三元乙丙材料粘超弹本构模型研究

杨晓红，许进升，孙俊丽，胡少青，周长省

(1.南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京210094;(2.晋西工业集团有限责任公司技术中心，山西 太原030027)

0 引言

三元乙丙(EPDM)是乙烯、丙烯以及非共轭二烯烃的三元共聚物，因其具有较好的耐老化性、耐腐蚀性以及绝热性能，在航空航天工程领域得到了较广泛的应用，尤其在固体火箭火箭发动机中，该材料通常作为保护发动机壳体力学性能不受燃烧室内高温影响的绝热包覆层，安置于壳体与药柱之间。随着近年来固体火箭向着远程化、高装填密度、高能装药等方向的发展，固体火箭发动机装药结构完整性问题得到越来越多的重视［1］。因此研究EPDM 包覆层材料的力学行为，建立其准确的力学本构模型，将会为解决使用EPDM 作为包覆层的固体火箭发动机的装药结构完整性问题提供理论参考。

EPDM 在有限变形条件下的力学行为表现出典型的超弹特征，具有明显的率相关性，与其载荷历史具有强烈的相关性。常见的超弹本构模型有Neo-Hookean 模型、Mooney-Rivlin 模型、Yeoh 模型、Ogden模型等［2-3］，在变形较大的橡胶、高聚物等材料中得到较广泛的应用［4-5］。Leu 等［6］在20世纪90年代首先提出粘超弹本构模型的概念，模型由率无关的超弹部分与率相关的粘弹部分组成。Yang 等［7］在研究高应变率条件下某橡胶材料的力学性能时，发现其力学表现出超弹力学特征，在高应变率条件下又体现出粘弹性力学特征;因此将超弹模型与粘弹模型相互并联构成了一种能够准确描述该橡胶材料高应变率条件下力学行为的粘超弹本构模型。此外，粘超弹本构模型在聚氨酯泡沫［8］、生物软组织［9］、高聚物［10］、推进剂［11］等材料上均得到了广泛的应用。Pouriayevali 等［12］通过准静态的拉伸实验拟合了超弹模型参数，通过不同速率的单轴拉伸实验拟合了粘弹模型参数。

目前国内外对EPDM 力学本构模型的介绍较少，因此有必要对该材料的力学特性进行深入研究。通常材料力学行为的率相关特性是由于材料在变形时存在粘性流动，可通过建立粘弹性本构模型来描述材料力学行为的这一特性，因此本文试图将超弹本构模型与粘弹本构模型结合在一起，建立一种粘超弹本构模型来描述EPDM 的力学行为。

1 实验研究

1.1 实验方法

本文针对EPDM 包覆层的平板原材料，通过机械加工、切割方法研究了单轴拉伸试件的设计问题，试件设计如图1所示。试件的标距为65 mm，在其两端与拉伸实验机夹头接触的位置处使用502 胶粘接铝板，并在铝板的表面进行打磨处理。这种设计手段一方面可以预防试件与实验机夹头之间相对滑移，同时也可以保证试件65 mm 标距的精确性。

图1 材料试件示意图Fig.1 Schematic diagram of specimen

拉伸过程中，由于包覆层材料的塑性流动，上下两块铝板之间的包覆层材料会在一定程度上流进测试区，且随着拉伸位移的增大，流动量也越大，因此应变不等于拉伸位移与标距的比值。本研究过程中，采用非接触式测试手段测量试件在受载过程中的应变响应。该系统包括Baumer 相机、1394 接口卡、采集计算机和后处理软件。该系统主要用于对CCD 拍摄的试件表面散斑原图进行分析，自动快速地得到全场的位移、应变信息。主要功能包括:图像采集、通用图像处理分析、位移分布分析计算、应变分布分析计算、数字图像相关后处理。

本文对EPDM 材料进行了单轴拉伸和拉伸-回复试验，实验过程在常温(293 K)环境下进行，湿度为50%.拉伸实验中设定电子拉伸实验机拉伸速度分别为5 mm/min、20 mm/min、50 mm/min、100 mm/min和500 mm/min.根据非接触测试方法，实际对应的平均拉伸应变率为0.001 03 s-1、0.004 10 s-1、0.010 3 s-1、0.020 5 s-1、0.104 s-1，其中拉伸-回复实验的拉伸速度设定为50 mm/min，回复速度为50 mm/min.

1.2 实验结果分析

实验中针对每一拉伸速度进行多次重复实验，并选取5 次有效实验结果的平均值作为研究对象。对实验数据处理后得到EPDM 材料在不同应变率条件下的应力-应变曲线如图2所示。由图2可以看出，该材料的最大延伸率较大，不同拉伸条件下均大于200%，其应力响应随着拉伸速率的增加而逐渐增大。

图2 单轴拉伸应力-应变响应Fig.2 Stress-strain response in uniaxial tension tests

图3为EPDM 材料的拉伸-回复曲线，其中拉伸速度、回复速度均为50 mm/min.由图3可见，回复应变响应滞后于应力响应，当试件放置一段时间后，应变逐渐回复到0.这说明该材料表现出一定的粘性效应，导致回复阶段出现应变滞后于应力的现象;放置一段时间后材料试件完全恢复，说明试件没有产生不可回复的变形。因此，本文结合以上EPDM 材料的力学行为，提出采用粘超弹本构模型来描述其力学特性。

图3 单轴拉伸-回复应力-应变响应Fig.3 Stress-strain response in uniaxial tension-recover test

2 本构模型

本文在超弹响应部分采用Mooney-Rivlin 模型，并假设材料的粘弹性响应为线性过程，因此在本构模型构建过程中采用线粘弹性理论。

2.1 粘超弹本构模型

粘超弹本构理论首先由Leu 等［6］提出，该模型由率无关的超弹响应部分和率相关的粘弹响应部分组成。模型表达式为

式中:σ 为总应力张量;σe为不考虑率效应的超弹应力张量;σv为考虑率效应的粘弹应力张量。

由此可以看出，该模型利用两个相互独立的力学响应部分来描述包覆层材料的力学性能，以下对两部分力学响应分别建模，其中超弹响应部分采用Mooney-Rivlin 超弹模型，粘弹性响应部分采用线粘弹性理论。

2.2 Mooney-Rivlin 超弹模型

超弹性本构理论认为材料的应力-应变关系是完全弹性的，但是具有高度的非线性特征，当外力消失后，材料变形可恢复到原始状态。假设EPDM 材料是各向同性且不可压缩的，则根据能量守恒得到有限变形弹性固体的本构模型为

式中:σe为Cauchy 应力张量;pe为静水压力，反映材料的不可压缩特性;I 为单位向量;B 为左Cauchy 变形张量，I1、I2分别为左Cauchy 变形张量B 的第1、第2 不变量，具体定义为

其中I3为左Cauchy 变形张量B 的第3 不变量，当材料具有不可压缩特性时，I3= 1，λi为拉伸比，定义为λi=1 +εi，εi为工程应变，i =1，2，3;α1、α2分别定义为

W=W(I1，I2)为只依赖变形的单位体积应变能函数，对于Mooney-Rivlin 模型W 的具体形式为

式中:C10、C01为Mooney-Rivlin 应变能函数中的材料参数。

2.3 粘弹性本构模型

由线粘弹性理论可知，使用该模型能够描述材料力学行为的率相关性。基于EPDM 包覆层材料的力学特性，其粘弹性力学响应部分可采用Prony级数的形式表述:

式中:Em为松驰模量;τm为松弛时间;n 为Prony 级数的阶数，模型的描述精度随n 的增大而增大。松弛时间受材料微观结构和外载荷的影响较明显，如微观结构的颗粒填充比和所处的环境温度等。

3 结果与分析

3.1 本构模型一维形式

对于所建立的粘超弹本构模型，根据等速拉伸实验结果获取模型的相关参数。由于实验均是在一维条件下进行的，因此本文首先推导出本构模型的一维形式。

在单轴加载情况下，垂直于加载方向的应力应为0，即

假设在加载方向上的伸长比为λ，由于本文中材料在有限变形下认为近似不可压，故可以得到三向主伸长比为λ1=λ，λ2=λ3=则变形梯度张量F、左Cauchy 变形张量B 为

根据(2)式和(10)式可得

将(4)式、(5)式、(6)式代入(11)式可得

将(12)式代入(2)式，并根据(4)式、(5)式、(10)式可得到超弹应力响应部分为

式中:λ=1 +ε11.由(7)式并取Prony 级数阶数n =1，则得到粘弹应力响应部分为

根据(13)式、(14)式得到本构模型的具体一维形式为

3.2 模型参数获取

由(15)式可以看出，单轴加载实验条件下，包覆层材料的应力响应在某一应变水平下包括弹性响应(率无关)和粘弹响应(率相关)。则对于两组不同拉伸速率的σ-ε 曲线，同一应变水平所对应的应该相等，而两组曲线之间的差异均是由于粘弹响应应力造成 的，即从而可得到以下关系:

由(15)式可得

由(16)式得到，通过两组应变率条件下的σ-ε曲线获得一系列应变水平下应力响应差值曲线，便可根据该差值曲线和(16)式拟合得到模型参数E1、τ1.本研究中选取拉伸速度分别为20 mm/min 和50 mm/min 的两条σ-ε 曲线作为研究对象。由EPDM包覆层材料的实验结果图2可以得到，当应变小于80%时，应力响应受应变率的影响较小，而当应变大于80%时影响则较大。因此利用这两条曲线拟合参数E1、τ1时，选择的应变水平分别为88%、100%、125%、150%、175%、200% 和225%，拟合结果如图4所示，得到粘弹性模型参数为E1=0.949 47 MPa、τ1=165.712 26 s.

图4 EPDM 材料本构模型粘弹性参数拟合结果Fig.4 Viscoelastic parameters of EPDM constitutive model

根据所获得的材料参数E1和τ1，利用(15)式便可拟合本构模型的超弹性参数C10和C01.本研究中选择拉伸速度为50 mm/min 的σ-ε 曲线进行拟合，拟合结果如图5所示，得到超弹模型参数为C10= -0.152 48 MPa、C01=1.220 47 MPa.

图5 EPDM 材料本构模型超弹性参数拟合结果Fig.5 Hyperelastic parameters of EPDM constitutive model

3.3 模型验证

由3.2 节可知，模型参数的获取过程只使用了20 mm/min 和50 mm/min 的两条σ-ε 曲线。如图5所示，50 mm/min 拉伸速率下模型预测结果与实验结果的重合度较好，因此有必要证实该模型能否用于预测其他应变率水平。根据已获得的模型参数，利用(15)式计算其他拉伸速率下的应力响应，预测结果与实验结果对比如图6所示。由图6可以看出，模型预测结果与实验结果重合度较好，且在应变大于50%以后，应力响应的率效应则较为明显。

图6 本构模型预测结果与实验结果对比图Fig.6 Comparison of test and predicted results

4 结论

本文根据EPDM 包覆层材料的单轴拉伸实验和拉伸-回复实验，获得了材料的力学行为，根据其力学行为建立了一种粘超弹本构模型，结果表明:

1)根据实验结果可知，EPDM 包覆层材料拉伸时存在一定的粘性流动，力学行为呈现出明显的率相关效应。

2)利用Mooney-Rivlin 超弹本构和线粘弹性本构相结合所建立的粘超弹本构模型能够较好地描述EPDM 覆层材料的单轴力学行为。

3)拉伸过程中，包覆层材料的塑性流动会影响应变的计算结果，采用非接触式应变测试手段能够很好地解决该问题。

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