带有多元算子李代数的线性基底

黄炬委

(嘉应学院 梅州师范分院，广东 梅州 514072)

0 引 言

Shirshov的引理被称为李代数和结合代数的合成钻石引理(Composition-Diamond lemma for Lie and associative algebras)．

另外，这种方法同时被H. Hironaka在研究幂序列代数和B. Buchberger[11，12]， 在研究多项式代数中发现．B.Buchberger命名其为“Gröebner”基．Gröebner基理论在数学(尤其是代数几何)，计算机科学和信息学等中有着相当重要和广泛的应用．

现今，在许多不同的代数系统中(结合或非结合)都有相应的合成钻石引理．在证明代数系统的合成钻石引理时首先要找到这个代数的自由对象．

令K是有单位的交换环，K〈X;Ω〉 是K上的一个带多元算子的自由结合代数，Lie(X;Ω) 是带多元算子的自由李代数．在这本文中我们利用自由李代数的合成钻石引理找到Lie(X;Ω)的一个线性基底，并由此建立了Lie(X;Ω)的自由对象．

1 预备知识

设k是一个域，Lie(X)是k上的由X生成的自由李代数，X*是由X生成的自由幺半群． 对每个u=xi1xi2...xim∈X*，记|u|x为u的长度，即|u|x=m． 幺半群X*上良序 >是一个项序, 如果它跟字的乘法是相容的，即对任意的u,v∈X*，有 (∀w1,w2∈X*)uv⟹w1uw2w1vw2.

在X*一个典型的项序就是次数字典序，即先比较两个字的长度，再按照字典序来比较.我们使用X*上的两个线性序：

(i)(字典序)t<1,如果t≠1, 用归纳法；如果u=xiu',v=xjv',那么u

把Lie(X)看成是自由结合代数k〈X〉的自由子李代数，它是在李括积[u，v]=uv-vu下由X生成的．

定义1.1[7]w∈X*{1} 是一个结合的Lyndon-Shirshov字(简写为 ALSW)，如果

(∀u，v∈X*，u，v≠1)w=uv⟹vu

把X上所有的ALSW记成集合ALSW(X),

(1) 如果w=uv∈ALSW(X),这里u，v≠1，则v

w=c1c2…cn，这里c1…，cn∈ALSW(X)，且c1≤c2≤…≤cn；(4) 如果u''=u1u2，u''=u2u3∈ALSW(X)，则u=u1u2u3∈ALSW(X);(5) 如果w∈ALSW(X)，w=uv，v是最长的真子字,且v∈ALSW(X)， 则u∈ALSW(X)

定义1.2[ 7]X中的一个非结合字(u)称为非结合的Lyndon-Shirshov字(简写为NLSW )，记为[u]，如果

(i)u∈ALSW(X);

(ii)如果[u]=[(u1)(u2)] ,则 (u1)和(u2)都是NLSW(由 ALSW的定义知u1>u2)；

(iii)如果[u]=[[[u11][u12]][u2]] ，则u12

把 X上所有的NLSW记成集合NLSW(X),

从文献[7,13 ]得知，对任意w∈ALSW(X)，存在唯一的打括号方式使得 [w]∈NLSW(X)：[w]=w,如果w∈X，且[w]=[[u][v]],如果|w|x>1，这里的v是w的最长的真子字，且v是结合的Lyndon-Shirshov字，由(5)知u∈ALSW(X)．再对|w| 作归纳，可以得到[w].

引理1.4[14]假定w=aubvc，其中w，u，v∈ALSW(X)则w有下面的打括号.

[w]u，v=[a[u]b[v]d]．

2 带有多元算子李代数的线性基底

Ωn={ω1(n)<ω2(n)<…是n元(ary)运算，比如，n-ary(ω)=n，如果ω ∈Ωn．

在Ω上定义一个序，Ω1<Ω2<…<Ωn<…定义 〈X；Ω〉0=S(X0)，X0=X，

〈X；Ω〉1=S(X1)，X1=X∪Ω(〈X；Ω〉0).

定义

〈X；Ω〉n=S(Xn),Xn=X∪Ω(〈X；Ω〉n-1),n>1

得到 〈X；Ω〉0⊂〈X；Ω〉1⊂…⊂〈X；Ω〉n⊂…,

下面给出几个记号：

〈X；Ω〉表示X上带有多元线性算子Ω的所有结合字; (X；Ω)表示X上带有多元线性算子Ω的所有非结合字; X*表示上的所有结合字; X**表示上的所有非结合字．

对于任意u∈〈X；Ω〉，dep(u)=min{n|u∈〈X；Ω〉n}称为u的深度．K〈X；Ω〉是由〈X；Ω〉张成的K-代数．〈X；Ω〉 (相对于K〈X；Ω〉)中的元素称为Ω-字(称Ω-多项式)．如果u∈X∪Ω(〈X；Ω〉)称u是一个素Ω-字,且定义|u|=1(u的长度为1)．如果u=u1u2…un∈ 〈X；Ω〉，ui是一个素Ω-字，对任意的i，定义|u|=n．

对于每一个ω∈Ωn，定义ω：〈X；Ω〉n→〈X；Ω〉，(x1,x2…，xn)|→ ω(x1，x2，…，xn).通过这种方式把 〈X；Ω〉线性张成K〈X；Ω〉．易知K〈X；Ω〉是一个由集合X生成的在K上带有多元线性算子Ω的自由结合代数．

首先，在素Ω-字定义一个序：ut，vt∈X∪Ω(〈X；Ω〉)，ut>vt当且仅当下面其中一个条件成立：

(a)ut，vt∈X且ut>vt;

(b)ut=ωi(uk1，…，ukt)，vt∈X；

(c)ut=ωi(uk1，…，ukt)，vt∈ωj(vk1，…，vks)，且ωi>ωj，或者ωi=ωj且(uk1，…，ukt)>(vk1，…，vks)(字典序比较).

再次，在Ω-上定义一个序：对于任意u∈〈X；Ω〉有u=u1u2…un.ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉).令wt(u)=(u1，u2，…un)，v=v1v2…vm.定义u>v⟺wt(u)>wt(v) 字典序， 用degx(u)记u中x∈X的个数；用 |u|记ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉)的个数(u的长度)．比如，如果u=ω1(x1，x2)x3x4ω2(x5)∈〈X；Ω〉，则有degx(u)=5 且 |u|=4．

最后，使用 〈X；Ω〉上的两个线性序：

(字典序)u>v⟺wt(u)>wt(v) (1)

(次数字典序)u>v⟺degx(u)>degx(v)或者(degx(u)=degx(v)，wt(u)>wt(v)) (2)

定义2.1， 令u∈〈X；Ω〉，<为(1)中定义在〈X；Ω〉上的序．我们称u是一个ALSW, 如果下面条件之一成立：

i)u∈X是一个ALSW；ii) 如果(任意v，w∈〈X；Ω〉)u=vw⟹vw>wv，这时u是ALSW；iii) 如果ui是ALSW，这时u=ω(n)(u1，u2，…，un)是ALSW.

对于u∈ALSW，u=u1u2…un,ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉),我们对dep(u) 作归纳法来介绍两种打括号方式:

(1)如果dep(u)=0 ，ui∈X，有如下两种打括号方式[16].

一种是由上到下打括号,由下面的归纳定义给出

[xi]=xi，[u]=[[v][w]]，

例1 于dep(u)=0，u∈X*，令u=x2x2x1x1x2x1有

[u]→[[x2x2x1x1][x2x1]]→[[x2[x2x1x1]][x2x1]]→[[x2[[x2x1]x1]][x2x1]]

另一种是由下到上打括号.用同样的例子来解释u=x2x2x1x1x2x1.把最小的字x1和前面一个字粘在一起:u|→x2[x2x1]x1[x2x1],非结合字x2[x2x1]和x1构成了一些新的字母，用字典序来定义它们,就是说,x2[x2x1]>x1.把最小的字x1和全面一个字粘在一起:x2[x2x1]x1[x2x1] |→x2[[x2x1]x1][x2x1],构成了一些新的字母x2>[x2x1]>[[x2x1]x1].把最小的字[[x2x1]x1]

和前面一个字粘在一起:x2[[x2x1]x1][x2x1]|→[x2[[x2x1]x1]][x2x1]构成了一些新的字母 [x2[[x2x1]x1]]>[x2x1].把最小的字[x2x1]和前面的一个字粘在一起： [x2[[x2x1]x1]][x2x1]|→[[x2[[x2x1]x1]][x2x1]]=[u]．

(2)如果dep(u)=m>0，假定任意v∈〈X；Ω〉，dep(v)

对于u=u1u2…un,其中ui∈X∪Ω(〈X；Ω〉)且对于每一个ui利用dep(u)上归纳法打括号，方式如下：

i)对于ui∈X，由于dep(ui)=0，有[ui]=ui;

ii)对于ui∈Ω(〈X；Ω〉)，有ui= ωki(n)(ui1，ui2…uim)且dep(uij)

如上所述，可以如下两种方法对u打括号： 一种是对|u| 归纳定义的由上到下打括号：

例2 对于dep(u)=1，令u=ω2(x3x2x1，x2x1)x2x1ω1(x2x2x1)x1,采用由上到下的打括号，得到u→ω2([x3[x2x1]],[x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1→[ω2]([x3[x2x1]][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1]]→[[ω2([x3[x2x1]][x2x1])[x2x1]]ω1([x2[x2x1]])x1]]．

另一种是由下到上打括号，用相同的例子解释

u→ω2([x3[x2x1][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1])x1→ω2([x3[x2x1]],[x2x1])2x1ω1([x2[x2x1]])x1→ω2([x3[x2x1]][x2x1])x2x1ω1([x2[x2x1]])x1→[ω2([x3[x2x1]],[x2x1])[x2x1]][ω1([x2[x2x1]])x1→[[ω2([x3[x2x1]],[x2x1])[x2x1]][ω1([x2[x2x1]])x1]]．

注：我们用 []来表示由下到上的打括号，用 [[]]来表示由上到下的打括号．

对于ui∈Ω(〈X；Ω〉) ，有ui=ωki(n)(ui1，ui2，…,uin)且dep(uij)

在这基础上再对 |u|作归纳法证明，证明方式可参考[16]．

定义2.3令<为(1)中定义在 〈X；Ω〉且 (u)是一个非结合字． (u)称为非结合的Lyndon-Shirshov字(简写为 NLSW)，记为 [u]，如果

由归纳可知，([v1][w])=∑γi([ti]，ti>min{v1，w}=w； ([v2][w])= ∑γj'[tj'，tj'min{v2，w}=w，这时u=∑γi([ti][v2])+∑γj'([v1][tj'])且有min{ti，v2}，min{tj'，v1}

情形2 对于 (u)∈(X；Ω)，如果 (u)=ω(n)(u1，u2，…，un),对dep(u)做归纳证明．

如果dep(u)=1 ，有 (u)=ω(n)(u1，u2，…，un),且对任意ui，有dep(ui)=0 ．由归纳可知，(ui)=∑αiji[uiji]，(u)=ω(n)(∑α1j1[u1j1]，∑α2j2[u2j2]…∑αnjn[unjn]) =∑γα1j1α2j2…αnjnω(n)([u1j1][u2j2]，…，[unjn])

现在可以对dep(u)作归纳证明得到结论．

情形3 如果(u)中的子字包含情形1和情形2，那么可以类似于情形1的方式来证明．

引理2.7所有的NLSW是k-无关的．

由引理2.5和引理 2.7，得到

推论2.8所有的NLSW构成了Lie(X；Ω)的线性基底．

由推论2.8和引理2.6有

3 带有多元算子的自由李代数

定理2.10Lie(X；Ω) 是在集合X上带有多元线性算子Ω 的自由李代数．

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