例谈换元法在高中数学中的应用

巩诚德

摘 要：换元法是高中数学学习中重要的解题方法之一，利用换元法可以将数学中的难题化繁为简，提高数学解题的效率。教师要研究几种换元法在高中数学试题中的应用实例，以期能够起到抛砖引玉的作用。

关键词：高中数学；换元法；应用

数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解。本文通过几种类型的数学试题分析数学换元法的实际应用，以培养数学教与学过程中的换元思想，提高数学教与学的效益，真正地实施有效教学。

一、换元法概念

在解决数学问题时，依据所需要求解问题的特征，把某个式子作为一个整体，用一个变量去代替它，这就是换元思想，其解题的方法我们称之为换元法。换元的实质是通过映射转移、通过构造元和设元，进行等量代换，将问题转移到新对象的知识背景中去研究，把分散条件联系起来、隐含条件显示出来，或者把生疏的形式变换成熟悉的形式，把非标准型问题标准化、复杂问题简单化，并可使超越式转化为有理式、高次式转化为低次式，从而实现变未知为已知、化繁为简、化难为易、便于理解，提高解题的效率。

二、换元法在高中数学解题中的应用

换元理念渗透到高中数学中，即是体现数学解题中的换元思想。下面，本文就通过换元思想来解决高中数学中的部分具体问题，阐述换元思想方法的方法论意义，表明其对培养与提高学生解题能力的重要作用，以供参考。

例1 三角换元与均值换元的应用。

实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5 （ ①式） ，设S=x2+y2，求■+■的值。（1993年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1，于是进行三角换元，设x=■cosay=■sina，代入①式求S■和S■的值。

【解】设x=■cosay=■sina代入①式得：4S-5S·sinαcosα=5， 解得 S=■。

∵-1≤sin2α≤1， ∴3≤8-5sin2α≤13。∴■≤■≤■。

∴■+■=■+■=■=■。

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α=■的有界性而求，即解不等式：|■|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

例2 换元法在方程和方程组中的应用。

换元法在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。

注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元法都可以用。

解方程（x2+2x）2-14（x2+2x）-15=0。

解：设x2+2x=y，则原方程就变成y2-14y-15=0， ∴（y+1）（y-15）=0？圯y1=-1，y2=15。

当y=-1时， x2+2x=-1？圯x2+2x+1=0？圯（x+1）2=0？圯x1=x2=-1；

当y=15时，x2+2x=15？圯x2+2x-15=0？圯（x+5）（x-3）=0？圯x3=3，x4=-5。

即原方程的解為x1=x2=-1，x3=3，x4=-5。

说明：在这个例题中用换元法把高次方程化为低次方程，解方程就容易多了。

三、换元法给我们的启示

换元法作为高中数学中解题的重要方法之一，通过换元方法可以让一些非标准化的问题变得标准化，让复杂的问题变得简单化，对于解题可以起到很好的效果。同时，学生学会通过换元法考虑数学问题，可以有效地提升他们的数学解题效率，培养他们的解题能力，提高解题速度。

参考文献：

[1]张美文.用“和式换元”证明分式不等式：高二、高三[J].数

理天地，2004（4）..

[2]王悦琴.用换元：数形结合法求三角函数最值[J].甘肃教

育，2006（23）.

（甘肃省通渭县马营中学）