初中数形结合综合题型的“三部曲”

王一灵

所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合的思想方法把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象思维相结合。

初中数学中数形结合的综合题是中学数学的重要题型，也是中考考查的重点。这种题型的特点是集知识点于一体，新颖且富于变化，学生往往会感到难度大，不易下手。

的确，作为一种大型综合性的考查题型，不管是其考查的知识层面上讲，或是考查要求的水平上说，对于学生们在解答与操作上而言，都是一种难度极高的挑战。如何才能有效性做好这种题型的解题操作呢？其实，在解答此种题型时，若能时刻遵循与养成“三个定位”的解题操作：定位题意、定位图形、定位方法，就会为解题带来极大的帮助与提高。

一、定位题意

题意是整个综合题的主航线，主导线。每一个问题都包含有已知条件与未知结论，而许多学生总是抓着某些条件，特别是已知条件不放，把这些条件通过正向、侧向、逆向等挖掘得很丰富、很透彻，以为条件多，自然会为解答带来诸多的方便或突破。可没想到，条件多了，反而有时会为解答带来不必要的干扰，无形当中增加了自己的思维压力，使解题的定性思路被复杂化，更不易于解题突破口的寻求。

如何定位题意呢？定位题意就是即要抓住提供的已知条件，审出延伸出来的结论，更要抓住本综合题中最为要害的关键句来寻思，从中去索求题意着重研究的问题，及问题的出路与去向，再从中借助图形来转化与分析。

二、定位图形

图形是整个综合题中主航线的方向标或者说航线地图。都知道，船若离了地图，哪怕你是再高超的舵手，在茫茫的大海中，即使主航向再清晰也都会迷失的。

定位图形，就是根据上述定位出来的题意信息，通过图形来再作反馈与深究，把综合题提供过来的待定或不清题意与图形，把定位分析反馈出来的信息更准确化地体现与刻画出来，为解题寻求方法打开方便之门。简明地说，就是对图形要么适当通过辅助线的引入进行加工处理；要么是对图形中的干扰因素去除，进行简化的软加工处理。

三、定位方法

方法是解决问题的主轴，方法准确到位，就会避免少走弯路，或走进“死路”。熟练的操作能力，则更是为方法的准确展现、解题的到位提供精简完美的解答。事实上，初中数学数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：1.建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）解决有关几何问题；2.建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数；3.与函数有关的代数、几何综合性问题；4.以图像形式呈现信息的应用性问题。那这些都是为我们解答方法提供有力的思考依据。

下面就以两道中考为例点拨一下：

例1：（2011泉州）如图，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点。

（1）当点A的坐标为（ ，p）时，

①填空：p= ，m= ，∠AOE= ；

②如图2，连结QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。

（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化，请说明理由。

解题操作分析：问题（1）①、②略。

问题（2）①定位题意：关键问题的分析流程：

②定位图形：通过上述的分析，就可以把图形进行更深入精确化，放弃一些不必要的干扰因素，使图形更有针对性辅助于方法的思考引入。

③定位方法：有了图形的定位，加上题意定位主要关键是求点的坐标，通过图形分析，就是想到利用三角形相似来解决问题。

略解：在平移中，抛物线的形状及特征均不变，故所求的抛物线可通过y=ax2+k的图像平移得到可以将问题转化为：点D在y轴上，点M、N在x轴上进行探索，而图形的对称性可得点D为抛物线的顶点，依题意，设D（0，k）（k=2r-1>0），M（x1，0），N（x2，0）（x1

且当y=0时，解得x1、2=± 。

∴MF=NF=

又因易证得△MDF∽△EMF，可得MF2=FD·FE，

即（ ）2=k·1∴a=-1故a的值不变。

例2：（2013·威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+ 与直线y=x交于点A，点B在直线y= x+ 上，∠BOA=90°。抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E。

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M。试判断OD与CF是否平行，并说明理由。

解题操作分析：问题（1）（2）略。

分析：

问题（3）我们再次用“三个定位”来分析

①定位题意：关键问题的分析流程

②定位图形：通过上述分析，排除一些不必要的干扰因素，使图形更简单，问题更清楚，如下图：

③定位方法：有了图形的定位，加上题意定位主要关键是求点的坐标，通过图形分析，就可通过平行线的性质和平行线的判定来解决问题。

解答：

具体解答如下：

解：（1）由直线y= x+ 与直线y=x交于点A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴点A的坐标是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直线OB的解析式为y=﹣x.

又∵点B在直线 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴点B的坐标是（﹣1，1）.

综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴该抛物线的解析式为y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴顶点E的坐标是（ ，- ）；

（3）OD与CF平行.理由如下：

由（2）知，抛物线的对称轴是x= .

∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，

∴C（ ， ）.

设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直线BC的解析式为y=- x+ .

∵直线BC与抛物线交于点B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴点D的坐标是（ ， ）.

如图，作DN⊥x轴于点N.

则tan∠DON= = .

∵FE∥x轴，点E的坐标为（ ，- ）.

∴点F的纵坐标是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴点F的坐标是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x轴，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD与CF平行.

本题考查了二次函数综合题，其中涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点。此题难度较大。

（作者单位：福建泉州市泉港区第六中学）endprint

具体解答如下：

解：（1）由直线y= x+ 与直线y=x交于点A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴点A的坐标是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直线OB的解析式为y=﹣x.

又∵点B在直线 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴点B的坐标是（﹣1，1）.

综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴该抛物线的解析式为y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴顶点E的坐标是（ ，- ）；

（3）OD与CF平行.理由如下：

由（2）知，抛物线的对称轴是x= .

∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，

∴C（ ， ）.

设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直线BC的解析式为y=- x+ .

∵直线BC与抛物线交于点B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴点D的坐标是（ ， ）.

如图，作DN⊥x轴于点N.

则tan∠DON= = .

∵FE∥x轴，点E的坐标为（ ，- ）.

∴点F的纵坐标是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴点F的坐标是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x轴，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD与CF平行.

本题考查了二次函数综合题，其中涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点。此题难度较大。

（作者单位：福建泉州市泉港区第六中学）endprint

具体解答如下：

解：（1）由直线y= x+ 与直线y=x交于点A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴点A的坐标是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直线OB的解析式为y=﹣x.

又∵点B在直线 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴点B的坐标是（﹣1，1）.

综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴该抛物线的解析式为y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴顶点E的坐标是（ ，- ）；

（3）OD与CF平行.理由如下：

由（2）知，抛物线的对称轴是x= .

∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，

∴C（ ， ）.

设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直线BC的解析式为y=- x+ .

∵直线BC与抛物线交于点B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴点D的坐标是（ ， ）.

如图，作DN⊥x轴于点N.

则tan∠DON= = .

∵FE∥x轴，点E的坐标为（ ，- ）.

∴点F的纵坐标是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴点F的坐标是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x轴，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD与CF平行.

本题考查了二次函数综合题，其中涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点。此题难度较大。

（作者单位：福建泉州市泉港区第六中学）endprint