谈通过“变式”培养数学能力

赵默然

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）01-0020-01

所谓变式，是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题背景进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化。但万变不离其宗，就是为了帮助学生多方面、多层次地理解同一个问题，以求深入浅出。在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地在教学过程中，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，大胆创新、勇于探索的精神。

概括地讲，变式可分为概念定义变式、定理公式变式、解题思维变式三类。下面就这三个方面谈一下自身的体会。

一、概念定义变式

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，揭示其内涵与外延，比数学概念、定义的本身更为重要。在形成概念的过程中，可以利用变式，引导学生积极参与形成概念的全过程，提高学生学习的积极性，并通过多样化的变式，逐步培养学生的观察、分析以及概括的能力。

例如，在两条异面直线的公垂线概念教学中，可给出如下变式训练，以明确异面直线公垂线与其相关概念在外延上的逻辑关系，从而达到能力培养与知识共进的目的。

1.填空：

和两条异面直线都_________的直线，叫做两条异面直线的公垂线。

2.判断下列语句的对或错，并说明理由

（1）空间两条直线垂直，可能是相交，也可能是异面。

（2）和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线。

（3）两条异面直线的公垂线有无数条。

（4）若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d//c，则d和a、b的公共点至多有一个。

概念教学的同时，也要明确概念的应用。通过设计变式训练，从多角度强化概念的实践应用，也是对概念的进一步巩固和掌握。

二、定理公式变式

数学能力的发展和形成，还有赖于掌握定理、公式去进行推理论证和演算，而掌握定理和公式的关键在于理解定理和公式中的关键词，明确定理的真正涵义。

如在棱锥的教学中，对棱锥截面的性质定理（如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比），可作如下的变式：

变式1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得棱锥和已知棱锥的对应线段的平方比。

变式2：如果棱锥被平行底面的平面所截，那么截得棱锥和已知棱锥的侧面积（或全面积）的比等于对应线段的平方比。

变式3：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得棱锥和已知棱锥的体积比，等于对应线段的立方比。

定理公式的变形还要体现其实用的价值，从而提高定理公式的应用效能。如在讲授两角和正切公式之后，可以提供以下一些公式变形：

三、解题思维变式

在解题教学中，变式仍不失为一个有力的工具，这时变式经常表现为两类：一类为解的变式，即“一题多解”；一类为题的变式，即“一题多变”。

对于解的变式来论，当从某角度难以入手时，换一个角度常会有意外的收获。观察角度的灵活多变、各种不同思路和不同方法的比较分析，是形成创新能力、创新意识的源泉。精选习题时可有意偏向那些可用多种思路来完成的典型题，并鼓励学生不拘泥于常规方法，寻求变异，敢于创新。例如：给出三点坐标，证明三点共线问题。可用直线斜率知识证明，也可运用向量知识证明。另外，教学中也常把一些题目的条件和结论适当改变，得出一系列题目，即一题多变使一题变多题。

例如高中数学课本其中一道例题，教学时可变式如下：

变式二：已知 o

变式三：求函数f（x）=x（1—3x） （0

教学实践证明，通过变式有利于避免“题海战术”的重复训练倾向，从而减轻学生的过重负担，真正把能力培养落到实处。以上是本人在变式教学与能力培养上所做的一点尝试。

（责任编辑 刘凌芝）