基于DAMDF的弹道导弹进动周期提取

赵振冲，王晓丹，宋亚飞，雷 蕾

(空军工程大学防空反导学院， 西安710051)

0 引言

相比于碎片和诱饵，具有姿态控制的弹头在飞行过程中由于受到干扰而产生的进动是其特有的特性。因此，进动参数的提取是区分真假弹头和诱饵、碎片的关键［1-8］。

现有的基于平均幅度差函数(Average Magnitude Difference Function，AMDF)和自相关函数(Autocorrelation Function，AUTOC)的导弹进动周期提取方法，如:AUTOC/AMDF［9］、循环 AUTOC(Circular AUTOC)、循环 AMDF(Circular AMDF)和 CAUTOC/CAMDF［10］，主要存在两个方面的问题:(1)由于AMDF和AUTOC的处理结果和原数据具有相同的周期，每种方法的处理结果都包含多个分频和倍频峰值，而且当信噪比较低时，由于噪声的影响会出现更多的虚假峰值，因此在提取周期时都会出现分频和倍频错误。(2)随着计算步长的增加，函数幅值会出现明显的衰减，使得周期提取变得更加困难。文献［11-12］分别提出了方差分析法和时频分析法，仍会出现分频和倍频错误。

基于以上分析，本文提出一种基于修正的双重AMDF算法的周期估计方法(Double AMDF，DAMDF)。由于利用AMDF和AUTOC函数处理的结果具有和原数据相同的周期性，并且其平均幅值随步长增加而衰减，因此对处理结果利用AMDF进行周期再提取时，二次处理结果在第一周期处的极值显著性要明显强于在各分频处的极值显著性。为了进一步增强这种效果，对二次处理的AMDF函数进行了归一化修正，使处理后的结果只在第一周期处有一个比较显著的峰值。该方法不但克服了分频的影响，而且能够有效抑制噪声和倍频带来的干扰。实验表明，该方法在信噪比低、目标平动的情况下仍能准确估计出进动周期。

1 基于AMDF和AUTOC的进动周期估计

AMDF和AUTOC是提取序列周期常用的两种方法。设弹头窄带雷达回波序列为X(n)，n=1，2，…，N，则平均幅度差函数可表示为

从P(k)中提取周期有两种常用方法:

1)在最值处提取周期。估计函数可设为

式中:kmin、kmax是预先设定的最大、最小步长。则有T=Δk/fs，其中fs为样本采样频率。该方法的优点是计算简单，但缺点也很明显。假设目标的进动周期为T0，则在 k=nT0，n∈N*，函数同样会出现谷值，并且由于目标的雷达回波不可避免地将受到噪声的干扰，因此在实际的计算过程中会出现分频或倍频误差。并且随着k值的增加，求和项逐渐减少，函数会出现多个谷值。仿真实验表明，该方法的误判率随着信噪比(SNR)的降低而迅速提高。

2)依据AMDF和X(n)具有相同周期的特点，以两个极值的间隔作为周期。即Δk=kmin2-kmin1，其中kmin1、kmin2分别是函数(1)取极值时对应的步长，则有T=Δk/fs。该方法的性能同样会受到噪声造成的虚假峰值的严重影响。

自相关函数是另外一种计算序列周期的有效方法。函数可表示为

基于该函数的周期估计同样有两种常用方法。一种设周期估计函数为

另外一种Δk=kmax2-kmax1，则有T=Δk/fs。该方法同样存在和AMDF一样的不足。

由函数特性可知，AUTOC表征的是X(i)与延时为k的信号X(i+k)之间的相似程度，其峰值显著性容易受到数据平均幅值变化的影响;AMDF计算的是信号X(i)与延时为k的信号X(i+k)之间的幅度差，其谷值的显著性对噪声的影响比较敏感。仿真结果表明:在SNR比较高的情况下，AMDF的估计精度较AUTOC更为精确，AUTOC对回波数据的平均幅值的变化比较敏感，如图1所示，而实际中雷达回波的平均幅度由于导弹的平动作用而不断变化。但是在SNR较低(小于5 dB)且不考虑平动或平动较小的情况下，AMDF几乎失效，而AUTOC仍能保持一定的准确性，如图2所示。

为了增强两种函数在峰值和谷值处的大小，文献［9］采用AUTOC和AMDF的倒数相乘的办法，即

图1 不加噪声对平均幅值斜率-0.2数据的计算结果

图2 低SNR时计算结果

在此基础上，为了减少由于k的增加、求和项减少而造成的函数值的衰减，文献［10］采用循环平均幅度差函数(CAMDF)的倒数和循环自相关函数(CAUTOC)相乘的方法，即

这两种方法虽然能在一定程度上加强峰值的显著性，但是同样存在虚假峰值(如图3、图4所示，T=2 s，f=10 Hz)和函数幅值随着步长的增加而衰减的现象。在低SNR情况下，这些不足依然会导致较高的分频和倍频错误。

图3 AUTOC/AMDF仿真结果

综上分析，利用AMDF和AUTOC提取进动周期的关键就在于如何从处理结果的众多虚假峰值中提取出准确的峰值。解决的最好办法就是只保留第一个周期处的极值，设法消掉其他极值，特别是由于分频而引起的极值，这样就能更加准确地提取出进动周期。

图4 CAUTOC/CAMDF仿真结果

2 基于DAMDF的进动周期提取算法

由函数性质可知，周期序列X(n)用AMDF和AUTOC的处理结果P(k)和D(k)与原数据具有相同的周期性，并且函数幅值由于步长的增加而逐渐衰减。因此，P(k)和D(k)单个周期的显著性要明显大于多个周期的显著性，可用AMDF对其进行二次处理，削弱其在第一周期处极值外的其他极值，使对周期峰值的检测更加准确和方便。

设函数f(x)是周期为T0的实函数，a为大于零的实数，称为衰减因子，则称函数

为周期衰减函数。以f(x)=sin(2πx)，a=0.1为例，其函数曲线如图5所示。

图5g(x)函数曲线

对g(x)利用平均幅度差函数提取周期，并将函数除以求和项数进行归一化修正，即

式中:fs为采样频率。令Δfk(i/fs)=f(i/fs)-f((i+k)/fs)，则P'(k)可表示为

由AMDF的函数性质可知，P'(k)将在k=nT0fs(n∈N*)处有极小值，设其为mink，则有

由此可见，第一个极小值要比第n个极小值小n倍。第一个周期处极值比较显著，其他极值以aT0的速度迅速增强。

影响P'(k)幅值的因素主要有两个:

1)受步长k的影响。当k比较小时，P'(k)受Δfk(i)的周期性的影响比较显著，这时随着k的变化极值表现比较明显。当k较大时，极值严重衰减，Δfk(i)的变化对P'(k)的影响可以忽略，此时P'(k)主要受ak的影响，近似成线性递增。对图5所示函数利用式(8)进行计算并求倒数得到的结果如图6所示。

图6 对g(x)=sin(2πx)-0.2x求1/AMDF

2)受衰减因子a的影响。设周期函数f(x)的幅度为b，则称S=|a/b|为g(x)的显著系数。当S较小时，衰减因子a相对较小，由式(10)可知，此时各极值的递增速度较慢，但是对结果求倒数后各峰值以1/aT0的速度迅速衰减，第一周期处极值的显著性不受影响。当S较大时，衰减因子a相对较大，此时函数迅速衰减，g(x)的周期特性被衰减特性覆盖，利用式(8)进行处理时几乎不会有极值出现。仿真实验表明，当S＜1时，第一周期处极值的显著性比较明显。当S＞1时，处理结果几乎不存在峰值特性。图7给出了当S取不同值时，对g(x)=sin(2 πx)-ax利用P'(k)处理并求倒数后的结果。

图7 不同S下P'(k)的图像

由式(1)、式(3)可知，由于分频作用，P(k)和D(k)呈现出和雷达回波序列X(n)相同的周期性，在k=nT0，n∈N*处函数将出现极值。并且随着k值的增加，求和项逐渐减少，P(k)和D(k)的平均幅值将出现近似线性的衰减，由于k的变化范围很大，使得这种衰减的衰减因子相对其平均幅值很小，S远小于1。

基于以上分析，对雷达回波数据X(n)利用AMDF和AUTOC进行预处理后的序列P(k)和D(k)满足式(7)的形式，因此可以利用式(8)进行二次处理，削弱除第一极值之外的其他极值。同时，为了进一步增强第一极值的显著性，将二次处理后的DP'(k)和PP'(k)相乘后取倒数。仿真实验表明SNR较低时，DP'(k)仍有比较明显的峰值特征，而P(k)的周期特征很弱，PP'(k)主要受ak的影响，导致其几乎呈线性递增(如图8所示)，但是这反而会加强DP'(k)第一极值的显著性，从而大大提高低SNR时周期提取的准确性和稳定性。这样不仅能利用在高信噪比情况下AMDF的精确性，同样可以利用信噪比较低时AUTOC的稳定性。

图8 SNR=2 dB时AMDF-AMDF和AUTOC-AMDF的计算结果

利用DAMDF进行进动周期提取的步骤可归纳如下:

步骤1:分别利用AMDF和AUTOC对雷达回波序列X(n)进行预处理，得到P(k)和D(k)。

步骤2:对P(k)和D(k)利用式(7)进行二次处理，得到PP'(k)和DP'(k)。

步骤3:把DP'(k)和PP'(k)相乘，得到函数φ(k)=DP'(k)·PP'(k)。

步骤4:对φ(k)求倒数，取 φ(k')=φmax(k')时的km=k'，则 T=km/fs。

3 仿真实验与分析

设目标为平底锥，高h=1.6 m，底面半径R=0.3 m，利用FEKO软件测得目标全姿态角下窄带雷达回波序列W(n)，当目标受到第一节描述的情景时将产生进动，设进动周期T=2 s，进动角θ=10°，对弹道导弹轨道进行建模，设定采样频率为10 Hz，利用仿真出的实时姿态角提取39.7 s的动态回波X(n)，如图9所示。

图9 雷达动态回波序列

分别利用 AUTOC/AMDF、CAUTOC/CAMDF，时频分析法和DAMDF在SNR=20 dB和SNR=2 dB时的仿真结果，如图10所示。

图10 SNR=20 dB时四种方法的比较

从图10，图11中可以看出，DAMDF几乎消除了除第一峰值之外的其他峰值。

图11 SNR=2 dB时四种方法的比较

每次方法重复试验50次，三种方法利用式(4)进行周期提取的情况下，受不同信噪比影响的正确率，如图12所示。

图12 不同SNR情况下各方法性能对比

仿真实验表明:DAMDF不仅使周期提取变得更加容易，而且通过对原有数据的两次处理，使其具有了比其他几种方法更好的抗噪性。

4 结束语

本文对传统周期提取方法进行了分析，针对其存在的分频和倍频现象，以及由于步长增长造成的平均幅值的衰减特性，提出了一种基于双重AMDF函数的周期提取方法DAMDF。该方法首先对回波数据利用AMDF和AUTOC进行预处理，然后利用其衰减特性和改进的AMDF进行二次处理，使处理后的结果只有一个比较明显的峰值。实验表明，在信噪比比较低的情况下，该方法的处理结果仍能保持很好的峰值效果，证明了该方法具有很好的抗噪性和稳定性。

［1］马 梁.弹道中段目标微动特性及综合识别方法［D］.长沙:国防科技大学，2011.Ma Liang.The micro-motion characteristic and combining classification of ballistic target［D］.Changsha:National U-niversity of Defense Technology，2011.

［2］Group I W.Missile defense，the space relationship，and the twenty-first century 2007 report［R］.The Institute for Foreign Policy Analysis，2007.

［3］Lee S H.Investigation of the effects of target feature variations on ballistic missile RCS［D］.Alabama，USA:Air U-niversity，2006.

［4］Lei P，Wang J，Sun J.Analysis of radar micro-Doppler signatures from rigid targets in space based on inertial parameters［J］.IET Radar，Sonar&Navigation，2011，5(2):93-102.

［5］康 猛，王春花，郝 明，等.弹道目标进动周期特征提取研究［J］.现代雷达，2010，32(11):29-32.Kang Meng，Wang Chunhua，Hao Ming，et al.A study on precession-period extraction method of ballistic targets［J］.Modern Radar，2010，32(11):29-32.

［6］饶 彬，屈龙海，肖顺平，等.基于时间序列分析的弹道目标进动周期提取［J］.电波科学学报，2011，26(2):291-296.Rao Bin，Qu Longhai，Xiao Shunping，et al.Precession period extraction of ballistic targets based on time series analysis［J］.Chinese Journal of Radio Science，2011，26(2):291-296.

［7］Cai C J，Liu W X，Fu J S，et al.Radar micro-Doppler signature analysis with HHT［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems，2010，46(2):929-938.

［8］金 林.弹道导弹目标识别技术［J］.现代雷达，2008，30(2):1-5.Jin Lin.Technique of target recognition for ballistic missile［J］.Modern Radar，2008，30(2):1-5.

［9］刘维建，陈建文.弹道类目标进动周期特征提取方法研究［J］.现代雷达，2009，31(7):62-68，73.Liu Weijian，Chen Jianwen.A study on precession period extraction method of ballistic targets［J］.Modern Radar，2009，31(7):62-68，73.

［10］冯德军，刘 进，丹 梅.弹道中段目标RCS周期特性及其估计方法［J］.宇航学报，2008，29(1):362-365.Feng Dejun，Liu Jin，Dan Mei.RCS periodicity of ballistic target in midcourse and its estimation algorithms［J］.Journal of Astronautics，2008，29(1):362-365.

［11］黄小红，姜卫东.空间目标 RCS序列周期性判定与提取［J］.航天电子对抗，2005，21(2):29-30.Huang Xiaohong，Jiang Weidong.Determination and extraction of space target RCS sequence cycle［J］.Aerospace Electronic Warfare，2005，21(2):29-30.

［12］胡杰民，付耀文，黎 湘.空间锥体目标进动周期估计［J］.电子与信息学报，2008，30(12):2849-2853.Hu Jiemin，Fu Yaowen，Li Xiang.Precession cycle estimation of cone-shaped spatial target［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2008，30(12):2849-2853.