排列组合、二项式定理

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排列组合与二项式定理的知识在每年的高考中都有考查，通常以客观题的形式出现，常与两个计数原理、概率统计、多项式展开等交汇命题，是各地区高考命题的热点. 排列组合知识只针对理科同学.

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分类加法与分步乘法计数原理，是解决排列组合、二项式定理问题的核心思想. 解决一个具体问题，可以有若干种方法，也可以拆分成若干个步骤，围绕解决问题的方案进行“计数”，是此类问题的解题方向. 一般地，“有序”要“排列”，“无序”用“组合”，复杂问题“先选后排‘套模型’”；二项式定理问题“局部用‘通项’，整体可‘赋值’”，也可回归计数原理本质.

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■ 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张. 从中任取3张，要求这3张卡片不能同色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）

A. 232 B. 252

C. 472 D. 484

破解思路 “无序”用“组合”，按红色卡片的张数分类讨论，逐一计数.

经典答案 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C■■×C■■×C■■=64种，若2色相同，则有C■■C■■C■■C■■=144种；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C■■×C■■×C■■×C■■=192种，若同色则有C■■C■■C■■=72种，所以共有64+144+192+72=472种. 故选C.

■ 图1中有一个信号源和五个接收器. 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）

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图1

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

破解思路 本题主要考查组合、概率知识，破解的关键是审清题意——“五个接收器能同时接收到信号”，即需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，解题中要用到平均分组的计数求法.

经典答案 由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有■=15种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有■=15种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有A■■=120种. 所求的概率是P=■=■，故选D.

■ 若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=_______.

破解思路 从恒等式对应项系数相等出发，建立等式即可；也可对恒等式两边求导“降幂”，赋值解决.

经典答案 由等式两边对应项系数相等，可得a5=1，C■■a5+a4=0，C■■a5+C■■a4+a3=0？圯a3=10.

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1. 三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为（ ）

A. 720 B. 144

C. 36 D. 12

2. 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数中，相邻两位数字的奇偶性都不同的有（ ）

A. 24个 B. 36个

C. 60个 D. 72个

3. 若已知二项式2x-■■的展开式中的常数项为15，则实数a的值为_______.