一类高次方程的求根问题

张翎

摘 要 高次方程的求根是一个比较复杂的问题，除一些特殊的方程外，大部分只能用计算方法求得方程的近似解。本文将多项式中最大公因式的理论运用于这一问题，讨论了一类特殊的高次方程的求根问题。

关键词 最大公因式 重根 不可约多项式 标准分解式

中图分类号：O151.2 文献标识码：A

Solution of an Equation of Higher Degree

ZHANG Ling

（College of Mathematics and Computer Science， Yunnan University of Nationalities， Kunming，Yunnan 650031）

Abstract Roots of high-order equation is a more complex problem， in addition to some special equation， the most they can obtain approximate solutions equation method of calculation. This article will use the greatest common divisor of the polynomial theory applied to this problem， discuss the issue of a special kind of rooting higher equations.

Key words greatest common factor； multiple roots； irreducible polynomial； standardized decomposition expression

1 一類高次方程的求根问题

设有高次方程 + + … + + = 0，如果多项式 （） = + + … + + 有重根，它就有重因式，如果能将其重因式去掉，那么 （）的次数就会降低，这就有助于求出 （） = 0的根。

由多项式的理论，如果不可约多项式 （）是多项式 （）的重因式（≥2），那么它就是 （）的导函数 （）的重因式（≥1），故 （）就是 （）与 （）的公因式，于是最大公因式（ （）， （））≠1，即其次数（ （）， （））>1，用（ （） （））去除 （）所得的商（） = 的次数就比 （）的次数低，并且它与 （）有完全相同的因式，从而有完全相同的根。这样，求高次方程 （） = 0的根的问题就转化为求次数较低的方程（） = 0的根。

事实上设 （）的标准分解式为，即不可约多项式 （）， （）， … （）分别是 （）的重，重，…，重因式，由最大公因式的理论，

于是，（） = = （） （）… （）。可见，（）没有重因式，但它与 （）具有完全相同的因式。当 （）有重因式时，（ （）， （））>1，于是（）的次数比 （）的次数低。用这样的方法求出 （）的不相同的根后，可以确定每一个根的重数，从而得到 （）的全部根（重根按重数计算）。关于重根，多项式理论中有下面的结论： = 是多项式 （）的重根的充分必要条件是 = 是 （）， （）， …，（）的根，但不是（）的根。

下面通过例子来说明这一方法。

例1. 求高次方程 2 + 7 + 9 = 0的根。

解：设 （） = 2 + 7 + 9， （）= 4 6 + 14 6，用辗转相除法求得 （）与 （）的最大公因式 （）= （ （）， （））= + 3，用 （）去除 （）得（）= = + 3，易得（）的根为 = + 和 = ，，也是 （）= 0的根。再来讨论这两个根的重数。

由于 （）= 0， （）= 0，但 （）≠0， （）≠0，可知，都是 （）= 0的二重根。由于 （）= 0为4次方程，所以它们是该方程的全部根。

有时（） = 0的根仍然不易求出，此时也可以先求出（ （）， （）） = 0的根，因为它们是 （）= 0的重根，故也是（） = 0的根，这样降低了（）的次数，从而比较容易求出（） = 0的其余根。

实际上，当 （） = （ （）， （））≠1时，它是 （）与 （）的公因式，从而是 （）的重因式，于是 （）= ，此时可以求出 （）与 （） 的根，它们都是 （）的根，并且 （）的次数比（）的次数低，因而求根也更容易。

例2. 求高次方程 + 4 + 6 12 16 8 = 0的根。

解：设 （）= + 4 + 6 12 16 8，用辗转相除法求得 （） = （ （）， （））= + 2 + 2，于是 （） = （），用带余除法可求得 （） = 2。

易见 （）的根为 = ， = -，又 （）的根为 = -1 + ， = -1 ，他们都是 （）的二重根。故 （）的全部根为 = （单根）， = -（单根）， = -1 + （二重根）， = -1 （二重根）。

如果 （）是有理系数多项式，并且它有有理根，可以结合有理系数多项式求有理根的方法，先求出 （）的有理根，这样可以降低 （）的次数，使计算更加容易。

关于有理系数多项式的有理根，多项式理论中有下面的两个结论：第一，如果有理数（其中与互素）是整系数多项式 （） = + + … + + 的根，那么|，|。第二，任一有理系数多项式 （）都可以表成一个有理数与一个本原多项式 （）的乘积 （） = （）。而本原多项式是一个整系数多项式。

例3. 求高次方程 + 3 + + 3 2 + 2 = 0的根。

解：设 （） = + 3 + + 3 2 + 2

由上面的第一个结论，如果 （）有有理根，只可能是？或？，代入验算，只有 （-1） = 0故 = -1是 （）的有理根。又 （-1）≠0，于是 = -1是 （）的单根。

设 （） = （ + 1） （），用带余除法求得 （） = 2 + 5 6 + 7 4 + 2，用辗转相除法求得 （）与 （）的最大公因式（ （）， （）） = + 1。

故 （） = （），用带余除法可得 （） = + 2，于是 （） = （ + 1）。

故 （）的全部根为 = -1（单根）， = + （二重根）， = （二重根）， = （单根）， = -（单根）。

2 结束语

用本文介绍的方法求高次方程 （）= 0的根，实际上是将 （）分解成 （） = （），分别求出和 （）的根，从而得到 （）的根。因此要求≠1，只有这样，才能将 （） 的求根问题转化为求两个次数较低的多项式和 （）的根。所以，只有当 （）有重根时， （）与 （）才不互素，这个方法才有意义。

参考文献

[1] 徐德余等.高等代数[M].成都：四川大学出版社，2002.

[2] 刘仲奎等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.