初中数学教学中的转化思想的思考

朱红萍

“曹冲秤象”“阿基米德测王冠”的故事已成为千古美谈。故事中，曹冲根据浮力原理，把秤大象的重量转化为秤船上石块的重量，阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。这两个故事中的曹冲和阿基米德都利用了数学中一个极为重要的思想：转化思想。即把有待解决的问题通过适当的方法，转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。这种转化思想，在数学中比比皆是。由此，探究一下初中数学中的转化思想很重要，也很必要。

所谓转化思想，通常是指将未知问题转化为已知问题，将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想方法，这种转化思想也常常发生在不同的数学问题之间互相转化之中。

数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊……从某种意义上讲，数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化，转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想方法。

一、转化思想在教材中的体现

转化思想是一种最基本的数学思想方法。实际上，我们在传授数学知识时，在解数学问题时，经常、反复地应用这一重要的思想方法，只是没有单独地、明显地把它提出来而已。《九年义务教育初中数学》教材处处贯穿了这一基本思想。从它的编排顺序和教材体系来看，往往前面的知识是为传授后面的新知识做准备，后面的新知识通常转化为前面的旧知识来解决。

代数教材中“有理数”一章，在学了有理数加法和相反数后，有理数的减法就可以转化为有理数的加法来进行；学了有理数乘法和倒数的概念之后，有理数的除法，又可以转化为有理数的乘法来进行了；而“方程”这一知识板块，环环相扣，由旧知引新知，把新知转化为旧知，转化思想更是淋漓尽致贯穿始终：分式方程整式化，通过去分母、换元法转化为一元一次方程或一元二次方程；无理方程有理化，通过方程两边平方、换元法转化为一元一次方程或一元二次方程；二元二次方程组降次化，通过降次转化为二元一次方程组，进而通过代入或加减消元转化为一元一次方程或一元二次方程；二元二次方程组消元化，通过代入消元转化为一元一次方程或一元二次方程，一元二次方程又通过因式分解转化为一元一次方程，一元二次方程的开平方法可以直接利用八年级代数求平方要的问题来解决，而配方法实际上是利用七年级代数的乘法公式对一元二次方程进行配方，然后转化为开平方来解决等。

几何教材中：把圆分割成n个全等的扇形，当n越来越大时，求圆的面积就可以转化为求矩形的面积；学习了三角形这一章知识后，四边形和多边形的问题可以转化为三角形问题来解决，如多边形的内角和可以转化为求几个三角形内角和之和；图形中的线段比转化为面积比，面积比又可以转化为线段比，复杂图形的面积计算又可以用“割”“补”的方法转化为几个简单图形的面积问题……

可以说，转化的思想贯穿了整个初中数学教材。

二、转化思想在解题中的应用

转化思想是分析问题和解决问题的一个基本思想，不少其他数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把顺向问题转化为逆向问题，把实际问题转化为数学问题等，因此，学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

1.把生疏问题转化为熟悉问题

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用已经学过的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此，教师更应深刻挖掘量变因素，将教材的抽象程度，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半功倍的效果。

2.把抽象问题转化为具体问题

许多初中学生碰到一些抽象问题时，往往遇到数学知识理解难、语言表达不顺畅的问题，我根据学生的不同智力情况，通过抽象的数学问题具体化，来达到初中数学学习的简单化。初中学生智力发展处于由具体的形象思维向抽象的逻辑思维的转化过程中，初中学生容易接受具体形象的知识，基于这一特点，数学老师对于一些抽象的数学问题，更要善于将其具体化。其中，教具的合理使用，PPT的灵活呈现，数形的有机结合等都是达到转化目的的有效方法。

3.把复杂问题转化为简单问题

数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较难（繁）的问题，通过分析将其转化成几个难度适合学生的思维水平的小问题，再根据这几个小问题之间的相互联系，以局部为整体服务，从而找到解题的思路。

复杂问题简化是数学解题中运用最普遍的一种思考方法。一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。同时，要注意提出的问题应该有一个适当的度，问题与问题之间存在逐步推进的梯度，这样有利于启发学生的思维。

4.把一般问题转化为特殊问题

特殊数，特殊式，特殊公式，特殊图形（包括图像）等虽然特殊，但也蕴含着一般的内在性质，因而有些一般数学问题表面上虽然没有突破口、入手之处，但只要我们认真分析找出题中隐蔽条件，转化为特殊问题，就会使问题迎刃而解。

5.把顺向问题转化为逆向问题

许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，习惯于顺向思维，即顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏观察能力、分析能力、创造能力和开拓精神。数学中的逆向思维方式随处可见，无论是概念、定义的学习，公式、法则的运用，还是定理、定律及性质的理解，解题的思维方法等都蕴含逆向思维。因此，教师应充分重视顺逆这个问题，发掘教材中互逆因素，有机训练和培养学生运用逆向思维来解决问题，提高学生分析和解决问题的能力，培养他们的创新思维。endprint

6.把实际问题转化为数学问题

数学来自于生活和生产实践，反过来，数学也是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，它能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明。其中数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是《新课标》强调的重点之一。在解决实际问题时，教师要重在分析，把实际问题转化为数学模型，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

数学转化思想是中学数学教学中最活跃，最实用的思想方法。除了上述六个方面问题外，数学中转化问题还有很多，如，不规则与规则，运动与静止，空间与平面，变量与常量，图形与符号等，凡此种种，不一而足。我们在教学中还应合理组织教学活动，加强新旧知识的联系，摒弃“题海战术”的教学模式，重视解题思路的概括解题，这对学生各种思维能力（包括数学转化能力）的提高是极其有益的。

三、转化思想在教学中的渗透

转化思想极其重要，其不仅表现在学习中，也表现在生活中，这种解决问题的策略性有利于发展学生的实践能力与创新精神。因此，我们在中学数学教学中，应当结合具体的内容，以转化思想为主旋律，渗透数学转化思想，有意识地培养学生会用“转化”思想解决问题，从而提高分析问题、解决问题的能力。

1.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法

数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过程中，应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的飞跃。

在计算有理数乘除混合运算时，把除以变为乘以，使两种运算转化为一种运算，这是多种运算向统一运算转化的体现、在二元、三元一次方程组的解法教学中，消元的思想就成为转化的指导思想，而代入法、加减法是这一指导思想产生的两种必然方法。当然，加强初中数学中转化思想的渗透，并不是靠对几个范例的分析就能解决的，而要靠在整个教学过程中站在方法论的高度讲出学生在课本里的字里行间看不出的奇珍异宝。

2.在问题的探索过程中，着力揭示数学思想方法

我们在平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措，总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成，而培养学生解决问题的综合能力又是数学教学的核心目标。在教学过程中教师要善于引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其中的因果关系，领悟它与其他知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的转化思想方法。若学生能在解决问题的过程中充分发挥转化思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素养。

当学生体验到成功的喜悦，他们的转化意识也逐渐得到培养，从而增强了他们运用“转化”这一数学思想解决新问题的信心。

3.在教学的小结和复习中，强化提炼数学思想方法

转化思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式融于数学知识的体系中。要使学生把这种思想内化成自己的观点并应用它来解决问题，作为教师，在具体的授课活动中，通过数学过程中的小结和复习，适时做出归纳和概括，将转化思想方法加以揭示，并使之表层化，使学生达到真正意义上的领会和掌握，增强学生对数学思想方法的应用意识。

在初中数学教学中，以转化为突破口渗透数学思想方法，可以走出就题论题，死套模式的怪圈，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质，必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节。数学思想是数学的生命和灵魂，是数学内容的进一步的提炼和概括，是对数学内容的本质认识。数学思想是数学发现、发明的关键和动力，更是提高数学解题能力的根本所在。因此在教学中除了重视转化思想外，还要注意向学生渗透其他数学思想，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。

（作者单位：上海市罗星中学）endprint