分布列、期望、方差

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由于离散型随机变量的分布列、期望与方差与现实生活联系密切，能充分体现数学的应用价值，也符合高考发展的方向，是近几年高考考查的热点与重点内容. 预计在今后的高考中，它仍然是考查的重点，题型有选择题、填空题、解答题，不同的地区，在命题设计上不尽相同，但以解答题为主的可能性更大.

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求离散型随机变量的期望和方差，一般先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，再根据数学期望和方差的公式计算. 这类题多为解答题，常常综合考查排列组合知识、随机事件的概率等，有时还会根据概率、期望、方差等数据对某些现象进行说理. 因此在复习时要注意对概率综合题的研究，既要落实“模型题”训练，又要注重从生活情境出发进行思考.

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■ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表. 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求工期延误天数的均值与方差.

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破解思路 先根据条件信息求出Y=0，2，6，8时的相应概率，列出Y的分布列，再根据分布列计算期望和方差. 这类题为容易题，体现对分布列、期望、方差等的最低要求.

经典答案 由已知条件和概率的加法公式可得到：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2，P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为：

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于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延误天数的均值为3，方差为9.8.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

■ 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是■；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是■.

（1）若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ.

（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于■，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

破解思路 （1）方程思想. 先根据条件建立方程，确定白球数，再确定随机变量ξ的可能取值，并求出相应的概率，求得分布列和期望.

（2）先设定两种球的个数，表示出相应的概率，由概率关系建立不等式，得到两个未知数间的关系，从而论证结论.

经典答案 （1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）=1-■=■，得到x=5. 故白球有5个.

②随机变量ξ的取值为0，1， 2，3，分布列是：

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ξ的数学期望Eξ=■×0+■×1+■×2+■×3=■.

（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题得y=■n，所以2y

■ 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2， 3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

（1）写出X的可能值集合；

（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；

（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

破解思路 准确理解题意是确定随机变量X的取值的关键. 分析a1，a3与a2，a4中奇数、偶数的个数，确定X的奇偶性，然后估算X的范围，并逐一检验；借助树状图列出所有可能情形，计算X值相应的概率，得到分布列；通过计算概率，判断该品酒师酒味鉴别的能力，并说明理由.

经典答案 （1）由于1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中奇数个数与a1，a3中偶数个数相同，所以1-a1+2-a2+3-a3+4-a4的奇偶性相同，从而X的可能值必为偶数，且非负，不大于8，故X的可能值集合为{0，2，4，6，8}.

（2）列树状图可得1，2，3，4的排列共有24种，计算得X的分布列如下：

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（3）①由（2）知P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=■，又各轮测试相互独立，所以三轮测试都有X≤2的概率为P=■■=■.

②由于P=■■=■<■是一个很小的概率，所以如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果可能性非常小，因此我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别能力，不是随机猜测的.

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1. 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：

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（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；

（2）从40人中任选2名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

2. 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）. 评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分. 某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜. 对于这8道选择题，试求：

（1）该考生得分为40分的概率；

（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ.

3. 文科班某同学参加某省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为■，■，■.

（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W1，W2，W3））；

（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；

（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.