基于数学思考的“猜”才有教学价值

费岭峰+胡慧良

名师档案

费岭峰，中学高级教师，浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心教研员。曾被评为浙江省优秀教师、浙江省教科研先进个人、嘉兴市名教师、嘉兴市首届“十佳”青年社科人才，是浙江省名师培养对象、嘉兴市新世纪专业技术带头人培养人选。课堂教学曾获全国小学数学教学专业委员会录像课评比一等奖、浙江省“教改之星”金奖。在省级以上专业刊物发表论文或案例145篇。主持过省级课题2项，市级课题6项，参与省级课题5项，研究成果和论文曾获市级一等奖以上奖项40次。在市级及以上作公开展示交流70余次。经过多年的课堂教学实践与探索，形成了以“活动”为主线、“活而有效”的小学数学课堂教学特色。

猜测是新课程理念下一种重要的学习活动，一线教师也经常会用。近日下校随堂听课，在一节《四边形的认识》课中，执教教师便设计了一个“猜”的活动。

练习：请你猜一猜，图中（图1）遮住的是一个怎样的四边形？

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练习安排在例1“了解四边形的基本特征”、例2“知道四边形中还有如长方形等特殊的四边形”等新知探究及一些基本练习之后。从呈现在屏幕上的四个备选答案来看，教师是把它作为一道提升练习题来完成的。实际教学中，学生也确实猜出了多种结果：有的说是长方形，有的说是正方形，有的说是一般四边形，还有的说是凹四边形。现场气氛显得颇为热烈。

练习至此，不由得引起了笔者的思考：此练习对于认识四边形特征的意义究竟有多大？如果是出于引导学生进一步认识一些特殊四边形（如长方形、正方形、梯形、平行四边形等）的特殊性，这样的猜测活动怎样设计会帮助更大？

我们知道，猜测作为数学学习活动的一种，有着重要的价值。根据观察到的某个图形的部分“猜”整个图形，这既是进一步理解图形概念、认识图形特征的好办法，同时又是一个培养空间观念的有效策略。因为在猜测过程中，猜测者需要有对观察到的部分图形与某个图形整体之间建立起联系的过程，然后才能以图形概念属性为依据作出分析与判断，其间会伴随着猜测者对对象空间形象的期盼，而这样的期盼对形成和巩固图形的概念表象有着重要的价值。

只是，笔者现在所思考的是，课中这个“猜图形”的练习对于本节课进一步认识四边形的特征，或者理解建构特殊四边形的形状是否有效呢？由此笔者想到了“三角形分类”教学中的一个经典练习：猜猜纸片遮住的是什么三角形？（如下图）

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以上课中练习似乎与这个练习相似，但深入思考后笔者发现，课中练习中的“猜”与“三角形分类”练习中的“猜”是有着本质区别的。“三角形分类”练习中的“猜”，一般安排在学习了“三角形按角分类”的知识之后，价值在于引导学生从图形关键要素出发进行思考，是一种有价值的数学思考。如对图2中三角形的猜测，结果会是两种：一是“直角三角形”，二是“等腰直角三角形”。得出“直角三角形”这个结论是基于直角三角形的本质属性（三角形中有且只有一个直角）而来，这是学生基于概念理解的有根据的推理，是一种逻辑思考。与此相同，第二个图形“钝角三角形”结论的得到，同样有这样的思考过程。对第三个图形的猜测则比较特殊，因为根据看到的一个锐角，无法判定这是个什么三角形。此练习之所以成为“三角形分类”教学中的经典练习，是因为其在引导猜测过程中，学生可以把握三类三角形的本质属性，从本质属性出发展开思考，从而深刻理解三类三角形的关键要素，建构起三类三角形特定的图形表象。这是一种具有丰富数学思考的学习活动，是一种典型的有意义学习。

我们再来看“四边形的认识”中“看到一个直角猜四边形”的练习。从课后与执教老师交流中了解到，设计本练习有两个目的：一是进一步引导学生理解长方形和正方形中有四个直角的特征；二是想让学生体会“看到一个直角是不能确定这是一个怎样的四边形的”。研讨中，我们对于这样的定位提出了质疑：本练习对帮助学生进一步认识长方形、正方形的特征有效吗？本节课中体会“根据一个直角不能判定一个四边形”的形状的认识价值有多大？

数学教学中的“猜测”不应该是一种毫无根据的瞎猜，而是需要基于思考基础上的有根据的推理与判断。从教学实践中的状况来看，学生猜的结果有正方形、长方形、任意四边形、梯形等，看似答案丰富，似乎达到了预设的目标。但仔细分析得到这些结果的思维过程，我们会发现，因为呈现部分图形中的一个直角，并不能影响到猜测对象的范围（即结论包含了所有有一个角是直角的四边形），此时的猜测思维要求太低，数学思考的价值不大，特别是对建构起不同四边形之间的联系基本失去作用。事实上，此处的开放，与“三角形分类”练习中对于“看到一个锐角无法推断是一个什么三角形”的价值不同。“三角形分类”练习中第三个图形的判断，其练习目标正是让学生理解和掌握“根据三角形中的一个锐角去判定三角形”，条件是不充分的。这是在引导学生与“根据一个直角判定三角形”和“根据一个钝角判定三角形”进行比较基础上的思维系统化的一步，课堂上正是借助学生猜测、争论活动，帮助其理解三角形“角”的元素对判定三角形的重要性，强化对三类三角形概念的理解。

经过研讨，与执教老师达成了共识。本环节的练习既是一个进一步认识图形特征的练习，更是一个图形表象印刻的重要时机。因此，此时的练习需要迫使学生去内化知识，充分调动思维要素参与数学活动。如果要用“猜”的方式进行练习，则需要对此练习作出一定的调整，可以设计成一个连续“猜”的活动。

第一次“猜”，根据图1，请你猜一猜遮住的是一个怎样的四边形？

因为此时只提供了一个直角，结果会出现多种：长方形、正方形、任意四边形（包括凸、凹四边形）、直角梯形等。使学生体会到，只根据一个“角”是无法判定一个四边形的形状的。

第二次“猜”，观察材料变成图5。问：现在你能判断遮住的是一个怎样的四边形吗？

因为此时能够观察的材料有两个直角。一组平行对边，所以结果可能是：长方形、正方形、直角梯形等。引导学生体会根据“角”和“边”的特点，从两个纬度来判定一个四边形的形状，较之前面有了一定的方向了。

第三次“猜”，观察到的部分增加，变为图6。

此时能够观察到的材料中有两组平行线、三个直角（其实可以判定四个角都是直角），所以结果会有两种可能：长方形、正方形。当然也有观察能力强的学生直接就认定，只有一种可能：正方形。

应该说，本练习设计与原设计比较，使用价值已经有了很大提升，学生的三次猜测，如同经历了一次概念内涵不断增加、外延不断缩小的图形形成过程。很显然，这样的过程既是一个学生空间观念培养的过程，同时也是一个很好的发展学生逻辑思维能力的过程。

当然，我们还可以通过下面的途径，设计成从平行线出发去引导学生猜，可能更符合平行四边形、长方形、正方形的定义。教学过程设计如下：

图中（图7）遮住部分是一个怎样的四边形？

（1） （2） （3）

图7

（1）根据观察到的一组平行线“猜”，结果会有四种可能：梯形、平行四边形、长方形、正方形。

（2）根据观察到的一组平行线和一个直角（其实左边两个角都是直角）“猜”，结果会有三种可能：梯形、长方形或正方形。

（3）根据材料中的两组平行线、三个直角（其实可以判定四个角都是直角）“猜”，结果是正方形。当然，观察能力较弱的学生可能需要通过完全呈现材料才能确定是正方形。

《数学课程标准》在“课程目标”里指出，空间与图形的数学思考目标是“丰富对空间和图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”。显然，空间观念的培养是“空间与图形”学习的首要目标。而以上练习，在引导学生对各种四边形特征进一步认识的同时，借助了一个从形象上升到抽象、又从抽象转化为直观的“猜测——判断”过程，不仅有对图形特征认识的巩固，同时还关注了学生逻辑思维的培养，其数学思考价值是不言而喻的。