应用题教学：用力在何处——由一节研讨课说起

☉江苏省连云港市连云区东港中学新校区 刘 倩

应用题教学：用力在何处
——由一节研讨课说起

☉江苏省连云港市连云区东港中学新校区 刘 倩

众所周知，数学来源于生活又服务于生活.初中阶段的情境应用问题是教学的重点和难点，本文结合最近听过的一节《二元一次方程组的应用》研讨课谈谈对应用题教学的思考，与同行研讨.

一、《二元一次方程组的应用》研讨课片断

片断一：开课阶段

今天上课前老师要送给大家一句话：

要么去旅行，要么读书，身体和灵魂总要有一个在路上……

今天老师也想带着大家去旅行，想让大家通过去过的不同地方感受现在经济社会中不同领域所存在的数学学问.

那是什么学问呢？请看课题：增收节支，请导游先解释一下.

（播放视频，讲解增收节支的含义）

好，明确了此次旅行的目的之后，我们现在就要做些准备了，马上进入热身练习.

热身练习

学生独立完成热身练习（标出每题的等量关系）：

（1）某工厂去年的总收入是50万元，今年的总收入比去年增加20%，则今年的总收入是__________万元；

（2）若该厂去年的总支出为10万元，今年的总支出比去年减少了x%，则今年的总支出是__________万元；

（3）若该厂今年的总收入为x万元，总支出为y万元，则今年的利润为150万元，那么可得方程_____________.

（教师下去巡查，批改组长的练习，之后组长批改小组其他成员，全部做完后小组交流）

师：好，我们旅行的准备已经做好，现在我们开始第一站：连云港开发区某工厂.这个工厂的老板在纠结一道数学问题，看看我们大家能不能帮助他解决呢，可是有礼物的哦.

片断二：例题教学

例题 某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，则去年的总产值和总支出各是多少万元？

呈现例题后，老师请一个学生读了一下题目，就迫不急待地开始指导

师：同学们有没有发现这个问题中蕴含的数量关系比较多，首先看这个问题中要求的量有两个，因此我们可以设两个未知数，设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，题目中，涉及的量不过是这样三类：总收入、总支出、利润，我们是否可以用一种形式将这些数量清晰地表示出来呢？

众生：列表.

（教师很高兴，播放PPT上准备好的表格）

师：把题目中涉及的三类量填到表格的最上面，下面的分别填入去年和今年.

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，填入表格中：

总产值/万元 总支出/万元 利润/万元去年 x y今年

根据上表，可以列出方组_________，

解得_____________.

（学生合作得很好，师生很快就完成了这个例题的解答）

片断三：变式追问

师：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

如果设今年的总产值为x万元，总支出为y万元.

请同学们完成下表：

总产值/万元 总支出/万元 利润/万元去年 200今年 780

根据上表，可以列出方组______________，

（学生动手解这个方程组，发现解法很烦琐）

师：有没有其他的方法，使列出的方程组比较简洁？

经过思考，有学生提出可以间接设未知数，如设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，计算方便.

片断四：跟踪练习

（1）一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？

（2）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5个单位蛋白质和1个单位铁质，每克乙原料含0.7个单位蛋白质和0.4个单位铁质，若病人每餐需要35个单位蛋白质和40个单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

说明：第1道题在独立练习5分钟后，有一半学生解出；第2道题在10分钟后仅有两个学生答出，接着由于时间原因，老师将PPT上准备好的表格展示出来.

解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：

甲原料各x克乙原料各y克所配制营养品其中所含营养品其中所含铁质

二、应用题教学：用力在何处

以下由上文中的教学案例出发，具体说说对应用题教学的相关思考.

1.应用题教学，要引导学生读取信息

我们都知道，波利亚在名著《怎样解题》［1］的“一段对话”下，反复问“我应该从哪儿开始？”当我们向学生讲解应用问题的求解时，这个“我应该从哪儿开始”是很关键的.就应用题教学来说，首先引导学生认真读取情境中的信息是十分重要的，比较情境问题中有哪些数据？有哪些关键词句？有哪些是提供等量关系（或不等关系）的句子？有哪些是提供要设元的信息？这些追问，对于应用问题的进一步求解都是重要的.在这个意义上看，上文案例中，教者设计了一组“潜伏训练”让学生先体验、热身了情境问题的一些等量关系，这是有积极意义的，对于进一步开展例题教学是有帮助的.但是，在例题呈现后，仅仅让一个学生读了一下题目，教者就迫不及待地开展“专业指导”，置学生的独立思考于不顾，牵引着学生跟着自己思维走，并“顺利”地导出表格分析法.笔者以为，这种顺利的过程，恰恰忽略了引导学生自己读取应用问题信息的必要环节，不利于学生解题能力的培养.可行的操作是，学生读题后，安排学生独立思考2分钟后，请学生回答你读出了什么信息？有哪些数据信息？这些数据之间有何关系？你觉得怎样把这些关系简明地表示出来等设问后，自然地引导出表格分析法.

2.应用题教学，要帮助学生分析信息

当学生能从背景丰富的问题情境中解读出、读取全信息（数据或重要词句）后，进一步分析、梳理信息是很关健的.比如上文提及的列表法就是一种很有意义的分析、梳理信息的方法，这也是执教者预设该课时的主要目标之一，即向学生传递表格分析法.但是从课堂教学情况来看，教者偏重了“教表格法”，淡化了让学生自主地发现表格.所以在后来“片断四”中两个练习巩固时，学生对第2道应用题的求解在规定时间内仍然没有找到好的分析方法，所以教师又只能将准备好的PPT展示一下，让学生再次模仿、听讲，又一次忽略引导学生自主分析、发现表格的方法.顺便指出，信息分析、梳理的方法除了表格法以外，针对不同的问题情境或类型，还有很多不同的法，比如图示法（线段图、维因图、思维导图等）、直接构建等量关系等.

3.应用题教学，要注重培养学生的建模思想

4.应用题教学，要培养学生的检验意识

多年的应用题教学经验告诉我们，不少学生在求解应用问题时往往只注意列方程或不等式，然后就是求出方程的解（不等式解集），给出答语，就匆忙结束.有些学生设的未知数非常“简洁”：没有单位，没有说清楚这个未知数“所指”，这样做就给后续解出方程的解后不知道回代未知数进行检验，出错风险自然会增大.所以，在应用题教学中，我们需要培养学生的检验意识.这里有这样一些关于检验的认识，第一，检验所求解是否是所列方程或不等式的解（特别是，分式方程的解需要有验根的步骤）；第二，求出的解是否符合所设的未知数在问题背景中的实际意义（即应用题的解往往要“双重检验”）；第三，检验意识还是倡导学生一种“求出答案并继续前进”（舍费尔德语）的反思追求.当然，在这里，笔者还想简要提及李秉彝先生关于“答案、过程、表达”三者关系的论述，值得我们关注：首先，为什么答案是重要的？假如你在造一栋住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因为仅仅是过程正确而向建筑商支付报酬吗？其次，为什么过程是重要的？你可以在过程做错的情况下，得到正确的答案，但我不肯定你下次还会那么幸运.第三，为什么表达是重要的？如果你说得很好，你可以通过一扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给门后的那个人，如果你写得很好，你至少可以通过三扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给你老板的老板的老板.只有完美的表达才可以传递得更远.

三、写在最后

应用题的解题教学是初中阶段的重点和难点，上文只是结合一次听课案例阐释了一些初步思考，并不一定准确，更不一定正确，期待更多同行从案例研究的方向展开研讨.

1.波利亚.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

2.郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（20）.

3.唐剑岚.数学多元表征学习的认知模型及教学研究［D］.南京：南京师范大学，2008.

4.李善良.理清核心主线，优化教学过程［J］.中学数学月刊，2011（10）.

5.刘东升.对时育物，有效追问——浅论初中数学课堂教学中的追问艺术［J］.中学数学教学参考（中），2012（4）.

6.罗增儒.数学的领悟［M］.郑州：河南科学技术出版社，1997.

7.史宁中.数学的抽象［J］.东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）.FH