三角形里一个点

张景中

三角形中的一个点，居然导致经济学家致电几何学家，这里面藏有多少不为人知的奥秘？看似平凡的三角形却让众多数学家得出很多不平凡的结论，这里面真的暗藏玄机？一个小小的图形，却是数学家的万花筒，只要稍微一动，就会绽放光彩，如果信手拆开，原来只不过是几片涂有颜色的纸片而已……

一天，几何学家佩多教授接到了某位经济学家打来的电话. 这位经济学家向他请教：如果正三角形内有一个点P，那么，不管P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边距离之和是否总是不变的呢？

佩多教授马上给了让他满意的答复. 如图1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其实，那位经济学家大可不必为此去麻烦佩多教授，一个初中二年级的学生就能给他满意的答复，因为这个题目常常被选为平面几何的习题！不过，它当初还是数学家维维安尼的一条定理呢！

但是，这个小小的习题却启发我们：从平凡的事实出发，有时a能得到并不平凡的结论.

不是吗？把△ABC一分为三，这太平凡了. 但正是这一平凡的事实和另一个平凡的公式“三角形的面积等于底乘高之半”一结合，便得出一个有趣的结论.

就在三角形内随便放一个点，这里就有不少文章可做. 例如，在图2中，当然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面这个题目着眼于重心G所分的两线段之比，有的数学家想到了面积比，于是出了一些竞赛题 .

也许你不曾想到，三角形内的这个点也是数学家发现某些有名结论的源泉呢.

17世纪的法国数学家费马提出过这么一个问题：已知平面上有D，E，F 三点，寻求一点P，使（PD+PE+PF）最小.

事实上，在图1中，如果D，E，F恰巧是某个正三角形三边上的点，当PD，PE，PF分别与正三角形三边垂直时，P就是所要求的点.

不信，另选一点Q比比看. （QD+QE+QF）当然要比Q到△ABC三边距离之和要大！又Q到这三边距离和与P到这三边距离和是一样的（如果Q在△ABC外，Q到三边距离之和会更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

这就表明P到D，E，F距离之和比任意另一点到这三点的距离都小！

如何确定点P呢？在图1中，因为∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如图4，在EF边和DE边上分别向外作正三角形△EFR和△DES. 再作这两个正三角形的外接圆交于不同于E的点P. 因为∠DPE与∠S互补，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，当然∠DPF也是120°. 过D，E，F分别作PD，PE，PF的垂线，三条线自然围成正三角形.

这样，费马的问题就被解决了，这是卡瓦利列首先发现的方法.

要补充一句的是：如果∠DEF=120°，两圆的交点便不会落在△DEF之内，这时，P应当取在E点.

三角形中一个点，这样简简单单的图形变出了多少花样啊！数学家眼里，一个基本图形就像孩子手里的万花筒，稍一转动，就会出现一种美丽的花朵图案. 但拆开来，只是几片不起眼的涂有颜色的纸片而已.endprint

三角形中的一个点，居然导致经济学家致电几何学家，这里面藏有多少不为人知的奥秘？看似平凡的三角形却让众多数学家得出很多不平凡的结论，这里面真的暗藏玄机？一个小小的图形，却是数学家的万花筒，只要稍微一动，就会绽放光彩，如果信手拆开，原来只不过是几片涂有颜色的纸片而已……

一天，几何学家佩多教授接到了某位经济学家打来的电话. 这位经济学家向他请教：如果正三角形内有一个点P，那么，不管P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边距离之和是否总是不变的呢？

佩多教授马上给了让他满意的答复. 如图1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其实，那位经济学家大可不必为此去麻烦佩多教授，一个初中二年级的学生就能给他满意的答复，因为这个题目常常被选为平面几何的习题！不过，它当初还是数学家维维安尼的一条定理呢！

但是，这个小小的习题却启发我们：从平凡的事实出发，有时a能得到并不平凡的结论.

不是吗？把△ABC一分为三，这太平凡了. 但正是这一平凡的事实和另一个平凡的公式“三角形的面积等于底乘高之半”一结合，便得出一个有趣的结论.

就在三角形内随便放一个点，这里就有不少文章可做. 例如，在图2中，当然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面这个题目着眼于重心G所分的两线段之比，有的数学家想到了面积比，于是出了一些竞赛题 .

也许你不曾想到，三角形内的这个点也是数学家发现某些有名结论的源泉呢.

17世纪的法国数学家费马提出过这么一个问题：已知平面上有D，E，F 三点，寻求一点P，使（PD+PE+PF）最小.

事实上，在图1中，如果D，E，F恰巧是某个正三角形三边上的点，当PD，PE，PF分别与正三角形三边垂直时，P就是所要求的点.

不信，另选一点Q比比看. （QD+QE+QF）当然要比Q到△ABC三边距离之和要大！又Q到这三边距离和与P到这三边距离和是一样的（如果Q在△ABC外，Q到三边距离之和会更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

这就表明P到D，E，F距离之和比任意另一点到这三点的距离都小！

如何确定点P呢？在图1中，因为∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如图4，在EF边和DE边上分别向外作正三角形△EFR和△DES. 再作这两个正三角形的外接圆交于不同于E的点P. 因为∠DPE与∠S互补，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，当然∠DPF也是120°. 过D，E，F分别作PD，PE，PF的垂线，三条线自然围成正三角形.

这样，费马的问题就被解决了，这是卡瓦利列首先发现的方法.

要补充一句的是：如果∠DEF=120°，两圆的交点便不会落在△DEF之内，这时，P应当取在E点.

三角形中一个点，这样简简单单的图形变出了多少花样啊！数学家眼里，一个基本图形就像孩子手里的万花筒，稍一转动，就会出现一种美丽的花朵图案. 但拆开来，只是几片不起眼的涂有颜色的纸片而已.endprint

三角形中的一个点，居然导致经济学家致电几何学家，这里面藏有多少不为人知的奥秘？看似平凡的三角形却让众多数学家得出很多不平凡的结论，这里面真的暗藏玄机？一个小小的图形，却是数学家的万花筒，只要稍微一动，就会绽放光彩，如果信手拆开，原来只不过是几片涂有颜色的纸片而已……

一天，几何学家佩多教授接到了某位经济学家打来的电话. 这位经济学家向他请教：如果正三角形内有一个点P，那么，不管P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边距离之和是否总是不变的呢？

佩多教授马上给了让他满意的答复. 如图1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其实，那位经济学家大可不必为此去麻烦佩多教授，一个初中二年级的学生就能给他满意的答复，因为这个题目常常被选为平面几何的习题！不过，它当初还是数学家维维安尼的一条定理呢！

但是，这个小小的习题却启发我们：从平凡的事实出发，有时a能得到并不平凡的结论.

不是吗？把△ABC一分为三，这太平凡了. 但正是这一平凡的事实和另一个平凡的公式“三角形的面积等于底乘高之半”一结合，便得出一个有趣的结论.

就在三角形内随便放一个点，这里就有不少文章可做. 例如，在图2中，当然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面这个题目着眼于重心G所分的两线段之比，有的数学家想到了面积比，于是出了一些竞赛题 .

也许你不曾想到，三角形内的这个点也是数学家发现某些有名结论的源泉呢.

17世纪的法国数学家费马提出过这么一个问题：已知平面上有D，E，F 三点，寻求一点P，使（PD+PE+PF）最小.

事实上，在图1中，如果D，E，F恰巧是某个正三角形三边上的点，当PD，PE，PF分别与正三角形三边垂直时，P就是所要求的点.

不信，另选一点Q比比看. （QD+QE+QF）当然要比Q到△ABC三边距离之和要大！又Q到这三边距离和与P到这三边距离和是一样的（如果Q在△ABC外，Q到三边距离之和会更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

这就表明P到D，E，F距离之和比任意另一点到这三点的距离都小！

如何确定点P呢？在图1中，因为∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如图4，在EF边和DE边上分别向外作正三角形△EFR和△DES. 再作这两个正三角形的外接圆交于不同于E的点P. 因为∠DPE与∠S互补，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，当然∠DPF也是120°. 过D，E，F分别作PD，PE，PF的垂线，三条线自然围成正三角形.

这样，费马的问题就被解决了，这是卡瓦利列首先发现的方法.

要补充一句的是：如果∠DEF=120°，两圆的交点便不会落在△DEF之内，这时，P应当取在E点.

三角形中一个点，这样简简单单的图形变出了多少花样啊！数学家眼里，一个基本图形就像孩子手里的万花筒，稍一转动，就会出现一种美丽的花朵图案. 但拆开来，只是几片不起眼的涂有颜色的纸片而已.endprint