建模思想在“替换”教学中的形成与应用

唐学敏

数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。在解决“替换”问题时，我们在教学中应该帮助学生建立数学模型，在模型建立的过程中，让学生更好地解决问题。下面我以六年级（上册）“解决问题的策略”为例，谈谈自己的思考与体会。

本课教学中的替换策略，包括倍数关系的等量替换和相差关系的等量替换。教学重点是让学生充分理解替换策略的意义：把两种量替换成一种量，从而顺利地解决问题。难点是学生不易理解相差关系的等量替换；解决问题时，不知道该用什么方法来替换。基于以上理解，我认为在教学中应建立模型，运用模型帮助学生解决这类问题。

一、小学数学建模思想的形成

1.创设情境，感知数学建模思想

在实际教学中，先让学生根据例题分析数量关系，得出：6个小杯和1个大杯一共是720毫升；一个大杯的容量相当于3个小杯的容量。然后出示例题图，引导学生用画图初步感知：解决这个问题就需要根据大杯容量与小杯容量之间的关系，进行一定的等量替换。如图：

大杯换成小杯： 小杯换成大杯：

在这个教学过程中，学生通过寻找数量关系及观察主题图，得出：解决这个问题需要把两种杯子换成一种杯子（即替换）。然后引导学生根据主题图画出示意图，即把直观图形抽象成几何图形，在抽象概括的基础上，学生逐步理解替换的策略。学生把直观图形抽象成几何图形的过程，其实是把生活中的原型上升为数学模式的过程，学生初步感知了数学中的建模思想。

2.自主探究，体验数学建模思想

有了对问题的思考，学生就会主动探究：该画怎样的图形模式才能解决这类问题。这就要求学生抓住替换策略的本质：两种量替换成一种量。以此引导学生建立数学模型，如图：

学生对问题进行思考和探究，其实就是对解决这类问题作了一个模型假设。模型假设能帮助学生梳理思路，提取原有的知识并形成较完整的知识体系。在这个过程中，学生由最初抽象的几何图形到现在的数学表达式，恰恰体验了数学模型的形成过程。这样不仅培养了学生的建模意识，更为学生探究另一种数学模型增添了不少乐趣。

现将题中条件换成：1个大杯的容量比小杯多160毫升。引导学生思考，能不能用刚才建立的数学模型来解决？交流明白解决这个问题同样要把两种量替换成一种量，只不过替换过程中，总量发生了变化。如图：

学生根据建立的数学模型，比较容易理解相差关系的等量替换。再通过比较图⑴和图⑵两种数学模型，学生都能清楚地认识到：倍数关系的等量替换和相差关系的等量替换都是把两种量变成一种量，不同的是倍数关系的等量替换，其总量不变；而相差关系的等量替换，其总量发生了变化。且进一步引导发现，总量的变化也有规律可言。如，1个大杯换1个小杯，容量肯定减少，那么总量就会减少；而1个小杯换1个大杯，容量肯定增加，那么总量也会增加。

在教学过程中，学生能根据倍数关系等量替换的数学模型，建立相差关系等量替换的数学模型，不仅让学生很好地掌握了重点，更突破了教学的难点。在图⑵的模型建立过程中，学生充分体验了数学模型的形成过程。在体验中，学生获得对问题的数学思考；在体验中，培养了学生的数学建模意识；在体验中，学生意识到利用数学模型解决问题的方便。

二、小学数学建模思想的应用

问题解决是学生数学学习中最基本的活动，数学教学最基本的任务就是学会解决生活实际中的一些问题。下面就是建模思想在实际问题中的应用：（1）2个同样的大盒和5个同样的小盒装满球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个小盒和每个大盒各装多少个？（2）小红买了3支铅笔和1支钢笔共10.8元，一支钢笔的单价是一支铅笔的6倍，求钢笔和铅笔的单价。经过短暂讨论，同学们能够正确解决这两道题目，说明他们对倍数关系的等量替换和相差关系的等量替换能正确区分开来。这都归功于他们建立了这两种替换的数学模型。从上述两种模型上能清楚地看到，倍数关系的等量替换其总量没有变化，而相差关系的等量替换其总量已变化，且总量的变化是有规律的。通过这一点，同学们很快就能判断出第1题是相差关系的等量替换，第2题则是倍数关系的等量替换。（各选一种方法如下）

在运用模型解决这类题目时，同学们可以发现：题目中装得多的、价格贵的，我们可以把他们看作“大”的；而题目中装得少的、价格便宜的，我们可以把他们看作“小”的，如此运用这两个数学模型就更得心应手了。

小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在这一过程中，学生易于形成实事求是的态度及进行质疑和独立思考的习惯。因此，我们在教学过程中，应注重学生建模思想的形成与运用，也为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。