积累数学活动经验的三个基本点

许小平

一、新旧联系——积累基本数学活动经验的切入点

数学客观性的知识总是基于学生已有的知识和经验而发生、发展的，学生学习任何数学知识，都必然与头脑中的数学活动经验相联系，离不开先前数学活动中习得的经验的基础性作用。但在实际教学中，学生经常由于生活经验不足，操作经历的感受有限，难以体验到各种数学活动经验彼此之间的联系，导致已有的数学活动经验在新的教学情境中难以发生、转化或迁移。因此，教师要全面了解学生已有的数学活动经验，积极创造能激活这些经验的条件，在新旧经验的联系中找到切入点，激发学生主动地将新的知识纳入旧的经验系统中，从而建构起新的知识体系，完成对知识经验的“改造或改组”。

例如，“简单图形的面积计算”教学。从知识的角度说，长方形和正方形的面积计算是基础，平行四边形的面积计算是关键，随后的三角形、梯形，以及圆形的面积公式推导是提升。从活动经验的角度说，在小学平面图形的教学中，“数方格”是初级操作经验基础，学会用“数方格”的方法计算长方形的面积，并从中发现长方形面积的计算公式，是第一学段积累基本数学活动经验的重要切入点。“剪、移、拼”则是“转化”思想的关键，利用“剪、移、拼”把平行四边形转化为长方形，从而推导出平行四边形的面积公式，这是“转化”数学思想的首次成功体验，具有承前启后的关键作用。而把圆形转化成长方形则渗透了“化曲为直”和极限的思想，是基本活动经验的一次重要跨越，是后续学习的重要经验积累。教学中，教师既要启发学生想办法把所研究的图形转化为已学过的图形的面积计算，渗透“转化”的思想方法。同时，教师要引导学生主动探索转化前后的图形之间有什么联系，从旧经验推出新方法，完成新图形的面积计算公式的推导，发展学生的思维能力和空间观念，使他们的原初经验得以改造和提炼，完成数学活动经验从旧知识、旧方法到新知识、新方法的过渡。

二、高低贯通——积累基本数学活动经验的跃升点

学生活动经验发展具有一定的层级性和规律性，教师在教学中要遵循这一客观规律，根据不同年级教学任务和要求以及学生已有的经验起点，在相邻的两个经验层级之间架起梯子，实现高低经验的贯通，让学生在“跳一跳，摘桃子”的活动中实现由较低层级的活动体验逐步上升到较高层级的活动体验，完成数学活动经验由低而高的跃升。

例如，关于“分数”的学习，《课程标准》安排分两个学段完成。人教版教材第一学段安排在三年级上册，课程内容要求学生能结合具体情境初步认识小数与分数，能读写小数和分数等；第二学段安排在五年级下册，课程内容要求学生结合具体情境，理解分数的意义，理解百分数的意义会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。两个学段都提到“结合具体情境”，要创设怎样的“具体情境”才能让学生从认识的起点跃升到认识的新节点呢？三年级下册“初步认识分数”是数概念从整数到分数的一次扩展，对学生来说是认知上的突破。教学活动应立足于学生感兴趣的现实情境，通过动手操作（包括分一分、剪一剪、折一折等），让学生从直接经验（动作表征）顺利过渡到经验的表象表征，给学生搭建突破整数樊篱跃升到分数初步认识的目标。而五年级下册“分数的意义和性质”是学生系统学习分数的开始。这一阶段的教学活动要引导学生在已有的基础上，立足于学生的经验的表象表征，通过举例说明、观察、讨论、辨析、抽象与概括等活动，帮助学生从感性认识上升到理性认识（符号表征），概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而理解与分数有关的基本概念和基本技能，从而获得直观动作思维—具体形象思维—抽象逻辑思维的完整活动体验，实现小学分数意义教学目标的逐级跃升。

三、学用结合——积累基本数学活动经验的拓展点

学生的数学活动经验在很多时候是“内隐”与“蛰伏”的，在转到新的问题情境时，一些学生能“急中生智”，而另一些学生则 “黔驴技穷”。出现这种情形的一个重要原因是学生积累的数学活动经验存在个体差异。研究表明，学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历以下阶段：原初经验阶段、再生经验阶段、再认经验阶段、概括性经验阶段。由学生自身的因素以及经历不同，他们在遭遇问题情境时的经验反映会出现不同的情形。因此朱德全教授指出“应用意识的生成便是知识经验形成的标志”。也就是说，要使经验成为活的经验，学以致用是必经之路。加强“学用结合”是积累基本活动经验的重要的拓展点。

例如，第二学段课程内容要求学生探索并了解运算律，会用运算律进行一些简便运算。其中乘法分配律的学习和运用在教学中一直是个难点。如何有意识地培养学生在不同层次、情境的运用中形成简便运算的意识和能力呢？教师引导学生通过观察、思考、讨论，最后归纳出乘法分配律，并用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c或a×（b+c） =a×b+a×c。为了帮助学生进一步理解乘法分配律及其运用，教师对教学目标进一步细化和层次化。

第一层次：利用乘法意义帮助学生理解乘法分配律。

12×4+12×6表示（ ）个12加上（ ）个12，等于（ ）个12。也可以说成12的（ ）倍加上12的（ ）倍等于12的（ ）倍。

第二层次：模仿题，巩固运用。

（4+8）×25，15×26+26×85

第三层次：变式题，灵活运用。

99×45，101×45

第四层次：提高题，拓展运用。

130×56+87×560

活动经验的拓展点在于不同情境中的唤醒、激活和反复应用，把书本上学来的知识与经验，和现实生活紧密地联系在一起，让学生利用所学的知识和经验解决生活中的数学问题，最终促进学生获得较高层次概括性的经验图式，从而促进数学基本活动经验的积累与发展，使基本活动经验成为解决问题“活”的灵魂，更让学生体会到“生活中处处都有数学”的真谛。

（作者单位：福建省漳平市新桥中心小学 责任编辑：王彬）