把握知识结构 优化练习设计

朱添斌+黄碧峰

数学知识是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，是按照知识之间特定的内在联系组成的结构系统。每一部分数学知识既是前面旧知识的延伸和生长，又是后续新知识的基础和铺垫。因此，教师在设计练习时必须把握内在联系所构成的数学知识结构，从整体上研读教材，从系统上寻求教材内容的内在联系，设计科学合理的对比、变式、题组练习，在练习中使学生掌握知识、形成技能、发展智力、培养能力，提高练习的实效性。

一、科学设计对比练习，减少学习的负迁移

在教学中，教师要科学设计对比练习，尽量减少学生学习的负迁移，积极引导正迁移，促进学生的有效学习。如在教学小数加减法之前，先复习整数加减法，因为整数加减法“相同数位要对齐”的算理对学习小数加减法可以起到正迁移的作用。但是在学了小数点对齐再加减的法则后，还要回过来与整数加减法进行比较，使学生进一步理解小数点对齐也就是“相同数位要对齐”。“小数点对齐”的竖式写法，有可能对以后学小数乘法的竖式写法起负迁移作用，所以笔者在教学小数乘法之后，又回过来设计了和小数加减法的竖式写法的对比练习，消除其干扰。

又如，学习了“四舍五入”法后，进行“进一法”与“去尾法”的对比练习。

（1）食堂买来9200克菜油，把它分装在同样大小的油瓶里，每只油瓶最多能装油1千克，要装完这些菜油，至少需要这种油瓶多少只？

（2）某窗帘店有一块18米的布用来做窗帘，每块窗帘5米，可以做几块窗帘？

可见，在教学中运用学习迁移规律时，教师要充分注意正迁移及其产生作用的条件，同时在一定程度上要减少甚至防止负迁移的消极影响。

二、合理设计变式练习，突出教学的重难点

练习设计的原则首先是目的性，在内容上要紧紧围绕教学重点和难点，做到突出重点和难点。所以，教师一要深入钻研教材，明确本课的重点和难点；二要深入研究学生学习的实际情况。

笔者在参加一次“平行四边形面积”的同课异构活动中发现，当学生探索出平行四边形的面积公式后，两位执教教师在练习环节上进行了不同的设计。

A教师设计了两个层次的练习。

（1）出示了一张表格，内容有底、高的数据，求面积（如下表）。

底 高 平行四边形面积

16米 25米

18厘米 10厘米

（2）给学生出了这样一道题：

如图1，一个平行四边形相邻的两条边分别是5.5厘米和4.8厘米，它的高是4厘米，求这个平行四边形的面积。

图1

学生解题有两种结果：5.5×4=22（平方厘米）；4.8×4=19.2（平方厘米）。然后组织学生讨论：你们认为这两个结果哪一个正确？还是两个都正确？

B教师设计了三个层次的练习。

（1）算一算：出示一个平行四边形（如图2），给出两条底边及两条高的数据，要求用两种方法计算出面积。

（2）说一说：出示在两条平行线之间画有若干个同底等高的平行四边形。（如图3，没有标数据）要求说出哪个平行四边形面积大，并说出理由。

（3）议一议：拉动用木条钉成，可以活动的平行四边形，我们看到它的底不变，而高发生了变化，随着高的变化，让学生讨论：面积的大小发生了怎样的变化？

图2

图3

两位教师在练习设计上都采用了变式练习，但不同的处理，收到了不同的效果。很明显，A教师的练习设计在教学重点上下功夫，忽略了教学难点。而B教师将练习的重心落在教学内容的重点和难点上，两者兼顾，相得益彰。

当然，练习设计把着力点放在重难点的同时，也要瞻前顾后，注意新旧知识的结合，设计一些综合性的题目，以提高学生的分析综合能力。如笔者在教学“方向与路线”（北师大版教材二下）之后，把方向、计算、平面几何图形三方面的知识综合设计在同一题里。

图4

在小兔的8个方向上画有8种几何图形（正方形、长方形、平行四边形、梯形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、圆），让学生填写什么图形在小兔的（ ）面。（如图4）

三、精心设计题组练习，形成知识的结构树

抓住数学知识间的内在联系组织练习，将具有一定联系的知识通过题组练习，沟通知识与思维间的联系，形成知识的结构树，使学生把已学知识纳入知识网络。

如在教学“百分数的应用”时，教师可将北师大版教材六上第33页“练习二”的第8题（如图5）设计成题组练习（为了便于计算，将原题中的数据适当调整）。

图5

（1）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年达到5万吨。2001年的产量是2002年的百分之几？2002年的产量是2001年的百分之几？2001年的产量比2002年少百分之几？2002年的产量比2001年增产了百分之几？

（2）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年的产量是2001年的125%。2002年苹果产量是多少万吨？

（3）某地区2001年苹果产量为4万吨，是2002年苹果产量的80%。2002年苹果产量是多少万吨？

（4）某地区2001年苹果产量为4万吨，比2002年的产量少20%。2002年苹果产量是多少万吨？

（5）某地区2002年苹果产量为5万吨，比2001年的产量多25%。2001年的产量是多少万吨？

（6）某地区2002年苹果产量为5万吨，2001年的产量比2002年少20%。2001年的产量是多少万吨？

通过题组练习，进一步提高学生分析数量关系的能力，巩固对有关百分数实际问题的解题方法。让学生在比较中，进一步沟通百分数乘除法之间的联系与区别，形成完整的认知结构。题组练习按照一定的梯度层层递进，内化算法，不同程度地提升学生的思维水平，达到巩固知识、提高技能和发展智能的目的，取得举一反三、事半功倍的效果。

又如，在教学北师大版教材六下“总复习——空间与图形”时，教师可以设计如下的题组练习。

（1）如图6，在正方体水槽里灌入水，固定底面的一边倾斜水槽时，你看到了什么情景？能不能找到一些关系和规律？

图6

（2）如图7，随着水槽的左右倾斜，a与b的大小也不断变化，但变中有没有不变之处？4人小组做实验找规律。

图7

随着水槽的倾斜变化，可以发现很多关系和规律，比如：水的体积没有发生变化，水的重量也没有发生变化；水面的面积发生变化，水体左右两个侧面是长方形；水体正面的左右边的长度之和相同，即a+b=定值R；水面的左右两边的长度不变；以水槽的底面和桌面的夹角作为倾斜角，倾斜角度越大，水面就越广阔。

（3）请写出长方体、正方体、圆柱体的体积公式；请写出长方体、正方体、圆柱体的表面积公式。

（4）请你计算下面图形（如图8）：底面是正三角形的三棱柱的体积、表面积。（单位：厘米）

图8

通过题组练习，不仅使学生沟通了立体图形中长方体、正方体、圆柱体体积公式之间的内在联系，还统一了柱体的体积公式和表面积公式，还以此推出了底面是正三角形的三棱柱的体积与表面积计算方法。这样，学生在观察、探究、想象、验证的过程中，促进了思维和能力的发展，形成了数学知识的基本结构。

（浙江省丽水市实验学校 323000

浙江省丽水市莲都区中山小学 323000）endprint

数学知识是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，是按照知识之间特定的内在联系组成的结构系统。每一部分数学知识既是前面旧知识的延伸和生长，又是后续新知识的基础和铺垫。因此，教师在设计练习时必须把握内在联系所构成的数学知识结构，从整体上研读教材，从系统上寻求教材内容的内在联系，设计科学合理的对比、变式、题组练习，在练习中使学生掌握知识、形成技能、发展智力、培养能力，提高练习的实效性。

一、科学设计对比练习，减少学习的负迁移

在教学中，教师要科学设计对比练习，尽量减少学生学习的负迁移，积极引导正迁移，促进学生的有效学习。如在教学小数加减法之前，先复习整数加减法，因为整数加减法“相同数位要对齐”的算理对学习小数加减法可以起到正迁移的作用。但是在学了小数点对齐再加减的法则后，还要回过来与整数加减法进行比较，使学生进一步理解小数点对齐也就是“相同数位要对齐”。“小数点对齐”的竖式写法，有可能对以后学小数乘法的竖式写法起负迁移作用，所以笔者在教学小数乘法之后，又回过来设计了和小数加减法的竖式写法的对比练习，消除其干扰。

又如，学习了“四舍五入”法后，进行“进一法”与“去尾法”的对比练习。

（1）食堂买来9200克菜油，把它分装在同样大小的油瓶里，每只油瓶最多能装油1千克，要装完这些菜油，至少需要这种油瓶多少只？

（2）某窗帘店有一块18米的布用来做窗帘，每块窗帘5米，可以做几块窗帘？

可见，在教学中运用学习迁移规律时，教师要充分注意正迁移及其产生作用的条件，同时在一定程度上要减少甚至防止负迁移的消极影响。

二、合理设计变式练习，突出教学的重难点

练习设计的原则首先是目的性，在内容上要紧紧围绕教学重点和难点，做到突出重点和难点。所以，教师一要深入钻研教材，明确本课的重点和难点；二要深入研究学生学习的实际情况。

笔者在参加一次“平行四边形面积”的同课异构活动中发现，当学生探索出平行四边形的面积公式后，两位执教教师在练习环节上进行了不同的设计。

A教师设计了两个层次的练习。

（1）出示了一张表格，内容有底、高的数据，求面积（如下表）。

底 高 平行四边形面积

16米 25米

18厘米 10厘米

（2）给学生出了这样一道题：

如图1，一个平行四边形相邻的两条边分别是5.5厘米和4.8厘米，它的高是4厘米，求这个平行四边形的面积。

图1

学生解题有两种结果：5.5×4=22（平方厘米）；4.8×4=19.2（平方厘米）。然后组织学生讨论：你们认为这两个结果哪一个正确？还是两个都正确？

B教师设计了三个层次的练习。

（1）算一算：出示一个平行四边形（如图2），给出两条底边及两条高的数据，要求用两种方法计算出面积。

（2）说一说：出示在两条平行线之间画有若干个同底等高的平行四边形。（如图3，没有标数据）要求说出哪个平行四边形面积大，并说出理由。

（3）议一议：拉动用木条钉成，可以活动的平行四边形，我们看到它的底不变，而高发生了变化，随着高的变化，让学生讨论：面积的大小发生了怎样的变化？

图2

图3

两位教师在练习设计上都采用了变式练习，但不同的处理，收到了不同的效果。很明显，A教师的练习设计在教学重点上下功夫，忽略了教学难点。而B教师将练习的重心落在教学内容的重点和难点上，两者兼顾，相得益彰。

当然，练习设计把着力点放在重难点的同时，也要瞻前顾后，注意新旧知识的结合，设计一些综合性的题目，以提高学生的分析综合能力。如笔者在教学“方向与路线”（北师大版教材二下）之后，把方向、计算、平面几何图形三方面的知识综合设计在同一题里。

图4

在小兔的8个方向上画有8种几何图形（正方形、长方形、平行四边形、梯形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、圆），让学生填写什么图形在小兔的（ ）面。（如图4）

三、精心设计题组练习，形成知识的结构树

抓住数学知识间的内在联系组织练习，将具有一定联系的知识通过题组练习，沟通知识与思维间的联系，形成知识的结构树，使学生把已学知识纳入知识网络。

如在教学“百分数的应用”时，教师可将北师大版教材六上第33页“练习二”的第8题（如图5）设计成题组练习（为了便于计算，将原题中的数据适当调整）。

图5

（1）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年达到5万吨。2001年的产量是2002年的百分之几？2002年的产量是2001年的百分之几？2001年的产量比2002年少百分之几？2002年的产量比2001年增产了百分之几？

（2）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年的产量是2001年的125%。2002年苹果产量是多少万吨？

（3）某地区2001年苹果产量为4万吨，是2002年苹果产量的80%。2002年苹果产量是多少万吨？

（4）某地区2001年苹果产量为4万吨，比2002年的产量少20%。2002年苹果产量是多少万吨？

（5）某地区2002年苹果产量为5万吨，比2001年的产量多25%。2001年的产量是多少万吨？

（6）某地区2002年苹果产量为5万吨，2001年的产量比2002年少20%。2001年的产量是多少万吨？

通过题组练习，进一步提高学生分析数量关系的能力，巩固对有关百分数实际问题的解题方法。让学生在比较中，进一步沟通百分数乘除法之间的联系与区别，形成完整的认知结构。题组练习按照一定的梯度层层递进，内化算法，不同程度地提升学生的思维水平，达到巩固知识、提高技能和发展智能的目的，取得举一反三、事半功倍的效果。

又如，在教学北师大版教材六下“总复习——空间与图形”时，教师可以设计如下的题组练习。

（1）如图6，在正方体水槽里灌入水，固定底面的一边倾斜水槽时，你看到了什么情景？能不能找到一些关系和规律？

图6

（2）如图7，随着水槽的左右倾斜，a与b的大小也不断变化，但变中有没有不变之处？4人小组做实验找规律。

图7

随着水槽的倾斜变化，可以发现很多关系和规律，比如：水的体积没有发生变化，水的重量也没有发生变化；水面的面积发生变化，水体左右两个侧面是长方形；水体正面的左右边的长度之和相同，即a+b=定值R；水面的左右两边的长度不变；以水槽的底面和桌面的夹角作为倾斜角，倾斜角度越大，水面就越广阔。

（3）请写出长方体、正方体、圆柱体的体积公式；请写出长方体、正方体、圆柱体的表面积公式。

（4）请你计算下面图形（如图8）：底面是正三角形的三棱柱的体积、表面积。（单位：厘米）

图8

通过题组练习，不仅使学生沟通了立体图形中长方体、正方体、圆柱体体积公式之间的内在联系，还统一了柱体的体积公式和表面积公式，还以此推出了底面是正三角形的三棱柱的体积与表面积计算方法。这样，学生在观察、探究、想象、验证的过程中，促进了思维和能力的发展，形成了数学知识的基本结构。

（浙江省丽水市实验学校 323000

浙江省丽水市莲都区中山小学 323000）endprint

数学知识是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，是按照知识之间特定的内在联系组成的结构系统。每一部分数学知识既是前面旧知识的延伸和生长，又是后续新知识的基础和铺垫。因此，教师在设计练习时必须把握内在联系所构成的数学知识结构，从整体上研读教材，从系统上寻求教材内容的内在联系，设计科学合理的对比、变式、题组练习，在练习中使学生掌握知识、形成技能、发展智力、培养能力，提高练习的实效性。

一、科学设计对比练习，减少学习的负迁移

在教学中，教师要科学设计对比练习，尽量减少学生学习的负迁移，积极引导正迁移，促进学生的有效学习。如在教学小数加减法之前，先复习整数加减法，因为整数加减法“相同数位要对齐”的算理对学习小数加减法可以起到正迁移的作用。但是在学了小数点对齐再加减的法则后，还要回过来与整数加减法进行比较，使学生进一步理解小数点对齐也就是“相同数位要对齐”。“小数点对齐”的竖式写法，有可能对以后学小数乘法的竖式写法起负迁移作用，所以笔者在教学小数乘法之后，又回过来设计了和小数加减法的竖式写法的对比练习，消除其干扰。

又如，学习了“四舍五入”法后，进行“进一法”与“去尾法”的对比练习。

（1）食堂买来9200克菜油，把它分装在同样大小的油瓶里，每只油瓶最多能装油1千克，要装完这些菜油，至少需要这种油瓶多少只？

（2）某窗帘店有一块18米的布用来做窗帘，每块窗帘5米，可以做几块窗帘？

可见，在教学中运用学习迁移规律时，教师要充分注意正迁移及其产生作用的条件，同时在一定程度上要减少甚至防止负迁移的消极影响。

二、合理设计变式练习，突出教学的重难点

练习设计的原则首先是目的性，在内容上要紧紧围绕教学重点和难点，做到突出重点和难点。所以，教师一要深入钻研教材，明确本课的重点和难点；二要深入研究学生学习的实际情况。

笔者在参加一次“平行四边形面积”的同课异构活动中发现，当学生探索出平行四边形的面积公式后，两位执教教师在练习环节上进行了不同的设计。

A教师设计了两个层次的练习。

（1）出示了一张表格，内容有底、高的数据，求面积（如下表）。

底 高 平行四边形面积

16米 25米

18厘米 10厘米

（2）给学生出了这样一道题：

如图1，一个平行四边形相邻的两条边分别是5.5厘米和4.8厘米，它的高是4厘米，求这个平行四边形的面积。

图1

学生解题有两种结果：5.5×4=22（平方厘米）；4.8×4=19.2（平方厘米）。然后组织学生讨论：你们认为这两个结果哪一个正确？还是两个都正确？

B教师设计了三个层次的练习。

（1）算一算：出示一个平行四边形（如图2），给出两条底边及两条高的数据，要求用两种方法计算出面积。

（2）说一说：出示在两条平行线之间画有若干个同底等高的平行四边形。（如图3，没有标数据）要求说出哪个平行四边形面积大，并说出理由。

（3）议一议：拉动用木条钉成，可以活动的平行四边形，我们看到它的底不变，而高发生了变化，随着高的变化，让学生讨论：面积的大小发生了怎样的变化？

图2

图3

两位教师在练习设计上都采用了变式练习，但不同的处理，收到了不同的效果。很明显，A教师的练习设计在教学重点上下功夫，忽略了教学难点。而B教师将练习的重心落在教学内容的重点和难点上，两者兼顾，相得益彰。

当然，练习设计把着力点放在重难点的同时，也要瞻前顾后，注意新旧知识的结合，设计一些综合性的题目，以提高学生的分析综合能力。如笔者在教学“方向与路线”（北师大版教材二下）之后，把方向、计算、平面几何图形三方面的知识综合设计在同一题里。

图4

在小兔的8个方向上画有8种几何图形（正方形、长方形、平行四边形、梯形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、圆），让学生填写什么图形在小兔的（ ）面。（如图4）

三、精心设计题组练习，形成知识的结构树

抓住数学知识间的内在联系组织练习，将具有一定联系的知识通过题组练习，沟通知识与思维间的联系，形成知识的结构树，使学生把已学知识纳入知识网络。

如在教学“百分数的应用”时，教师可将北师大版教材六上第33页“练习二”的第8题（如图5）设计成题组练习（为了便于计算，将原题中的数据适当调整）。

图5

（1）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年达到5万吨。2001年的产量是2002年的百分之几？2002年的产量是2001年的百分之几？2001年的产量比2002年少百分之几？2002年的产量比2001年增产了百分之几？

（2）某地区2001年苹果产量为4万吨，2002年的产量是2001年的125%。2002年苹果产量是多少万吨？

（3）某地区2001年苹果产量为4万吨，是2002年苹果产量的80%。2002年苹果产量是多少万吨？

（4）某地区2001年苹果产量为4万吨，比2002年的产量少20%。2002年苹果产量是多少万吨？

（5）某地区2002年苹果产量为5万吨，比2001年的产量多25%。2001年的产量是多少万吨？

（6）某地区2002年苹果产量为5万吨，2001年的产量比2002年少20%。2001年的产量是多少万吨？

通过题组练习，进一步提高学生分析数量关系的能力，巩固对有关百分数实际问题的解题方法。让学生在比较中，进一步沟通百分数乘除法之间的联系与区别，形成完整的认知结构。题组练习按照一定的梯度层层递进，内化算法，不同程度地提升学生的思维水平，达到巩固知识、提高技能和发展智能的目的，取得举一反三、事半功倍的效果。

又如，在教学北师大版教材六下“总复习——空间与图形”时，教师可以设计如下的题组练习。

（1）如图6，在正方体水槽里灌入水，固定底面的一边倾斜水槽时，你看到了什么情景？能不能找到一些关系和规律？

图6

（2）如图7，随着水槽的左右倾斜，a与b的大小也不断变化，但变中有没有不变之处？4人小组做实验找规律。

图7

随着水槽的倾斜变化，可以发现很多关系和规律，比如：水的体积没有发生变化，水的重量也没有发生变化；水面的面积发生变化，水体左右两个侧面是长方形；水体正面的左右边的长度之和相同，即a+b=定值R；水面的左右两边的长度不变；以水槽的底面和桌面的夹角作为倾斜角，倾斜角度越大，水面就越广阔。

（3）请写出长方体、正方体、圆柱体的体积公式；请写出长方体、正方体、圆柱体的表面积公式。

（4）请你计算下面图形（如图8）：底面是正三角形的三棱柱的体积、表面积。（单位：厘米）

图8

通过题组练习，不仅使学生沟通了立体图形中长方体、正方体、圆柱体体积公式之间的内在联系，还统一了柱体的体积公式和表面积公式，还以此推出了底面是正三角形的三棱柱的体积与表面积计算方法。这样，学生在观察、探究、想象、验证的过程中，促进了思维和能力的发展，形成了数学知识的基本结构。

（浙江省丽水市实验学校 323000

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