禹长龙,王菊芳,左春艳
(河北科技大学理学院,河北石家庄 050018)
一类含有p-Laplacian算子二阶三点边值问题正解的存在性
禹长龙,王菊芳,左春艳
(河北科技大学理学院,河北石家庄 050018)
运用求积分的方法研究了含有一维p-Laplacian算子的二阶三点边值问题:
多重正解的存在性,其中p∈(1,2],0<η<1是常数,λ∈(0,+∞)是一个参数,对于常数r>0时,f∈C1([0,r),[0,+∞)),在(0,r)上
一维p-Laplacian算子;求积法;正解
禹长龙,王菊芳,左春艳.一类含有p-Laplacian算子二阶三点边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报,2014,35(2):127-133.
YU Changlong,WANG Jufang,ZUO Chunyan.Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2014,35(2):127-133.
19世纪,法国数学家FOURIER用分离变量法研究热传导问题,得到了二阶常微分方程的两点边值问题:
随后法国数学家STURM和LIOUVILLE开始关注,他们一起研究了一类二阶非线性常微分方程:
PEL PINO等这类边值问题被称为Sturm-Liouville特征值问题,进而形成了著名的Sturm-Liouville理论,并且取得了很丰富的成果[1-10]。
1982年西班牙数学家HERRERO和VAZQUEZ等在文献[11]和文献[12]中最早提出的模型是含有p-Laplacian算子的微分方程(φp(u′))′=q(t)f(t,u′),0<t<1,相应的边值条件为u(0)=0,u(1)=b,或者u′(0)=0,u(1)=b,其中φp(s)=|s|p-2s,p>1被称为p-Laplacian算子。
1989年,智利数学家PEL PINO等在文献[13]中利用拓扑度理论研究了 Dirichlet边值问题(φp(u′))′+f(t,u)=0,0<t<1,u(0)=u(T)=0解的存在性以及特征值的问题。此后,人们通过对血浆问题、弹性问题、宇宙物理等许多应用领域的研究发现,这类问题均可归结为含有p-Laplacian算子的微分方程(φp(u′))′+f(t,u)=0,0<t<1的研究。
近来,在文献[14]中马如云等研究了定义在有限区间内含有一维p-Laplacian算子的非线性边值问题
正解的存在性。
本文基于文献[14]研究边值问题:
正解的存在性,其中0<η<1为常数,λ∈(0,+∞)是一个参数,p∈(1,2]并且f∈C1([0,r),[0,+∞))定义在有限的区间上。
为了证明主要结论,本文将利用REICHEL等在文献[15]中初值问题:
的唯一性结果,其中a∈[0,1]且b,d∈R。
引理1[15]设条件 H1)与条件 H2)成立,则
a)d≠0时,式(2)有唯一的局部解,此外,只要u′(t)≠0,u(t)仍为唯一解。
b)b∈ (0,r)且d=0时,式(2)有唯一局部解。
c)b=0且d=0时,式(2)有唯一局部解u≡0。
引理2 设条件H1)和条件H2)成立,假设(λ,u)是边值问题(1)当‖u‖∞=ρ<r时的一个解,且设∃x0∈ (0,1)使得u(x0)= ‖u‖∞,则在(0,1)上u(t)>0,在(0,x0)上u′(t)>0,在(x0,1)上u′(t)<0,且
又由u′(x0)=0,可知函数u(t)在区间[0,x0]上是不减的,在区间[x0,1]上是不增的,且u(t)>0,
由式(6)和引理1中条件a),可得u(x0-t)和u(x0+t)都可以被唯一的扩展到区间[0,min{x0,1-x0}]上。因此,根据引理1中条件b)得问题(7)在区间[0,min{x0,1-x0}]上有唯一解u≡0,所以式(3)成立。
引理3 设条件H1)和条件H2)成立,假设(λ,u)是边值问题(1)在‖u‖∞=ρ<r且λ>0条件下的一个正解,且设x0∈ (0,1)使得u(x0)= ‖u‖∞,则
为了证明结论,需要如下的求积法。
引理4 对于任意ρ<r,存在唯一的λ>0使得边值问题(1)当‖u‖=ρ时有一个正解(λ,u),并且ρ→λ(ρ)在区间[0,r)是一个连续函数。
证明 根据引理3可知,(λ,u)是边值问题 (1)的正解当且仅当(λ,u)是
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Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator
where p∈(1,2],0<η<1 is a constant,λ∈(0,+∞)is a parameter,f∈C1([0,r),[0,+∞))for some constant r>0,f(s)>0
YU Changlong,WANG Jufang,ZUO Chunyan
(School of Science,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)
In this paper,the quadrature method is used to study the existence of multiple positive solutions for second-order three-point boundary value problems with one-dimensional p-Laplacian operator
one-dimensional p-Laplacian operator;quadrature method;positive solution
O157 MSC(2010)主题分类:47A05
A
1008-1542(2014)02-0127-07
10.7535/hbkd.2014yx02003
2013-09-05;
2013-11-19;责任编辑:张 军
国家自然科学基金(11201112);河北省自然科学基金(A2011208012,A2013208147);河北省教育厅自然科学基金(2008153)
禹长龙(1978-),男,河北阳原人,讲师,硕士,主要从事微分方程边值问题、数值计算等方面的研究。
E-mail:changlongyu@126.com