浅谈中考数学复习中的思维训练

刘雪峰

摘 要： 中考复习关键在于精选巧编例题，强化聚合、发散和逆向等思维训练，把单向输入的信息变成综合输入信息，向外扩散和延展，在复习中培养学生的能力.

关键词： 中考数学复习 聚合思维训练 发散思维训练 逆向思维训练

在中考数学复习中，存在一种看法，认为题型见得越多题目做得越多越好.在这种观点的支撑下，“题海战术”成了最佳的选择.于是，老师广罗习题，家长紧随其后.做完了“汇编”做“经典”，做完“经典”还有“精选”.这就苦了学生.要说“题海战术”无任何价值也是不客观的，否则，它也流行不起来.问题的关键在于，它的价值是以牺牲学生、老师有限的复习时间的巨大代价换来的.如果在时间非常宝贵的中考复习阶段，各门功课都采取“题海战术”，形成“恶性竞争”，那么势必会干扰正常的复习.这种事倍功半的做法，其最终结果常常事与愿违.

我从事初中数学教学十几个年头，根据多年的教学实践和探索，并大胆进行了一定的尝试，形成了自己的教学特色.

我认为中考复习，尤其是数学复习，应该引导学生对所学知识进行系统性的归纳和升华，把书本由“厚”变“簿”，并用已有的知识解决新问题，进一步加深对概念、定理、规律等的理解，弄清各部分知识间的内在联系，熟练掌握数学解题技能，从而达到发展学生思维、开发智力、培养能力的目的.完成这一任务的重要环节，是在引导学生对知识进行归纳的基础上，精选巧编例题，强化聚合、发散和逆向等思维训练，把单向输入的信息变成综合输出信息，向外扩散和延展，把培养学生的能力寓于复习之中.具体做法，我分三步走。

一、围绕知识的系统化，进行聚合思维训练.

聚合思维是将输入的多种信息汇成一种信息输出，也就是把概念、公式、原理等众多信息重新组合成一个有序的系统，使学生掌握知识的一般规律，学会思维方法，使思维规范化、知识系统化.在这一过程中，引导学生将分散学习的知识、思想方法等基本元素纳入体系，使其结构化，从而真正了解它们在整个初中数学中的地位和作用.进行聚合思维训练的主要方法有：

（一）理清知识的脉络.例如在复习《特殊的平行四边形》，这一节课的关键就在于理清平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系：

归纳时，特别要让学生知道矩形的特殊性：四个角是直角和对角线相等；菱形的特殊性：四条边相等和对角线互相垂直，这样对这几种特殊的平行四边形之间的关系就很清楚了.

（二）归纳解题的思路.初三数学复习时，要经常给学生归纳解题的思路.中考综合题中，很多类型与面积有关，面积类型可以分为两大类型——静态型和动态型.

所谓静，就是在题设条件下，图形及其性质已基本确定，只要寻求各已知条件的内在联系，就能找到解决这类题的线索.例如：

抛物线y=-x+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且A在x轴的正半轴上，B在x轴的负半轴上，OA的长为a，OB的长为b.

（1）求m的求值范围.

（2）设a：b=3：1，求出m的值，并写出此时的抛物线的解析式.

（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线顶点是M，问抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1999南京中考题，有改动）

略解：（1）m的取值范围为m>-1.

（2）m=2，抛物线的解析式为y=-x+2x+3

（3）如图，易求A（3，0），B（-1，0），C（0，3），顶点（1，4），直线BM的解析式为：y=2x+2.故直线BM与y轴交于N（0，2）.S=S+S=1.设P点坐标（x，y），S=S，可求得P点坐标为：

简评：面积相等（根据等底同高的性质），x轴上下的抛物线上各有两个点，由于抛物线已定，故P点有四解.由上例可以看到：假如面积关系是静止的、固定的，那么我们就能通过面积公式、几何图形、同底不同高等关系找出潜在的内在的联系，得到相应的条件与等式，从而解决此类问题.

所谓动，就是在题设条件下，图形给我们一种动感，而结论则要求在变化过程中给予确定.例如：已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边长为10，∠B与∠C为锐角，点M为AB边上的一个动点（M与点A，B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x，

（1）用x的代数式表示△AMN的面积S，

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCMN（边AM、AN落在四边形BCMN所在的平面内），设点A落在平面BCMN内的点A′，△A′MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y，①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，②当x为何值时，重叠部分y的面积最大，最大值为多少？

略解：（1）S=x ；

（2）①当0

②当5

简评：当点、线段、图形运动时，要分清运动的方向、速度，是否与其他的图形重叠、重合，时刻分清内在的联系.

（三）巧设例题，讲练结合.通过讲练例题，反馈信息，对存在的问题作点拨，由学生提出解题思路并总结、归纳解题技巧，这样，有利于培养学生聚合思维和思维的条理性、深刻性.如：

解方程：-+2=0（2007苏州市中考）

方法一：去分母（x+2）-3x（x+2）+2x=0

去括号、整理得x=2

经检验x=2是原方程的解.

方法二：用换元法设=y①，则原方程化为：y-3y+2=0，

解这个方程得y1=1，y2=2，分别代入①可得x=2，

经检验x=2是原方程的解.

在训练这道题时，体现了聚合思维的效果.我在引导学生分析解答过程中，常常冲破单一角度思考的框框，用多种方法显示出发散思维的功能.在聚合与发散的这种矛盾运动中，学生思维的深刻性与灵活性随之获得发展，使所学知识系统化.在此基础上，再进行发散思维的训练也就水到渠成了.

二、为使知识纵深化，进行发散思维训练.

发散思维是将输入的一中信息变成多种信息输出.即对单一的信息，沿着不同角度和方向思考，并依据规律、概念和梯形等产生多种想法，广开思路，提出新的假设、新的构思，发现和解决实际问题，培养学生的创造精神，使解题方法更富新意.一题多解，一题多变，一法多用等都是很好的形式，已被教学实践证明，对沟通和深化知识，引起发散思维，效果显著.例如：

如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.

求证：四边形DECF为菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四边形DECF是平行四边形，故只要证一组邻边相等，过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H.再证△DGF≌△DHE即可.这种方法学生容易想到，三角形全等是证一组线段相等最常见的办法.

方法二：连接CD.由∠CAB、∠ABC的平分线交于点D可知点D是△ABC的内心，所以CD也平分∠ABC，这样很容易证得EC=ED.

通过这种形式的训练，在复习中强化发散思维，这样有利于知识结构的建立和认识上的飞跃，扩展学生的复习时间、学习空间和独立深化知识的自由度，为提高学生的能力创造了条件.在训练一题多解、一题多变、一法多用时，会很顺利地涉及逆向思维的问题，真正的逆向思维训练也是不可或缺的.

三、追求知识的灵活化，进行逆向思维训练.

逆向思维又称反向思维，是善于从不同的立场、角度、层次、侧面思考问题，执果索因，使思维序列方向从反方向开始.当思维过程中出现障碍时，能迅速转移到另一思路上，从而找到解决问题的方法，并能将输入的单一信息转化成一系列综合信息辐射出来.这样，就有利于防止学生理解僵化，思维定势，有利于拓展学生的解题思路，使所学的知识灵活化，提高解题能力.如：若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范围是：1≤x≤4

由此可见，强化逆向思维训练，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性和深刻性等，有利于克服由定向思维所造成的解题方法刻板和僵化.

在中考数学复习中进行思维训练，不可能一朝一夕就取得显著的效果.在进入复习阶段前，我都要制订较详细的计划，有系统、有重点地进行思维训练.经过努力，我所教的班级在重点中学实验班招生中和中考中取得了令人满意的成绩.2005届我所任教的两个班级有15人考取了重点中学的实验班（全昆山市共招200人），2008届我所任教的两个班级有20人考取了重点中学的实验班.难能可贵的是，学生普遍反映，我布置的作业量相对不多，没有“题海战”的烦恼，而知识、能力却不比其他平行的班级弱.这些成绩，应该归功于我在思维训练方面所做的探讨和尝试.endprint

在训练这道题时，体现了聚合思维的效果.我在引导学生分析解答过程中，常常冲破单一角度思考的框框，用多种方法显示出发散思维的功能.在聚合与发散的这种矛盾运动中，学生思维的深刻性与灵活性随之获得发展，使所学知识系统化.在此基础上，再进行发散思维的训练也就水到渠成了.

二、为使知识纵深化，进行发散思维训练.

发散思维是将输入的一中信息变成多种信息输出.即对单一的信息，沿着不同角度和方向思考，并依据规律、概念和梯形等产生多种想法，广开思路，提出新的假设、新的构思，发现和解决实际问题，培养学生的创造精神，使解题方法更富新意.一题多解，一题多变，一法多用等都是很好的形式，已被教学实践证明，对沟通和深化知识，引起发散思维，效果显著.例如：

如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.

求证：四边形DECF为菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四边形DECF是平行四边形，故只要证一组邻边相等，过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H.再证△DGF≌△DHE即可.这种方法学生容易想到，三角形全等是证一组线段相等最常见的办法.

方法二：连接CD.由∠CAB、∠ABC的平分线交于点D可知点D是△ABC的内心，所以CD也平分∠ABC，这样很容易证得EC=ED.

通过这种形式的训练，在复习中强化发散思维，这样有利于知识结构的建立和认识上的飞跃，扩展学生的复习时间、学习空间和独立深化知识的自由度，为提高学生的能力创造了条件.在训练一题多解、一题多变、一法多用时，会很顺利地涉及逆向思维的问题，真正的逆向思维训练也是不可或缺的.

三、追求知识的灵活化，进行逆向思维训练.

逆向思维又称反向思维，是善于从不同的立场、角度、层次、侧面思考问题，执果索因，使思维序列方向从反方向开始.当思维过程中出现障碍时，能迅速转移到另一思路上，从而找到解决问题的方法，并能将输入的单一信息转化成一系列综合信息辐射出来.这样，就有利于防止学生理解僵化，思维定势，有利于拓展学生的解题思路，使所学的知识灵活化，提高解题能力.如：若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范围是：1≤x≤4

由此可见，强化逆向思维训练，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性和深刻性等，有利于克服由定向思维所造成的解题方法刻板和僵化.

在中考数学复习中进行思维训练，不可能一朝一夕就取得显著的效果.在进入复习阶段前，我都要制订较详细的计划，有系统、有重点地进行思维训练.经过努力，我所教的班级在重点中学实验班招生中和中考中取得了令人满意的成绩.2005届我所任教的两个班级有15人考取了重点中学的实验班（全昆山市共招200人），2008届我所任教的两个班级有20人考取了重点中学的实验班.难能可贵的是，学生普遍反映，我布置的作业量相对不多，没有“题海战”的烦恼，而知识、能力却不比其他平行的班级弱.这些成绩，应该归功于我在思维训练方面所做的探讨和尝试.endprint

在训练这道题时，体现了聚合思维的效果.我在引导学生分析解答过程中，常常冲破单一角度思考的框框，用多种方法显示出发散思维的功能.在聚合与发散的这种矛盾运动中，学生思维的深刻性与灵活性随之获得发展，使所学知识系统化.在此基础上，再进行发散思维的训练也就水到渠成了.

二、为使知识纵深化，进行发散思维训练.

发散思维是将输入的一中信息变成多种信息输出.即对单一的信息，沿着不同角度和方向思考，并依据规律、概念和梯形等产生多种想法，广开思路，提出新的假设、新的构思，发现和解决实际问题，培养学生的创造精神，使解题方法更富新意.一题多解，一题多变，一法多用等都是很好的形式，已被教学实践证明，对沟通和深化知识，引起发散思维，效果显著.例如：

如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.

求证：四边形DECF为菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四边形DECF是平行四边形，故只要证一组邻边相等，过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H.再证△DGF≌△DHE即可.这种方法学生容易想到，三角形全等是证一组线段相等最常见的办法.

方法二：连接CD.由∠CAB、∠ABC的平分线交于点D可知点D是△ABC的内心，所以CD也平分∠ABC，这样很容易证得EC=ED.

通过这种形式的训练，在复习中强化发散思维，这样有利于知识结构的建立和认识上的飞跃，扩展学生的复习时间、学习空间和独立深化知识的自由度，为提高学生的能力创造了条件.在训练一题多解、一题多变、一法多用时，会很顺利地涉及逆向思维的问题，真正的逆向思维训练也是不可或缺的.

三、追求知识的灵活化，进行逆向思维训练.

逆向思维又称反向思维，是善于从不同的立场、角度、层次、侧面思考问题，执果索因，使思维序列方向从反方向开始.当思维过程中出现障碍时，能迅速转移到另一思路上，从而找到解决问题的方法，并能将输入的单一信息转化成一系列综合信息辐射出来.这样，就有利于防止学生理解僵化，思维定势，有利于拓展学生的解题思路，使所学的知识灵活化，提高解题能力.如：若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范围是：1≤x≤4

由此可见，强化逆向思维训练，有利于培养学生思维的灵活性、广阔性和深刻性等，有利于克服由定向思维所造成的解题方法刻板和僵化.

在中考数学复习中进行思维训练，不可能一朝一夕就取得显著的效果.在进入复习阶段前，我都要制订较详细的计划，有系统、有重点地进行思维训练.经过努力，我所教的班级在重点中学实验班招生中和中考中取得了令人满意的成绩.2005届我所任教的两个班级有15人考取了重点中学的实验班（全昆山市共招200人），2008届我所任教的两个班级有20人考取了重点中学的实验班.难能可贵的是，学生普遍反映，我布置的作业量相对不多，没有“题海战”的烦恼，而知识、能力却不比其他平行的班级弱.这些成绩，应该归功于我在思维训练方面所做的探讨和尝试.endprint