而这靠考场上临场发挥是很难做到的，需要平时有意识的训练。

三、均值不等式与解析几何抛物线的知识

【例3】（2012·大纲全国卷，26）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图3所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。

（1）求此人落到坡面时的动能；

（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

分析：设该运动员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的坐标为（x，y）依题意，得y=x2 ①

由平抛运动的规律，得x=v0t ②

2h-y=gt2 ③

对人做平抛运动过程，由动能定理，得：

mg（2h-y）=Ek-mv02 ④

联立①②③④解得Ek=m（v02+） ⑤

（2）由⑤式得Ek=m[（v02+gh）+-gh]

≥m·[2-gh]=mgh

当且仅当v02+gh=即v0=时取“=”

故此人跳出的速度为v0=时，他落在斜坡时的动能最小，最小值为mgh此题不是难在物理，而是难在数学，障碍有：（1）位置的坐标表示，落在斜坡上点的坐标满足抛物线方程；（2）应用均值不等式求最值和取最值的条件。如果考生不具备良好的数学素养，在考场是很难做出的，是一道数学味道很浓的物理高考题。

四、尺规作图与平面几何圆的知识

【例4】（2013·新课标全国卷Ⅰ，18）如图4，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q（q>0）、质量为的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）

A. B.

C. D.

分析：带电粒子垂直磁感线进入匀强磁场做匀速圆周运动，轨迹圆和磁场区域圆相交，两圆心的连线与弦（射入点、射出点连线）垂直平分。运动方向改变了60°，故磁偏转的圆心角为60°，据此可先做出轨迹圆的示意图，再做相匹配的磁场区域圆的示意图，通过几何证明：磁场区域圆的圆心、轨迹圆的圆心及射入点构成的三角形是等腰三角形，即可顺利求解。本题设置的障碍是：先给出了磁场区域圆的示意图，考生据此画轨迹圆的示意图，却很难画出符合要求的图形来，造成解题的困难，正中了命题者的圈套。如果考生能将数学平面几何中的圆相交的知识应用到此题来，主动跳出题目陷阱，解答此题便是顺理成章的事。通过几何作图和几何证明，轨迹圆的半径r=R，由牛顿第二定律，得qvB=m，联立求解v=，故B答案正确。

五、应用函数思想分析取最值的条件

【例5】（2013·揭阳模拟）如图5所示为某娱乐场的滑道示意图，其中AB为曲面滑道，BC为水平滑道，水平滑道BC与半径为1.6 m的圆弧滑道CD相切，DE为放在水平地面上的海绵垫.某人从坡顶滑下，经过高度差为20 m的A点和B点时的速度分别为2 m/s和12 m/s，在C点做平抛运动，最后落在海绵垫上E点.人的质量为70 kg，在BC段的动摩擦因数为0.2.问：

（1）从A到B的过程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）为保证在C点做平抛运动，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，则DE的长是多少？

分析：（1）设克服阻力做的功为Wf，则阻力做功为-Wf

对人从A→B过程，由动能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）从C点飞出曲率半径恰好为圆弧半径时，BC的长度取最大值在C点，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律，得mg=m ③

对人从B→C过程，由动能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

联立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值为32m.

（3）由平抛运动规律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

联立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

点评：此题难在第（2）问，第（2）问又难在分析取值的条件：要保证在C点做平抛运动，飞出时只有重力提供向心力，mg=m（为曲率半径），推出“曲率半径越小，C点的速度越小；C点速度越小，BC的长度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；结合圆弧轨道限制条件，≥R，故曲率半径恰好为圆弧轨道的半径时，BC取最大值。函数关系就是变量和变量之间的依赖关系；而物理中的关系式是物理量和物理量之间关系，当一个物理量变化，必然引起相关的物理量发生变化，其实就是一种函数变化关系。

除此之外，像解直角三角形与矢量的合成与分解、三角函数与正弦交流电、平面向量与矢量运算、数量积与功的表达式、y=asinx+bcosx求最值等都是数学物理结合的典型题材。以上几个例子只是应用数学知识处理物理问题的一个缩影，但却很好地诠释了恰当应用数学工具解决物理问题的方便性、快捷性和有效性，往往可以达到出奇制胜、事半功倍的效果。因此，广大物理教师在平时的教学中要善于挖掘数学与物理的结合点，尽可能地将数学知识应用到物理中来，体现数学的工具功能，以达到培养学生应用数学解决物理问题的能力，提高学生的理论探究水平和能力，促进学生思维的发展和提高思维品质。

（作者单位：台山一中大江实验中学）

责任编校 李平安endprint

【例5】（2013·揭阳模拟）如图5所示为某娱乐场的滑道示意图，其中AB为曲面滑道，BC为水平滑道，水平滑道BC与半径为1.6 m的圆弧滑道CD相切，DE为放在水平地面上的海绵垫.某人从坡顶滑下，经过高度差为20 m的A点和B点时的速度分别为2 m/s和12 m/s，在C点做平抛运动，最后落在海绵垫上E点.人的质量为70 kg，在BC段的动摩擦因数为0.2.问：

（1）从A到B的过程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）为保证在C点做平抛运动，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，则DE的长是多少？

分析：（1）设克服阻力做的功为Wf，则阻力做功为-Wf

对人从A→B过程，由动能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）从C点飞出曲率半径恰好为圆弧半径时，BC的长度取最大值在C点，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律，得mg=m ③

对人从B→C过程，由动能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

联立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值为32m.

（3）由平抛运动规律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

联立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

点评：此题难在第（2）问，第（2）问又难在分析取值的条件：要保证在C点做平抛运动，飞出时只有重力提供向心力，mg=m（为曲率半径），推出“曲率半径越小，C点的速度越小；C点速度越小，BC的长度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；结合圆弧轨道限制条件，≥R，故曲率半径恰好为圆弧轨道的半径时，BC取最大值。函数关系就是变量和变量之间的依赖关系；而物理中的关系式是物理量和物理量之间关系，当一个物理量变化，必然引起相关的物理量发生变化，其实就是一种函数变化关系。

除此之外，像解直角三角形与矢量的合成与分解、三角函数与正弦交流电、平面向量与矢量运算、数量积与功的表达式、y=asinx+bcosx求最值等都是数学物理结合的典型题材。以上几个例子只是应用数学知识处理物理问题的一个缩影，但却很好地诠释了恰当应用数学工具解决物理问题的方便性、快捷性和有效性，往往可以达到出奇制胜、事半功倍的效果。因此，广大物理教师在平时的教学中要善于挖掘数学与物理的结合点，尽可能地将数学知识应用到物理中来，体现数学的工具功能，以达到培养学生应用数学解决物理问题的能力，提高学生的理论探究水平和能力，促进学生思维的发展和提高思维品质。

（作者单位：台山一中大江实验中学）

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【例5】（2013·揭阳模拟）如图5所示为某娱乐场的滑道示意图，其中AB为曲面滑道，BC为水平滑道，水平滑道BC与半径为1.6 m的圆弧滑道CD相切，DE为放在水平地面上的海绵垫.某人从坡顶滑下，经过高度差为20 m的A点和B点时的速度分别为2 m/s和12 m/s，在C点做平抛运动，最后落在海绵垫上E点.人的质量为70 kg，在BC段的动摩擦因数为0.2.问：

（1）从A到B的过程中，人克服阻力做的功是多少？

（2）为保证在C点做平抛运动，BC的最大值是多少？

（3）若BC取最大值，则DE的长是多少？

分析：（1）设克服阻力做的功为Wf，则阻力做功为-Wf

对人从A→B过程，由动能定理，得mgh-Wf =mvB2-mvA2 ①

解得Wf =9100J ②

（2）从C点飞出曲率半径恰好为圆弧半径时，BC的长度取最大值在C点，只有重力提供向心力，由牛顿第二定律，得mg=m ③

对人从B→C过程，由动能定理，得

-umgl=mvC2-mvB2 ④

联立③④解得l=32m ⑤

即BC的最大值为32m.

（3）由平抛运动规律，得R=gt2 ⑥

s+R=vCt ⑦

联立③⑥⑦解得s=0.66m ⑧

点评：此题难在第（2）问，第（2）问又难在分析取值的条件：要保证在C点做平抛运动，飞出时只有重力提供向心力，mg=m（为曲率半径），推出“曲率半径越小，C点的速度越小；C点速度越小，BC的长度越大（可由-umgl= mvC2-mvB2l=推出）”；结合圆弧轨道限制条件，≥R，故曲率半径恰好为圆弧轨道的半径时，BC取最大值。函数关系就是变量和变量之间的依赖关系；而物理中的关系式是物理量和物理量之间关系，当一个物理量变化，必然引起相关的物理量发生变化，其实就是一种函数变化关系。

除此之外，像解直角三角形与矢量的合成与分解、三角函数与正弦交流电、平面向量与矢量运算、数量积与功的表达式、y=asinx+bcosx求最值等都是数学物理结合的典型题材。以上几个例子只是应用数学知识处理物理问题的一个缩影，但却很好地诠释了恰当应用数学工具解决物理问题的方便性、快捷性和有效性，往往可以达到出奇制胜、事半功倍的效果。因此，广大物理教师在平时的教学中要善于挖掘数学与物理的结合点，尽可能地将数学知识应用到物理中来，体现数学的工具功能，以达到培养学生应用数学解决物理问题的能力，提高学生的理论探究水平和能力，促进学生思维的发展和提高思维品质。

（作者单位：台山一中大江实验中学）

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