金融数学的发展及其在证券投资组合中的应用

林承初

（广西财经学院信息与统计学院 南宁市 530000）

金融数学最早作为学科出现是在上世纪80年代，Duffie认为金融数学是不确定条件下的不同时期框架证券组合选择理论和资产定价理论，在金融数学中，套利、最优、均衡是最主要的概念，是金融数学研究思想的基础。发展到今天，金融数学成为了金融学、数学、统计学和计算机科学的交叉学科，逐渐成为一门应用科学。

一、学科的产生与发展

1900 年，法国数学家Bachelier发表了学位论文《投机理论》，将股市运作视作一种布朗运动，假设其为绝对布朗运动，定义其到期日买方预期价格为：

式中：S-股票价格；X-执行价格；Vc-买方价格；φ-标准正态分布概率密度函数。

之后几十年金融数学发展相对缓慢，直到20世纪中叶，计算机技术逐渐发展起来，金融数学利用计算机强大的运算能力，获得了自身的发展，金融学的适用性逐渐被理论界、实务界和计算机数学界重视。

Markowitz在1959年又提出了证券选择理论，主要研究单个投资者的资产组合行为。Sharpe-Lintner提出了资本资产定价模型，深入探讨投资者的总体行为和市场资产定价内在机理。标准CAPM模型依据均值-方差理论以及一些严格假设，和实际出入较大。70年代之后，非标准状态下的CAPM模型逐渐衍生出来，金融神童Ross提出了崭新思路的套利定价理论：

1992 年，Duffie和Epstein使用随机微分效用确定环境下的效用函数，获得特殊情况的BSDE。1993年Antonelli提出了正-倒向随机微分方程，1994年Ma Protter和Yong获得了有效位FBSDE的一般形式，标志着有限维倒向随机微分方程理论研究逐渐完善，在投资决策、期权定价和随机微分效用等经济理论实践中提供了十分有力的分析和近似计算方法。

二、Copula-MCMC方法在证券投资组合中的应用

Copula能够对金融市场不同资产相关结构复杂性进行良好描述，是一种特殊的多元变量分布，边缘分布为（0，1）上的均匀分布。

（一）Copula函数、Sklar定理

随机变量 X、Y边缘分布函数 F（x）=Pr（X＜x） 和 G（y）=Pr（Y＜y），联合分布函数为H（x，y）=Pr（X＜x，Y＜y）。Copula函数是一个能够联合单个边缘分布和多元联合部分的函数，连续多元分布函数中，单变量边缘分布和多变量相依结构能够分离开，Copula函数模式适用于描述任意边缘函数多元分布函数。

（二） 相依性

1.线性相依

通过线性相关系数度量，线性相关系数为：

线性相关可以直接计算相关系数，线性条件下相关系数和协方差的计算比较方便，多元正态分布是一个相依性较强的普通度量，但是金融资产收益并非正态分布，具有明显的厚尾分布特征，线性相关描述资产之间的相依性不足比较明显。

2.秩相关

有Kendall秩相关和Spearman秩相关两种，是连续随机变量组，对称并且范围在-1-1之间。

（三）选取模型

Q-Q图对样本数据的鉴别比较直观，通过观察Q-Q图上点是否在同一条直线上来确定样本数据是否满足正态相关，所以选择Q-Q图能够比较清晰的反映样本的拟合度。

（四）投资组合VaR计算

计算投资组合收益。收益和风险未必成正比，高收益不代表高风险。在金融市场中，投资者能够根据数量化投资选择风险低并且收益稳定的资产组合，比较符合大多数投资者的心理期望实际。

金融证券是经济高度发展的必然产物，金融数学对证券投资组合的指导作用是十分显著的，但是金融市场数据处理量巨大，离散型和连续性变量混杂，所以在研究金融数学模型的同时，研究高效的海量数据处理工具同样十分必要。

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