一类含有p-Laplacian算子二阶三点边值问题正解的存在性

2014-03-01 14:28禹长龙王菊芳左春艳
河北科技大学学报 2014年2期
关键词:长龙边值问题二阶

禹长龙,王菊芳,左春艳

(河北科技大学理学院,河北石家庄 050018)

一类含有p-Laplacian算子二阶三点边值问题正解的存在性

禹长龙,王菊芳,左春艳

(河北科技大学理学院,河北石家庄 050018)

运用求积分的方法研究了含有一维p-Laplacian算子的二阶三点边值问题:

多重正解的存在性,其中p∈(1,2],0<η<1是常数,λ∈(0,+∞)是一个参数,对于常数r>0时,f∈C1([0,r),[0,+∞)),在(0,r)上

一维p-Laplacian算子;求积法;正解

禹长龙,王菊芳,左春艳.一类含有p-Laplacian算子二阶三点边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报,2014,35(2):127-133.

YU Changlong,WANG Jufang,ZUO Chunyan.Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2014,35(2):127-133.

19世纪,法国数学家FOURIER用分离变量法研究热传导问题,得到了二阶常微分方程的两点边值问题:

随后法国数学家STURM和LIOUVILLE开始关注,他们一起研究了一类二阶非线性常微分方程:

PEL PINO等这类边值问题被称为Sturm-Liouville特征值问题,进而形成了著名的Sturm-Liouville理论,并且取得了很丰富的成果[1-10]。

1982年西班牙数学家HERRERO和VAZQUEZ等在文献[11]和文献[12]中最早提出的模型是含有p-Laplacian算子的微分方程(φp(u′))′=q(t)f(t,u′),0<t<1,相应的边值条件为u(0)=0,u(1)=b,或者u′(0)=0,u(1)=b,其中φp(s)=|s|p-2s,p>1被称为p-Laplacian算子。

1989年,智利数学家PEL PINO等在文献[13]中利用拓扑度理论研究了 Dirichlet边值问题(φp(u′))′+f(t,u)=0,0<t<1,u(0)=u(T)=0解的存在性以及特征值的问题。此后,人们通过对血浆问题、弹性问题、宇宙物理等许多应用领域的研究发现,这类问题均可归结为含有p-Laplacian算子的微分方程(φp(u′))′+f(t,u)=0,0<t<1的研究。

近来,在文献[14]中马如云等研究了定义在有限区间内含有一维p-Laplacian算子的非线性边值问题

正解的存在性。

本文基于文献[14]研究边值问题:

正解的存在性,其中0<η<1为常数,λ∈(0,+∞)是一个参数,p∈(1,2]并且f∈C1([0,r),[0,+∞))定义在有限的区间上。

1 预备知识

为了证明主要结论,本文将利用REICHEL等在文献[15]中初值问题:

的唯一性结果,其中a∈[0,1]且b,d∈R。

引理1[15]设条件 H1)与条件 H2)成立,则

a)d≠0时,式(2)有唯一的局部解,此外,只要u′(t)≠0,u(t)仍为唯一解。

b)b∈ (0,r)且d=0时,式(2)有唯一局部解。

c)b=0且d=0时,式(2)有唯一局部解u≡0。

引理2 设条件H1)和条件H2)成立,假设(λ,u)是边值问题(1)当‖u‖∞=ρ<r时的一个解,且设∃x0∈ (0,1)使得u(x0)= ‖u‖∞,则在(0,1)上u(t)>0,在(0,x0)上u′(t)>0,在(x0,1)上u′(t)<0,且

又由u′(x0)=0,可知函数u(t)在区间[0,x0]上是不减的,在区间[x0,1]上是不增的,且u(t)>0,

由式(6)和引理1中条件a),可得u(x0-t)和u(x0+t)都可以被唯一的扩展到区间[0,min{x0,1-x0}]上。因此,根据引理1中条件b)得问题(7)在区间[0,min{x0,1-x0}]上有唯一解u≡0,所以式(3)成立。

引理3 设条件H1)和条件H2)成立,假设(λ,u)是边值问题(1)在‖u‖∞=ρ<r且λ>0条件下的一个正解,且设x0∈ (0,1)使得u(x0)= ‖u‖∞,则

2 主要结论及证明

为了证明结论,需要如下的求积法。

引理4 对于任意ρ<r,存在唯一的λ>0使得边值问题(1)当‖u‖=ρ时有一个正解(λ,u),并且ρ→λ(ρ)在区间[0,r)是一个连续函数。

证明 根据引理3可知,(λ,u)是边值问题 (1)的正解当且仅当(λ,u)是

[1] STURM C.Mémoire Sur LesÉquations Differentielles Linéaires du Second Ordre[M].[S.l.]:Birkhäuser Basel,2009.

[2] WANG Haiyan.On the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations in the annulus[J].J Differential Equations,1994,109(1):1-7.

[3] ERBE L H ,WANG H.On the existence of positive solutions of ordinary differential equations[J].Proc Amer Math Soc,1994,120:743-748.

[4] 禹长龙,李志广,魏会贤,等.无穷区间上二阶m点共振边值问题解的存在性和唯一性[J].河北科技大学学报,2013,34(1):7-14.

YU Changlong,LI Zhiguang,WEI Huixian,et al.Existence and uniqueness of solutions for second-order m-point boundary value problems at resonance on infinite interval[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2013,34(1):7-14.

[5] AGARWAL R P ,WANG F ,LIAN W.Positive solutions for nonlinear singular boundary value problems[J].Comput Math Appl,1998,35:81-87.

[6] LAN Kunquan,WEBB J R L.Positive solutions of semilinear differential equations with singularities[J].J Differential Equations,1998,148(2):407-421.

[7] 刘玉敬,郭少聪,郭彦平.带有积分边界条件的三阶边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报,2012,33(2):93-96.

LIU Yujing,GUO Shaocong,GUO Yanping.Existence of positive solutions of the third order boundary value problems with integral boundary conditions[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2012,33(2):93-96.

[8] WANG Junyu.The existence of positive solutions for the one-dimensional p-Laplacian[J].Proc Amer Math Soc,1997,125(8):2275-2283.

[9] LAETSCH T.The number of solutions of a nonlinear two point boundary value problem[J].Indiana Univ Math J,1970,20:1-13.[10] MA R.Positive solution of a nonlinear three-point boundary value problem[J].Electron J Differential Equ,1999,34:1-8.

[11] HERRERO M A,VAZQUEZ J L.On the propagation properties of a nonlinear degenerate parabolic equation[J].Comm Partial Di Eqns,1982(7):1381-1402.

[12] ESTEBAN J R,VAZQUEZ J L.On the equation of the turbulent filtration in dimensional porous media[J].Nonlinear Analysis,1986(10):1305-1325.

[13] DELPINO M A,ELGUETA M,MANASEVICH R F.A homotopic deformation along p of a Leray-Schauder degree result and existence for(|u′|p-2u′)′+f(t,u)=0u(0)=u(T)=0,p>1[J].J Differential Equations,1989,80:1-13.

[14] MA R,XIE C,AHMED A.Positive solutions of the one-dimensional p-Laplacian with nonlinearity defined on a finite interval[J].Abstractand Applied Analysis,2013(6):6-16.

[15] REICHEL W, WALTER W.Radial solutions of equations and inequalities involving the p-Laplacian[J].J Inequal Appl,1997,1(1):47-71.

Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator

where p∈(1,2],0<η<1 is a constant,λ∈(0,+∞)is a parameter,f∈C1([0,r),[0,+∞))for some constant r>0,f(s)>0

YU Changlong,WANG Jufang,ZUO Chunyan
(School of Science,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

In this paper,the quadrature method is used to study the existence of multiple positive solutions for second-order three-point boundary value problems with one-dimensional p-Laplacian operator

one-dimensional p-Laplacian operator;quadrature method;positive solution

O157 MSC(2010)主题分类:47A05

A

1008-1542(2014)02-0127-07

10.7535/hbkd.2014yx02003

2013-09-05;

2013-11-19;责任编辑:张 军

国家自然科学基金(11201112);河北省自然科学基金(A2011208012,A2013208147);河北省教育厅自然科学基金(2008153)

禹长龙(1978-),男,河北阳原人,讲师,硕士,主要从事微分方程边值问题、数值计算等方面的研究。

E-mail:changlongyu@126.com

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