基于极弧系数选择的直线电动机法向力波动削弱方法

夏加宽，宋德贤，沈 丽

(沈阳工业大学，沈阳110870)

0 引 言

随着永磁电机的发展，永磁同步直线电动机具有推力大、加速快、精度高以及实现进给系统的“零传动”等优势，逐渐取代传统的滚珠丝杆在机床伺服系统中的作用。但由于齿槽效应、端部效应，电流谐波、电枢磁动势谐波、永磁励磁磁动势谐波等的存在，当直线电动机运动的时候，不仅会在动子侧引起推力波动，还会引起法向力波动，法向力的波动会引起摩擦力的摄动，进而引起水平推力的波动，影响机床的加工精度。

有关永磁直线电动机计算方法和法向力波动削弱方法的研究，国内外学者做了许多相关研究。文献［1－2］通过优化电机动子长度方法降低边端力，采用分数槽结构方法降低齿槽效应引起的齿槽力;文献［3－8］研究了槽型、边齿形状、斜槽、斜极、辅助槽对齿槽削弱的效应，并提出了一些削弱方法;文献［9］提出针对齿槽效应产生的谐波分析并给出了削弱方法，但是没有针对某次谐波进行削弱。由以上文献可以看出，齿槽效应是引起永磁直线同步电机法向力波动的一个重要原因，但还没有归纳解析公式来解释其内在的物理本质。基于此，本文从解析法入手，研究齿槽效应对永磁直线电动机法向力波动的影响，并研究极弧系数对其的影响。

本文以单边平板永磁同步直线电机为研究对象，提出了在电枢开路时齿槽效应产生的法向力波动的解析方法，通过理论推导，得到了齿槽效应产生的法向力波动的解析表达式。以此为基础，研究了不同极弧系数对直线电动机法向力波动的影响规律，总结了合理的极弧系数选择，可以削弱直线电动机法向力波动，最后通过有限元验证，证明所提出的方法的正确有效性。

1 电枢绕组开路时的气隙磁场解析分析

永磁直线电动机在电枢绕组开路时，受到切向的磁阻力和法向的电磁吸力均是永磁磁动势与电枢铁心相互作用的结果，气隙磁场分布决定法向吸力的大小和变化规律。永磁直线单元电机的电枢几何模型如图1 所示。

图1 永磁直线单元电机的电枢几何模型

图中:l 为电枢铁心长度;bt为齿顶宽度:t1为槽距;σ 为气隙长度;τm为永磁体宽度;τ 为极距。y为某一指定齿的中心线与某一q 轴的距离。

为便于分析，本文作如下假设:1)电枢铁心磁导率μFe为无穷大;2)永磁体的磁导率与空气相同;3)永磁体的磁力线是垂直进入动子铁心的，也即只有法向磁场，而无切向磁场;4)动子为无限长，即不考虑端部效应。

根据磁路基尔霍夫第二定律可得到永磁磁极在气隙中产生的磁场为永磁磁动势与相对气隙磁导的乘积。即:

式中:hPM为永磁体磁场强度。

图1 中相对气隙磁导波写成:

其中:

式中:z 为电机槽数。

式中:αp为极弧系数;Br为永磁体剩余磁感应强度最大值。

图2 Br(x)的分布

由麦克斯韦张力张量定理可知，动子单位铁心面积的法向力:

对动子铁心面积积分，可得直线电动机动子的法向力为:

将式(1)、式(2)、式(4)代入式(6)，再将式(6)代入式(7)，并利用三角函数的正交性，得到直线电动机的动子法向力:

从式(8)可以看出，当动子和定子相对位置固定时，动子和定子之间只存在恒定的法向电磁吸力，随着磁导波和磁场波间的相位y 发生变化，法向电磁力也就产生了波动分量。在对Br(x)进行傅里叶分解后，对法向力波动产生作用的只有kz =np 和kz=2np 次的傅里叶分解系数，其他次傅里叶分解系数对法向力波动不产生影响。

2 针对极弧系数选择的法向力削弱方法

2.1 对Br(x)傅里叶分解系数的影响

从式(5)可以看出，极弧系数αp的选择不同，Br(x)的傅里叶分解系数也将产生较大的变化。若使Brn=0 必须满足=整数，通过实验仿真可以得出直线电动机法向力的主要谐波次数n 都为3 的倍数，所以当极弧系数αp=2/3 时，对所有法向力波动有影响的Brn都等于零，这时的齿槽效应引起的法向力波动应该为最小;而当极弧系数αp=8/9，n 为9的倍数时，Brn=0。因此，极弧系数的选择对Br(x)傅里叶分解系数的大小影响息息相关，只要选取合理的极弧系数，才能保证特定次的Br(x)傅里叶分解系数值很小，而且这些系数按照一定的规律变化。图3 是Br(x)的次数为3 的倍数次傅里叶分解系数Brn随极弧系数的变化曲线。按照常规电机设计方法，极弧系数一般选择0.8 左右，从图3 可以看出Br3、Br6、Br9的值都较大，会引起较大的法向力波动。

图3 Brn随极弧系数的变化曲线

本文以一台12 槽的直线电动机为例说明极弧系数的选取确定方法，电机相关参数如表1 所示。

表1 电机参数

当直线电动机极数为8 时，法向力只与Br(x)的6a(a 为整数)次傅里叶分解系数有关，图4 为Br(x)的6、12、18 次傅里叶分解系数随极弧系数的变化曲线。从图中分析可知，傅里叶分解系数随着极弧系数的变化而有较大变化。选择合理的极弧系数使得Br6、Br12、Br18同时最小，只要满足Br6最小即可，因此选择使Br6最小的极弧系数，就可以削弱法向力波动。由此可知，对于12 槽8 极电机，当极弧系数选择2/3 时候，使得Br6a为0，此时齿槽效应产生的法向力波动也应比较小。当极弧系数为5/6 时，Br6a很大，齿槽效应产生的法向力波动也应该很大。

图4 p=8 时Brn随极弧系数变化曲线

当直线电动机极数为10 时，法向力只与Br(x)的12a(a 为整数)次傅里叶分解系数有关，图5 为Br(x)的12、24、36 次傅里叶分解系数随极弧系数的变化曲线。从图中分析可知，傅里叶分解系数随着极弧系数的变化而有较大变化。选择合理的极弧系数使得Br12、Br24、Br36同时最小，只要满足Br12最小即可，因此选取使Br12最小的极弧系数，就可以削弱法向力波动。由此可知，对于12 槽10 极电机，当极弧系数选择为2/3 或5/6 时候，使得Br12a为0，此时的齿槽效应产生的法向力波动也应比较小。当极弧系数为3/4 时，Br12a很大，齿槽效应产生的法向力波动也应该很大。

图5 p=10 时，Brn随极弧系数的变化曲线

2.2 有限元仿真

为验证上述极弧系数选择对削弱直线电动机法向力波动方法的正确有效性，本文采用Ansoft 软件进行有限元验证。由于直线电动机的特殊性，若单纯考虑齿槽效应，必须消除端部效应的影响，因此建模时，动子边齿的长度为无限长，而定子为有限长，其模型如图6 所示。

图6 动子无限长电机仿真模型

当电机极数为10 极时，极弧系数分别选择0.75 和5/6 时的有限元仿真如图7 所示。

图7 p=10 时，极弧系数为0.75 和5/6 时的法向力波形

由图7 可以看出，极弧系数为0.75 时，法向力波动值为47.1 N;极弧系数为5/6 时，法向力波动值为36.8 N，法向力波动值减小了21.8%。当电机极数为8 极时，极弧系数分别选择0.85 和2/3 时的有限元仿真如图8 所示。

图8 p=8 时，极弧系数为0.85 和2/3 时的法向力波形

由图8 可以看出，极弧系数为0.85 时，法向力波动值为113.6 N;极弧系数为2/3 时，法向力波动值为40.8 N，法向力波动值减小了64.1%。

从以上可以看出，只要选择合适的极弧系数就能使Brn为0，即法向力为零。但由于本文在分析计算时忽略了漏磁、饱和和切向磁场对电机的影响，因此，从图7、图8 可以看出，齿槽效应产生的法向力是一个很小的值，但不为零。由此可知，不同极弧系数的选择对直线电动机法向力波动的削弱方法是正确有效的。

通过上面的分析和仿真验证可以看出，法向力波动与极弧系数的选择具有较大的关系，选择合理的极弧系数，能够较大幅度地削弱直线电动机的齿槽效应产生的法向力波动。

3 结 语

齿槽效应产生的法向力波动的大小与剩磁的傅里叶分解次数有关系，但是不是所有的次数都有关系，只有kz =np 和kz =2np 次傅里叶分解次数才对法向力波动产生作用。根据本文给出的解析方法，可以方便地确定齿槽效应引起的法向力波动的频率和对波动幅值有影响的Br(x)的傅立叶分解次数，进而合理选择极弧系数，削弱直线电动机法向力的波动。有限元分析结果证明本文的解析方法是正确有效的。

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