环中Lie理想上的右导子

王奕涵,王云庆

(吉林师范大学 数学学院,吉林 长春 130103)

1 引言

环论是代数学的基础，有许多其它相关的学科都涉及到环的知识．而一个环中，导子的性质与环的构造有深刻的联系，所以利用对导子的研究来讨论环的性质具有重大的意义．自从1957年，E.C．Posner[1]证明了带有非零中心化导子的素环一定是交换环后，许多学者从不同的方面，利用大量的方法推广了Posner的定理，并取得了丰硕的成果．例如1969年，Herstein[2]的一个重要结果表明：在2-扭自由素环上，任意的Jordan导子是导子；随后Bresar[3]给出了这个结果的简单证明；Awtar[4]在1984年又将这一结果推广到Lie理想上；而M.Ashraf[5]通过对环R的限制(2-扭自由素环)，获得了任意Jordan左导子是左导子的结果，并在Lie理想上得到了一些恒等式，受M.Ashra的结果的启发，我们在环的Lie理想中将左导子进行推广，得到了一些恒等式并给出证明.

2 预备知识

本文中，R表示带有中心为Z的结合环.有交换子[x,y]=xy-yx.

定义1 设非空的集合R有两个代数运算，一个称为加法，用+表示，另一个称为乘法，用·表示，如果对任意a,b,c∈R，有

(1)R对加法做成一个加群；

(2)R对乘法满足结合律，(ab)c=a(bc)，即是一个半群；

(3)乘法对加法满足结合律，a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca；

则称R对这两个代数运算做成环.

定义2 若环R满足aRb=0，有a=0或b=0，则称R为素环．

定义3 设M是一个R-模，如果有r∈R，r≠0，使ra=0，则称M中元素a为扭元素；如果不存在R中非零元素r使ra=0，则a称为自由的．

定义4 若满足[u,r]∈U，u∈U，r∈R,则环R的可加子群U称为R的Lie理想．

定义5 对所有的x,y∈R，若有d(xy)+xd(y)+yd(x)成立,则可加映射d:R→R称为左导子.

注：环R上任意一个左导子是Jordan左导子，然而Jordan左导子不一定是左导子，除非当环R是2-扭自由素环时，有Lie理想中的任意Jordan左导子是左导子．

类似的，给出右导子定义.

定义6 对所有的x,y∈R，若满足d(xy)=d(x)y+d(y)x,则可加映射d:R→R称为右导子.

3 主要结果

首先给出以下引理，这些结果对定理的证明有很大的帮助.

引理1 设R是任意的环，U是R的Lie理想，且满足u2=U，u∈U，则对任意的u,v∈U，有2uv∈U成立.

引理2 令R是2-扭自由素环，对a,b∈R，满足aUb=0，则a=0或b=0.

引理3 若U⊄Z是2-扭自由素环R的Lie理想，如果满足[U,V]⊆Z，则U⊆Z．

引理4 令R是2-扭自由的环，U是R的Lie理想，对所有u∈U，有u2=U.若可加映射d:R→R，满足d(u2)=2ud(u)，u∈U，则：

(i)d(uv+vu)=2ud(v)+2vd(u);

(ii)d(uvu)=u2d(v)+3uvd(u)-vud(u);

(iii)d(uvw+wvu)=(uw+wu)d(v)+3uvd(w)+3wvd(u)-vud(w)-vwd(u);

(iv)[u,v]ud(u)=u[u,v]d(u);

(v)[u,v](d(uv)-ud(v)-vd(u))=0;其中u,v,w∈U.

定理1 令R是2-扭自由的环，U是R的Lie理想，对所有u∈U，有u2=U.若d:R→R是可加映射，且满足d(u2)=2d(u)u，u∈U，则

(i)d(uv+vu)=2d(u)v+2d(v)u;

(ii)d(uvu)=d(v)u2+3d(u)vu-d(u)uv;

(iii)d(uvw+wvu)=d(v)(uw+wu)+3d(w)vu+3d(u)vw-d(w)uv-d(u)wv;

(iv)d(u)u[u,v]=d(u)[u,v]u;

(v)(d(uv)-d(v)u-d(u)v)[u,v]=0;其中u,v,w∈U.

证明 (i)因为uv+vu=(u+v)2-u2-v2,所以uv+vu∈U，u,v∈U，从而结果可证.

之所以要对外来医疗器械进行重复使用,并且重视对其的处理工作,很大程度上是基于这一类型器械所凸显的高成本、低消耗特性。如果医院消毒供应中心可以对其进行统一处理,那么将极大地促进外来医疗机械在不同医院中的流动使用与合理配置,这不仅可以降低医院前期的资金投入,同时也有利于缓解患者的经济压力,对于整个社会资源的科学配置与合理利用大有助益,是助推我国医疗领域可持续发展的重要举措之一。

(ii)由于uv+vu∈U，在(i)式中用uv+vu替换v,可得下式：

d(u(uv+vu)+(uv+vu)u)=
4d(v)u2+6d(u)vu+2d(u)uv

(1)

另一方面，

d(u(uv+vu)+(uv+vu)u)=
d(u2v+vu2)+2d(uvu)=
2d(v)u2+4d(u)uv+2d(uvu)

将上式与(1.1)式结合可得结果.

(iii)在(ii)式中，用u+w替换u，即对u线性化可得

d((u+w)v(u+w))=
d(v)u2+d(v)w2+d(v)(uw+wu)+
3d(u)vu+3d(w)vu+3d(u)vw+3d(w)vw-
d(u)uv-d(w)uv-d(u)wv-d(w)wv

(2)

而

d((u+w)v(u+w))=
d(uvu)+d(wvw)+d(uvw+wvu)=
d(v)u2+3d(u)vu-d(u)uv+d(v)w2+
3d(w)vw-d(w)wv+d(uvw+wvu)

(3)

将(2)式与(3)式联立可证；

(iv)因为uv+vu∈U且uv-vu∈U，对所有u,v∈U，可得2uv∈U.因此由假设可知，d((uv)2)=3d(uv)uv.在(iii)中用2uv替换w，且由题设，R的特征不为2，可得

d(uv(uv)+(uv)vu)=
d(v)(u2v+uvu)+3d(uv)vu+3d(u)v2u-
d(uv)uv-d(uvuv)

(4)

d((uv)uv+(uv)vu)=d((uv)2+uv2u)=
2d(uv)vu+2d(v)vu2+3d(u)v2u-d(u)uv2

(5)

联立(4)与(5)，对u,v∈U，

有

d(uv)[u,v]=d(v)[u,v]u+d(u)[u,v]v

(6)

在(6)式中，用u+v代替v，有

2d(u)u[u,v]+d(uv)[u,v]=
2d(u)[u,v]u+d(v)[u,v]u+d(u)[u,v]v.

再应用(6)可证得结论.

(v)在(iv)中对u线性化，即

d(u)u[u,v]+d(v)v[u,v]+d(v)u[u,v]+
d(u)v[u,v]=d(u)[u,v]u+d(v)[u,v]u+
d(u)[u,v]v+d(v)[u,v]v

其中u,v∈U，由(iv)和(1.6)式可知d(v)u[u,v]+d(u)v[u,v]=d(uv)[u,v]，

因此，(d(uv)-d(v)u-d(u)v)[u,v]=0，u,v∈U.证毕．

推论1 令R是2-扭自由的环，U是R的Lie理想，对所有u∈U，有u2=U.若d:R→R是可加映射，且满足d(u2)=2d(u)u，u∈U，则对任意u,v∈U，有(1)d([u,v])[u,v]=0;(2)d(v)(u2v-2uvu+vu2)=0.

4 结语

本文在2-扭自由环R的Lie理想U上，讨论了当可加映射d满足右导子条件时，具有的一些性质，并得到了一些恒等式，进而给出了推论．从而对环的性质的完整性具有重要意义．随着对导子的研究不断深入，许多学者将导子的形式进行了推广，从而今后我们还可以在以下方面进行研究：(1)将2扭自由环推广到半素环，素环或带有对合的环上；(2)在环的Lie理想上，可将右导子推广到广义右导子，Jordan右导子，(θ,φ)导子等；(3)将Lie理想换成Jordan理想，Lie理想，Jordan理想等.

参考文献：

[1]Posner,E.C..Derivations in prime rings,Proc[J].Amer.Math.Soc,1957,8:1093-1100.

[2]Herstein,I.N.Topics in ring theory[M].Chicago：Univ.of Chcago Press,1969.

[3]Bresar,M.and Vukman,J..Jordan derivations of prime rings[J].Bull.Aust.Math.Soc,1988,37:321-322.

[4]Awtar,R..Lie ideals and Jordan derivations of prime rings[J].Proc.Amer.Math.Soc,1984,90:9-14.

[5]M.Ashraf and N.Rehman.On Lie ideals and Jordan left derivations of prime rings[J].Arch.Math.(Brno)，2000,36(3):201-206.

[6]Bergen,J.,Herstein,I.N.and Ker,J.W..Lie ideals and derivations of prime rings[J].Algebra，1981,71:259-267.

[7]Bresar,M.and Vukman,J..On left derivations and related mappings[J].Proc.Amer.Math.Soc.，1990,110:7-16.

[8]Deng,Q..On Jordan left derivations,Math[J].Okayama Univ,1992,34:145-147.