L-fuzzy拓扑空间的可数强F紧性理论研究

万诗敏

(天津城建大学 理学院，天津 300384)

基础学科

L-fuzzy拓扑空间的可数强F紧性理论研究

万诗敏

(天津城建大学 理学院，天津 300384)

利用α−远域族的工具，在L−fuzzy拓扑空间中引进可数强F紧性，研究了可数强F紧性的刻划问题．证明了可数强F紧性是“L−好的推广”、对闭子集遗传以及是F完备映射的逆不变量，同时，系统地研究了可数强F紧性的一些特征性质．

L−fuzzy拓扑空间；α−远域族；可数强F紧性；γ−复盖；L−好的推广；α−ω聚点

紧性是拓扑空间中最重要的一种拓扑性质，1968年，C.L.Chang 以L.A.Zadeh的模糊集理论为基础，在文献[1]中首先引入了L−fuzzy拓扑空间的紧性概念以来，许多学者就对模糊紧性理论进行了一系列的研究．由于L−fuzzy拓扑空间理论多了一个层次结构，其紧性远比一般拓扑学中紧性复杂，而且表现形式也是多种多样、彼此各异的．如：良紧性、可数紧性、仿紧性、实紧性和配紧性等[2-9]．

经过40多年的不断发展，L−fuzzy拓扑空间模糊集理论已经得到了非常充分的发展与完善，模糊紧性理论研究也取得了许多创新的结果[10-14]．例如，艾为鸿在文献[15]中，基于强F紧集提出了六种局部强F紧性，在文献[16]中引入了可数强F紧空间及可数F紧空间．

基于上述的研究成果，本文从层次结构出发，以α−远域族、α−聚点、α−ω聚点为工具，在L−fuzzy拓扑空间中(以下简称为LF拓扑空间)引进可数强F紧性的概念，同时研究解决了可数强F紧性的刻划与性质问题．证明了它是“L−好的推广”、对闭子集遗传以及是F完备映射的逆不变量，同时，系统地研究讨论了可数强F紧性的一些特征性质．

1 预备知识

在本文中，L表示Fuzzy格，即具有逆序对合对应“′”的完全分配格[17]．(L,∨,∧,′)是完全分配的De Morgan代数．X是非空分明集合，X到L的映射就是L−fuzzy集，其全体记作LX．LX中最小元和最大元分别记为0X和1X．

L中元素a称为素元，如果a≥b∧c蕴含a≥b或a≥c．L中元素a称为余素元，如果a′是素元[18]．中非零余素元之集记为M(L)．LX中非零余素元之集记为M(LX)，当L为Fuzzy格时，非零余素元也称为分子，M(LX)中每个元素称为点[19-20]．本文中所讨论的不分明映射f∶LX→LY均为由某个分明映射f∶X→Y所诱导的L值Zadeh型函数．若无其它特殊说明，本文中其他所使用的概念和符号均取自文献[3]．

定义1设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，Φ⊂δ′，α∈M(L)．则

(1) 称Φ为A的α−远域族，记作∧Φ＜A(α)，如果对A中的每个高度为α的分子xα(xα≤A)，有P∈Φ，使得P∈η(xα)(η(xα)表示分子xα的全体闭远域之集)；

(2) 称Φ为A的α−−远域族，记作∧Φ≪A(α)，如果存在γ∈β∗(α)，使得∧Φ＜A(γ)，(其中β∗(α)=M(L)∩β (α)，β(α)是α的极小集)．

当A中确有高度等于α的点时，A的α−远域族和α−−远域族都是非空闭集族．

定义2[21]设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，μ⊂δ，γ是L的素元，且γ＜1．则

(1) 称μ为(LX,)δ的γ−复盖，或简称μ为γ−复盖，如果对任意x∈X，有U∈μ，使

(2) 设α∗(γ)是γ的异于1的元素组成的极大集，称μ为γ+−复盖，如果存在s∈α∗(γ)，使μ是s−复盖．

定义3设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)．则

(1) 称A为良紧集，如果对A的任意α−远域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ构成A的α−−远域族(这时也称Ψ是Φ的关于A的有限子α−−远域族)．称(LX,δ)为良紧空间，如果当最大的L−fuzzy集1X是良紧集．

(2) 称A为强F紧集，如果对A的任意α−远域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ构成A的α−远域族．称(LX,δ)为强F紧空间，如果当最大的L−fuzzy集1X是强F紧集．

(3) 称A为F紧集，如果对A的任意α−−远域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ构成A的α−−远域族．称(LX,δ)为F紧空间，如果当最大的L−fuzzy集1X是F紧集．

定义4[22]设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)．则连续映射f∶(LX,δ)→(LX,μ)称作L−不分明完备映射，简称F完备映射，如果f为闭映射，且对∀e∈M∗(LX)，f−1(e)为(LX,δ)中的良紧集．

2 可数强F紧性的刻划与理论

定义5设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)．如果对A的任意可数α−远域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ构成A的α−远域族，则称A为可数强F紧集．如果当最大的L−fuzzy集1X是可数强F紧集时，则称(LX,δ)为可数强F紧空间．

定义6[23]设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)，xλ∈M(LX)．

(1) 称xλ为A的α−ω聚点，如果对于xλ的任一闭远域P，存在A中高为α的无限个分子以P为远域．

(2) 称xλ为A的α−聚点，如果对于xλ的任一闭远域P，存在A中高为α的承点异于x的分子以P为远域．

由上述定义以及文献[3]，可以得到下面的结论．

定理 1 良紧性⇒强F紧性⇒F紧性．

定理2[24]设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)，则A是可数强F紧集的当且仅当∀α∈M(L)，A中每个常值α−序列皆有高为α的属于α的聚点．

定理2是一般拓扑学中相应定理的推广，它的证明源于文献[24]．

定理3设(LX,δ)是LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)，则A是可数强F紧集的当且仅当∀α∈M(L)，A中每个α−可数无限集皆有高为α的α−ω聚点．

证明：设A是可数强F紧集，α∈M(L)，B是A中的α−可数无限集，则可取出B中的一个常值α−序列{xαk}k∈N，使得{xk|k∈N}是一个无限集．由A是可数强F紧集及定理2知，其有高为α的属于A的聚点xα，可见xα是B的α−ω聚点．

反之，设α∈M(L)且S={S(n)|n∈N}是A中的常值α−序列．若S的承点仅有有限个，则S中必有承点相同的一个子列，此时S显然有高为α的属于A的聚点．若S的承点有无限多个，令B=n∨∈NS(n)，则B是A中的α−可数无限集．设xα是B在A中的α−ω聚点，则可知xα是S的聚点．于是由定理2知A是可数强F紧集．

定理 4 设(LX,δ)是T1的LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)，xλ∈M(LX)，则xλ是A的α−聚点当且仅当xλ是A的α−ω聚点．

证明：只需证明充分性．设xλ是A的α−聚点，则对于xλ的任一闭远域P，存在，使得以P为远域．由(LX,δ)的T1性知是xλ的闭远域．进而存在，使得以为远域．显然x1≠x2，…，如此下去，B中有无数个高为α的分子以P为远域．所以xλ是A的α−ω聚点.

由定理3和定理4可得下面定理．

定理 5[24]设(LX,δ)是T1的LF拓扑空间，A∈LX，α∈M(L)，则A是可数强F紧集当且仅当∀α∈M(L)，A中每个α−可数无限集皆有高为α的α−聚点．

3 可数强F紧性的特征性质研究

定理 6 设(LX,δ)是LF拓扑空间，A，B∈LX，如果A是可数强F紧集，B∈δ′，则A∧B是可数强F紧集．

证明：因为A是可数强F紧集，且B∈δ′，设Φ为A∧B的任意可数α−远域族，则对于A中的任一分子xα，当xα≤B 时，xα是A∧B中的分子．由定义1知，Φ中有xα的闭远域；当时，则Φ∪{B}中的B就是xα的闭远域，所以则Φ∪{B}是A的α−远域族．注意到Φ可数，显然Φ∪{B}也可数，则Φ∪{B}是A的可数α−远域族．又因为A是可数强F紧集，则Φ∪{B}有有限子族Ψ构成A的α−远域族．这时Ψ−{B}就是Φ的有限子族，并且是A∧B的α−远域族，所以由定义5知，A∧B是可数强F紧集．

推论1 LF拓扑空间中的可数强F紧空间的任一闭子集可数强F紧性的，即LF拓扑空间中的可数强F紧性具有对闭子集的遗传性．

定理 7 LF拓扑空间中的可数强F紧空间是F完备映射的逆不变量．即，设(LX,δ)与(LY,μ)是LF拓扑空间，f∶(LX,δ)→(LY,μ)是闭的L值Zadeh型函数且为F完备映射(即∀yα∈M(LX)，f−1(yα)是良紧集)，若B是(LY,μ)中的任一可数强F紧集，则f−1(B)是(LX,δ)中的可数强F紧集．

证明：∀α∈M(L)，设Φ是f−1(B)中的任意可数α−远域族，∀yα≤B，因为f是F完备映射，则f−1(yα)≤f−1(B)，所以f−1(yα)是(LX,δ)中的良紧集，从而是可数强F紧集．因此，Φ是f−1(yα)的可数α−远域族，由定义5知，存在Φ的有限子族Φy，使得Φy成为f−1(yα)的α−远域族．因此，∀P∈Φy，存在Q∈ηY(yα)使得P≤f−1(Q)，从而存在Qy∈ηY(yα)，使得∧Φy≤f−1(Qy)．

定理 8 LF拓扑空间(LX,δ)是可数强F紧空间当且仅当每个可数γ−复盖μ都有有限子族Ψ，使得Ψ是γ−复盖(γ是异于1的素元)．

证明：(1)必要性．设LF拓扑空间(LX,δ)是可数强F紧空间，μ是可数γ−复盖，其中γ＜1且为素元．令Φ= μ′，则Φ是可数γ′−远域族，事实上，Φ是闭集族，且对∀x∈X，有P=U′∈Φ使得即．因为γ是异于1的素元，故γ′∈M(L)．由知，P∈η(xγ′)，这表明Φ是可数γ′−远域族，由极大集与极小集的关系知，因为LF拓扑空间(LX,δ)是可数强F紧空间，μ有有限子族Ψ，使得Ψ′=Φ构成γ′−远域族．这等价于Ψ构成γ−复盖．故μ有有限子族Ψ，使得Ψ是γ−复盖．

(2) 充分性．设每个可数γ−复盖都有有限子族构成γ−复盖，且Φ是任意可数α−远域族(α∈M(L))．令μ=Φ′且γ=α′，则μ是可数γ−复盖．事实上，，存在P∈Φ使得，即，亦即，其中U=P′∈μ．由α是分子知，则γ是异于1的素元．这表明∀x∈X，存在U∈μ，使得可见μ是 γ−复盖，又由Φ可数知μ也可数．以Ψ记由μ的有限子族组成的γ−复盖，令Ψ=μ′，则Ψ是Φ的有限子族．所以，Ψ是α−远域族，故LF拓扑空间(LX,δ)是可数强F紧空间．

上述定理表明，LF拓扑空间中的可数强F紧空间可以进行复盖式刻划．下面定理指出，可数强F紧性是“L−好的推广”．

定理 9 设(LX,ωL(τ))是由分明拓扑空间(X,τ)拓扑生成的LF拓扑空间，则(LX,ωL(τ))是可数强F紧空间当且仅当(X,τ)是可数紧空间．

证明：(1) 必要性．设μ是(X,τ)的任意可数开复盖，∀U∈μ，令PU=χU′则Φ={PU|U∈μ}是(LX,ωL(τ))的可数α−远域族(α∈M(L))．因为(LX,ωL(τ))是可数强F紧空间，所以Φ有有限子族Ψ={PU1,PU2,…,PUn}构成α−远域族．这时{U1, U2,…,Un}就是μ的有限子复盖，所以(X,τ)是可数紧空间．

(2) 充分性．设Φ={P1, P2,…}是(LX,ωL(τ))的任意可数α−远域族设(α∈M(L))，∀t∈{1,2,…}，令，则μ={Ut|t ∈{1,2,…}}是 (X,τ)的可数开复盖．事实上，由Φ可数显然推出μ可数．因为α是分子，则α′异于1的素元．所以∀Pt∈Φ，Pt是(LX,ωL(τ))中的闭集，，即Pt′是X上的L值下半连续函数．由文献[3]定理2.11.3知，即∀t ∈{1,2,…}，Ut∈τ．又∀x∈X，xα是(LX,ωL(τ))中的一分子，则有Pt∈Φ使得Pt∈η(xα)，即所以x∈Ut．这就证明了μ是(X,τ)的开复盖．因为(X,τ)是可数紧空间，所以μ有有限子复盖，这时是Φ的有限子族，同时是(LX,ωL(τ))的α−远域族，所以(LX,ωL(τ))是可数强F紧空间．

推论 2 LF拓扑空间中的可数强F紧性是“L−好的推广”．

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The Countable Strong F Compactness Theory Research of L-fuzzy Topological Space

WAN Shi-min
(School of Science，Tianjin Chengjian University，Tianjin 300384，China)

This paper utilizes α-remote neighborhood family of tools，introduces countable strong F compactness in L-fuzzy topological space，and researches the characterizations of countable strong F compactness. It is proved that countable strong F compactness is the “L-good extension”，hereditary with closed subsets and is an inverse invariant of L-fuzzy perfect mappings. Meanwhile，the author systematically studies some characteristic properties of countable strong F compactness.

L-fuzzy topological space；α-remote neighborhood；countable strong F compactness；γ-cove；L-good extension；α-ω accumulation point

0189

A

2095-719X(2014)03-0225-04

2014-03-24；

2014-04-28．

天津市教委重点课题(C04-0832)；天津城建大学教育教学改革与研究项目(13-JG-1227)

万诗敏（1977—），男，安徽潜山人，天津城建大学副教授，硕士.