数形相映 激荡思维

袁园

小学阶段，无论是教材编排意图还是教学目标要求，需渗透、应用、培养的数学思想方法有很多种，数形结合是其中重要的一种思想方法。简而言之，数形结合思想就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题的思想。“数”与“形”是事物两方面的属性，“数”与“形”的结合，不仅是客观事物的自然连接，更沟通了思维的联结。“数”的抽象与“形”的直观相结合，能把复杂的问题简明化、具象化、生动化。因此，在数学教学中，根据教学内容，适时、有机地渗透和运用数形结合方法，尤为必须且必要。现结合个人的教学实践，浅谈在教学中数形结合思想方法的渗透。

一、数形结合，理解算理

计算教学是小学数学的重要内容。掌握正确的计算方法、准确进行计算，是计算教学的基本目标。加强计算题的练习强度则通常是教师的常用方法，而真正要提高学生的计算能力，算理的理解是基础。不理解算理的计算，方法是机械的，记忆是暂时的，达不到计算思维的融会贯通，计算也就失去了灵活机智。因此，在计算教学中帮助学生理解算理，在理解算理的基础上再加强训练，学生的计算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何让学生理解算理？数形结合的方法很实用，不仅在小学低年段适用，同样，高年段的学生也需要图形的直观帮助他们拓展思维，以形促思，以形助数，达到理解的目的。

在教学分数除法（一），即“分数除以整数”这节课时，对于■÷3的意义和计算方法，我要求学生利用画图的方法，将“数”的问题转化为对“形”的分析、思考。学生将一张长方形的纸按竖着方向平均分成7份，其中四份用红色彩笔涂满，用以表示■。然后，将这张纸再按横着方向平均分成3份，再用蓝色彩笔涂出■的■。从图上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其实就是求■的■是多少。很显然，学生通过“折一折、涂一涂”的小操作，借助图形语言，利用已学过的分数乘法的意义，解决了有关分数除法的问题，从而理解了分数除法的意义，并从中推断出分数除以整数的计算方法。

本学年，我担任六年级的数学教学，最近正在组织学生进行总复习。复习内容涵盖小学六年的数学知识。在复习“数的运算”一节时，对异分母的加减法，有个学生这样分享他的学习感受：我记得当时在学习这个内容时，老师的课件做得很生动，让我们通过图形的演示认识到，分数单位相同，分子才能相加减，所以异分母分数相加减时要先通分，我记得很牢……可见，合适的图形及图形演绎对学生理解算理的重要性。

二、数形结合，明确概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，常常以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。在小学阶段，数学概念很多，如果仅凭死记硬背，没有对数学概念本质的理解、把握，将影响知识的应用与迁移。某些数学概念的教学，需借助相应的直观图形，反复让学生感知，获得体验，建立表象，进而明确概念的内涵，获得抛却具体图形之外的纯粹的数学概念的理解。

如“周长”这一数学概念，是三年级上学期的知识。对三年级的学生来说，“周长”概念还是比较抽象的，如果不借助具体的图形，让学生经历由表象到抽象的思维过程，他们是很难明确概念的本质意义的。我听过一节课，上课老师先后用树叶、课桌面、数学书封面、1元硬币等具体物体，让学生通过看、摸、绕、测，获得感知，经过思维的层层递进，完成对“周长”概念的最终理解和明确。这其间，有一条思维的路径，是具体的“形”在牵引，指向思维深处，最终又摆脱“形”的束缚，建立纯粹的数学概念，即有“见山是山”到“见山不是山”的意味。

三、数形结合，巧妙解题

“数”和“形”是客观事物的两种属性，两者之间有着必然的内在联系。在解题时，在数形结合、数形转化之间，化抽象为具体，化复杂为简明，化无形为有形，往往能突破原有思维的局限性，迅速找到解题的关键点。在这一过程中，学生不仅体会并应用到数形结合的思想，而且能深切感受到数学的奇妙，激发热爱数学的情感，增强学习数学的热情。

在学习了“圆”这一单元后，学生在练习时遇到了这样一道判断题：边长是2厘米的正方形和直径是2厘米的圆，圆的面积比较大。当时我先让学生讲解判断的方法。一位学生是这样讲解的：我算出了正方形的面积是2×2等于4平方厘米，圆的面积是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以这道题是错的。其他学生都认可他的做法，这也是最常规的思路。这位学生讲完后，一位叫小月的学生高高地举起了手：“老师，我有不同的解法。”小月走上讲台，拿起一根粉笔，在黑板上画出了如图1所示的图形：“我画得不标准，但是我相信大家能看得懂。这样画了之后，很容易就能得看出哪个图形的面积大。”数秒的安静后，学生自发地报以热烈的掌声。“我看懂了！”“这样画一画，很快就有了答案！”“这种方法很简便！”在同学们的肯定声中，小月高兴而又自豪地笑了。这种解题技巧其实就是数形结合的具体应用。

■

图1 图2

后来我在教室的黑板一角开辟了一块“趣味数学”园地，每周由学生出一道趣味数学题。这些题目都是学生在课外数学读本或是网上找到的，题型新颖，既有趣味性，又有挑战性，很受欢迎。有一次，一个学生出了这样一道题：计算：“■+■+■+■+■=？”这位出题学生在题目旁边注明：如果用常规方法来算，就不是趣味数学了。这道题引发了学生的极大兴趣，下课时，常常可见到几个学生围在一起讨论、争辩。而不同于常规方法的解法，竟真的被学生找到了。学生小鸿在全班讲解这道题的解法时说：“这道题其实用通分的方法算很简单，但出题的同学说了，不能用常规方法。我想了很久，发现这组分数有特点，后面一个数是前面一个数的二分之一。有一次，我无意间画了一个正方形，然后再把这个正方形平均分成两份，突然我就有灵感了。上次小月把一道题的解法‘画出来了，这道题，我也用‘画的方法算出来了。同学们请看。”小鸿讲完，在黑板上画出了图形（如图2），写出■+■+■+■+■=1-■=■。学生以一阵热烈的掌声对他的解法表示赞赏。

这两个案例让我想到了美国数学家斯蒂恩曾说过的一句话：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并创造性地思索解法。”数形结合，让思维在转化之间获得别有洞天的启发、柳暗花明的喜悦，在巧妙解题的过程中感受数学的神奇。

数形结合不仅是重要的数学思想，也是常用的数学方法。“数缺形少直觉， 形少数难入微”。在教学实践中，应根据教材内容、特点，找到数形结合的关键点，恰当地渗透、运用数形结合方法，提高教学效度，丰富学生感知，发展学生思维，促进学生基本数学思想方法的形成。

（责编 金 铃）endprint

小学阶段，无论是教材编排意图还是教学目标要求，需渗透、应用、培养的数学思想方法有很多种，数形结合是其中重要的一种思想方法。简而言之，数形结合思想就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题的思想。“数”与“形”是事物两方面的属性，“数”与“形”的结合，不仅是客观事物的自然连接，更沟通了思维的联结。“数”的抽象与“形”的直观相结合，能把复杂的问题简明化、具象化、生动化。因此，在数学教学中，根据教学内容，适时、有机地渗透和运用数形结合方法，尤为必须且必要。现结合个人的教学实践，浅谈在教学中数形结合思想方法的渗透。

一、数形结合，理解算理

计算教学是小学数学的重要内容。掌握正确的计算方法、准确进行计算，是计算教学的基本目标。加强计算题的练习强度则通常是教师的常用方法，而真正要提高学生的计算能力，算理的理解是基础。不理解算理的计算，方法是机械的，记忆是暂时的，达不到计算思维的融会贯通，计算也就失去了灵活机智。因此，在计算教学中帮助学生理解算理，在理解算理的基础上再加强训练，学生的计算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何让学生理解算理？数形结合的方法很实用，不仅在小学低年段适用，同样，高年段的学生也需要图形的直观帮助他们拓展思维，以形促思，以形助数，达到理解的目的。

在教学分数除法（一），即“分数除以整数”这节课时，对于■÷3的意义和计算方法，我要求学生利用画图的方法，将“数”的问题转化为对“形”的分析、思考。学生将一张长方形的纸按竖着方向平均分成7份，其中四份用红色彩笔涂满，用以表示■。然后，将这张纸再按横着方向平均分成3份，再用蓝色彩笔涂出■的■。从图上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其实就是求■的■是多少。很显然，学生通过“折一折、涂一涂”的小操作，借助图形语言，利用已学过的分数乘法的意义，解决了有关分数除法的问题，从而理解了分数除法的意义，并从中推断出分数除以整数的计算方法。

本学年，我担任六年级的数学教学，最近正在组织学生进行总复习。复习内容涵盖小学六年的数学知识。在复习“数的运算”一节时，对异分母的加减法，有个学生这样分享他的学习感受：我记得当时在学习这个内容时，老师的课件做得很生动，让我们通过图形的演示认识到，分数单位相同，分子才能相加减，所以异分母分数相加减时要先通分，我记得很牢……可见，合适的图形及图形演绎对学生理解算理的重要性。

二、数形结合，明确概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，常常以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。在小学阶段，数学概念很多，如果仅凭死记硬背，没有对数学概念本质的理解、把握，将影响知识的应用与迁移。某些数学概念的教学，需借助相应的直观图形，反复让学生感知，获得体验，建立表象，进而明确概念的内涵，获得抛却具体图形之外的纯粹的数学概念的理解。

如“周长”这一数学概念，是三年级上学期的知识。对三年级的学生来说，“周长”概念还是比较抽象的，如果不借助具体的图形，让学生经历由表象到抽象的思维过程，他们是很难明确概念的本质意义的。我听过一节课，上课老师先后用树叶、课桌面、数学书封面、1元硬币等具体物体，让学生通过看、摸、绕、测，获得感知，经过思维的层层递进，完成对“周长”概念的最终理解和明确。这其间，有一条思维的路径，是具体的“形”在牵引，指向思维深处，最终又摆脱“形”的束缚，建立纯粹的数学概念，即有“见山是山”到“见山不是山”的意味。

三、数形结合，巧妙解题

“数”和“形”是客观事物的两种属性，两者之间有着必然的内在联系。在解题时，在数形结合、数形转化之间，化抽象为具体，化复杂为简明，化无形为有形，往往能突破原有思维的局限性，迅速找到解题的关键点。在这一过程中，学生不仅体会并应用到数形结合的思想，而且能深切感受到数学的奇妙，激发热爱数学的情感，增强学习数学的热情。

在学习了“圆”这一单元后，学生在练习时遇到了这样一道判断题：边长是2厘米的正方形和直径是2厘米的圆，圆的面积比较大。当时我先让学生讲解判断的方法。一位学生是这样讲解的：我算出了正方形的面积是2×2等于4平方厘米，圆的面积是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以这道题是错的。其他学生都认可他的做法，这也是最常规的思路。这位学生讲完后，一位叫小月的学生高高地举起了手：“老师，我有不同的解法。”小月走上讲台，拿起一根粉笔，在黑板上画出了如图1所示的图形：“我画得不标准，但是我相信大家能看得懂。这样画了之后，很容易就能得看出哪个图形的面积大。”数秒的安静后，学生自发地报以热烈的掌声。“我看懂了！”“这样画一画，很快就有了答案！”“这种方法很简便！”在同学们的肯定声中，小月高兴而又自豪地笑了。这种解题技巧其实就是数形结合的具体应用。

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图1 图2

后来我在教室的黑板一角开辟了一块“趣味数学”园地，每周由学生出一道趣味数学题。这些题目都是学生在课外数学读本或是网上找到的，题型新颖，既有趣味性，又有挑战性，很受欢迎。有一次，一个学生出了这样一道题：计算：“■+■+■+■+■=？”这位出题学生在题目旁边注明：如果用常规方法来算，就不是趣味数学了。这道题引发了学生的极大兴趣，下课时，常常可见到几个学生围在一起讨论、争辩。而不同于常规方法的解法，竟真的被学生找到了。学生小鸿在全班讲解这道题的解法时说：“这道题其实用通分的方法算很简单，但出题的同学说了，不能用常规方法。我想了很久，发现这组分数有特点，后面一个数是前面一个数的二分之一。有一次，我无意间画了一个正方形，然后再把这个正方形平均分成两份，突然我就有灵感了。上次小月把一道题的解法‘画出来了，这道题，我也用‘画的方法算出来了。同学们请看。”小鸿讲完，在黑板上画出了图形（如图2），写出■+■+■+■+■=1-■=■。学生以一阵热烈的掌声对他的解法表示赞赏。

这两个案例让我想到了美国数学家斯蒂恩曾说过的一句话：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并创造性地思索解法。”数形结合，让思维在转化之间获得别有洞天的启发、柳暗花明的喜悦，在巧妙解题的过程中感受数学的神奇。

数形结合不仅是重要的数学思想，也是常用的数学方法。“数缺形少直觉， 形少数难入微”。在教学实践中，应根据教材内容、特点，找到数形结合的关键点，恰当地渗透、运用数形结合方法，提高教学效度，丰富学生感知，发展学生思维，促进学生基本数学思想方法的形成。

（责编 金 铃）endprint

小学阶段，无论是教材编排意图还是教学目标要求，需渗透、应用、培养的数学思想方法有很多种，数形结合是其中重要的一种思想方法。简而言之，数形结合思想就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来解决数学问题的思想。“数”与“形”是事物两方面的属性，“数”与“形”的结合，不仅是客观事物的自然连接，更沟通了思维的联结。“数”的抽象与“形”的直观相结合，能把复杂的问题简明化、具象化、生动化。因此，在数学教学中，根据教学内容，适时、有机地渗透和运用数形结合方法，尤为必须且必要。现结合个人的教学实践，浅谈在教学中数形结合思想方法的渗透。

一、数形结合，理解算理

计算教学是小学数学的重要内容。掌握正确的计算方法、准确进行计算，是计算教学的基本目标。加强计算题的练习强度则通常是教师的常用方法，而真正要提高学生的计算能力，算理的理解是基础。不理解算理的计算，方法是机械的，记忆是暂时的，达不到计算思维的融会贯通，计算也就失去了灵活机智。因此，在计算教学中帮助学生理解算理，在理解算理的基础上再加强训练，学生的计算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何让学生理解算理？数形结合的方法很实用，不仅在小学低年段适用，同样，高年段的学生也需要图形的直观帮助他们拓展思维，以形促思，以形助数，达到理解的目的。

在教学分数除法（一），即“分数除以整数”这节课时，对于■÷3的意义和计算方法，我要求学生利用画图的方法，将“数”的问题转化为对“形”的分析、思考。学生将一张长方形的纸按竖着方向平均分成7份，其中四份用红色彩笔涂满，用以表示■。然后，将这张纸再按横着方向平均分成3份，再用蓝色彩笔涂出■的■。从图上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其实就是求■的■是多少。很显然，学生通过“折一折、涂一涂”的小操作，借助图形语言，利用已学过的分数乘法的意义，解决了有关分数除法的问题，从而理解了分数除法的意义，并从中推断出分数除以整数的计算方法。

本学年，我担任六年级的数学教学，最近正在组织学生进行总复习。复习内容涵盖小学六年的数学知识。在复习“数的运算”一节时，对异分母的加减法，有个学生这样分享他的学习感受：我记得当时在学习这个内容时，老师的课件做得很生动，让我们通过图形的演示认识到，分数单位相同，分子才能相加减，所以异分母分数相加减时要先通分，我记得很牢……可见，合适的图形及图形演绎对学生理解算理的重要性。

二、数形结合，明确概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，常常以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。在小学阶段，数学概念很多，如果仅凭死记硬背，没有对数学概念本质的理解、把握，将影响知识的应用与迁移。某些数学概念的教学，需借助相应的直观图形，反复让学生感知，获得体验，建立表象，进而明确概念的内涵，获得抛却具体图形之外的纯粹的数学概念的理解。

如“周长”这一数学概念，是三年级上学期的知识。对三年级的学生来说，“周长”概念还是比较抽象的，如果不借助具体的图形，让学生经历由表象到抽象的思维过程，他们是很难明确概念的本质意义的。我听过一节课，上课老师先后用树叶、课桌面、数学书封面、1元硬币等具体物体，让学生通过看、摸、绕、测，获得感知，经过思维的层层递进，完成对“周长”概念的最终理解和明确。这其间，有一条思维的路径，是具体的“形”在牵引，指向思维深处，最终又摆脱“形”的束缚，建立纯粹的数学概念，即有“见山是山”到“见山不是山”的意味。

三、数形结合，巧妙解题

“数”和“形”是客观事物的两种属性，两者之间有着必然的内在联系。在解题时，在数形结合、数形转化之间，化抽象为具体，化复杂为简明，化无形为有形，往往能突破原有思维的局限性，迅速找到解题的关键点。在这一过程中，学生不仅体会并应用到数形结合的思想，而且能深切感受到数学的奇妙，激发热爱数学的情感，增强学习数学的热情。

在学习了“圆”这一单元后，学生在练习时遇到了这样一道判断题：边长是2厘米的正方形和直径是2厘米的圆，圆的面积比较大。当时我先让学生讲解判断的方法。一位学生是这样讲解的：我算出了正方形的面积是2×2等于4平方厘米，圆的面积是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以这道题是错的。其他学生都认可他的做法，这也是最常规的思路。这位学生讲完后，一位叫小月的学生高高地举起了手：“老师，我有不同的解法。”小月走上讲台，拿起一根粉笔，在黑板上画出了如图1所示的图形：“我画得不标准，但是我相信大家能看得懂。这样画了之后，很容易就能得看出哪个图形的面积大。”数秒的安静后，学生自发地报以热烈的掌声。“我看懂了！”“这样画一画，很快就有了答案！”“这种方法很简便！”在同学们的肯定声中，小月高兴而又自豪地笑了。这种解题技巧其实就是数形结合的具体应用。

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图1 图2

后来我在教室的黑板一角开辟了一块“趣味数学”园地，每周由学生出一道趣味数学题。这些题目都是学生在课外数学读本或是网上找到的，题型新颖，既有趣味性，又有挑战性，很受欢迎。有一次，一个学生出了这样一道题：计算：“■+■+■+■+■=？”这位出题学生在题目旁边注明：如果用常规方法来算，就不是趣味数学了。这道题引发了学生的极大兴趣，下课时，常常可见到几个学生围在一起讨论、争辩。而不同于常规方法的解法，竟真的被学生找到了。学生小鸿在全班讲解这道题的解法时说：“这道题其实用通分的方法算很简单，但出题的同学说了，不能用常规方法。我想了很久，发现这组分数有特点，后面一个数是前面一个数的二分之一。有一次，我无意间画了一个正方形，然后再把这个正方形平均分成两份，突然我就有灵感了。上次小月把一道题的解法‘画出来了，这道题，我也用‘画的方法算出来了。同学们请看。”小鸿讲完，在黑板上画出了图形（如图2），写出■+■+■+■+■=1-■=■。学生以一阵热烈的掌声对他的解法表示赞赏。

这两个案例让我想到了美国数学家斯蒂恩曾说过的一句话：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并创造性地思索解法。”数形结合，让思维在转化之间获得别有洞天的启发、柳暗花明的喜悦，在巧妙解题的过程中感受数学的神奇。

数形结合不仅是重要的数学思想，也是常用的数学方法。“数缺形少直觉， 形少数难入微”。在教学实践中，应根据教材内容、特点，找到数形结合的关键点，恰当地渗透、运用数形结合方法，提高教学效度，丰富学生感知，发展学生思维，促进学生基本数学思想方法的形成。

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