参考答案（6）

1 抽样方法

1. 760 2. 900 3. 20

2 统计图表

1. 由样本的频率分布直方图知数据落在[6，10）内的频率为0.08×（10-6）=0.32，所以可以估计样本数据落在[6，10）内的频数为0.32×200=64. 同理可估计样本数据落在[10，14）内的频数为200×0.09×4=72，样本数据落在[14，22）内的频数为200×（0.03×4+0.03×4）=48，可以排除B，C. 数据落在[2，10）内的概率约0.02×4+0.08×4=0.40，A正确. 数据落在[10，18）内的概率约为0.09×4+0.03×4=0.48，D不正确. 所以选A.

2. （1）画出茎叶图如图1所示：①甲地树苗高度的平均数为28 cm，乙地树苗高度的平均数为35 cm，所以甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗高度的平均数；②甲地树苗高度的中位数为27 cm，乙地树苗高度的中位数为35.5 cm，所以甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗高度的中位数.

■

图1

（2）在5株树苗中，记甲苗圃这株苗为a，乙苗圃中4株苗分别为b，c，d，e，则任取两株共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种情形.不含a的有6种bc，bd，be，cd，ce，de，所以小王没有选择到甲苗圃树苗的概率为■=■.

3 排列组合、二项式定理

9lB+DUJ9R2eRbJs9Bd0k2yLrSkJme9O3wsLyJUq9xLY=1. 先安排三位老师站好，有A■■种排法；然后，再将三位学生分别安排到已安排好的三位老师形成的4个空当，有A■■种排法. 故根据分步计数原理，得不同的排法共有A■■·A■■=144种，故选B.

2. 利用特殊元素法是解本题的关键，考虑到特殊元素“0”，将“0”分别置于个、十、百、千、万位考虑，得5×C■■C■■C■■C■■C■■=5×12=60个. 故选C.

3. Tr+1=C■■（2x）■-■■=（-a）r·2■C■■x■，由6-3r=0得r=2，即T3为展开式的常数项，所以（-a）2·24C■■=15，解得a=±■.

4 古典概型

1. 甲、乙、丙三名同学按任意次序站成一排，不同的排法共有A■■=6种. 而甲站在两端的排法有（C■■A■■）A■■=4种，所以所求概率为P=■=■.

2. 将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3， 4，5，6，7的七个抽屉内，共有A■■种不同的放法. 而文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内可用排除法. 文件A，B被放在相邻的抽屉内且不考虑文件C，D是否被放在相邻的抽屉内，有A■■·A■■种不同的放法；文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D也被放在相邻的抽屉内，有A■■·A■■·A■■种放法，故所求的概率为P=■=■. 选B.

5 几何概型

1. 由圆C：x2+y2+4y=0知圆的半径为2，所以△CAB的周长为AC+CB+AB=2+2+AB=4+AB，且B是圆C上的动点，所以求△CAB的周长小于6的概率即求弦AB的长小于2的概率，进而求∠ACB≤■的概率. 故所求的概率为■=■.

2. 试验的全部结果构成的区域面积为2π，由定积分的几何意义得阴影部分的面积为■sinxdx=-cosx■■= -cosπ+cos0=2，所以所求概率为P=■=■.

3. D

6 互斥事件、独立事件的概率

1. 要么甲队夺得，要么乙队夺得，即■+■=■.

2. 设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x，y，依题意得：■xy=■，■（1-x）（1-y）=■， 即x=■，y=■或x=■，y=■（舍去）. 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是■，■.

3. 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.于是甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P=P（A·B·■）+P（A·■·C）+P（■·B·C）+P（A·B·C）=■×■×■+■×■×■+■×■×■+■×■×■=■.

7 分布列、期望、方差

1. （1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为P=1-■=■.

（2）由题意知X=0，1，2，由已知得P（X=0）=■=■，P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，随机变量X的分布列为：

■

所以随机变量X的数学期望EX=0×■+1×■+2×■=■.

2. （1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为■，有一道题答对的概率为■，还有一道题答对的概率为■，所以得40分的概率为P=■×■×■×■=■.

（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故所求概率为P（ξ=20）=■×■×■×■=■；同样可求得得分为25分的概率为P（ξ=25）=C■■×■×■×■×■+■×■×■×■+■×■×■×■=■；得分为30分的概率为P（ξ=30）=■；得分为35分的概率为P（ξ=35）=■；得分为40分的概率为P（ξ=40）=■. 于是ξ的分布列为：

■

故Eξ=20×■+25×■+30×■+35×■+40×■=■，该考生所得分数的数学期望为■.

3. （1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为（W1，W2，W3），（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■），（■，■，W3），（■，W2，■），（W1，■，■），（■，■，■）.？摇

（2）由（1）可知，有两个A的情况为（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■）三种，从而其概率为P=■.

（3）该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个A的事件概率大于85%，理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个A的事件有如下七种情况：（W1，W2，W3），（■，W2，W3），（W1，■，W3），（W1，W2，■）（■，■，W3），（■，W2，■），（W1，■，■），概率是P=■=0.875>85%.

8 统计案例

（1）高一在这次知识竞赛的合格率为0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=80%.

（2）完成列联表如下：

■

所以χ2=■≈9.5>6.635，所以有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”.

综合测试

1. B

2. D

3. 由题易知P=■=■，故答案为C.

4. 由二项式展开得，x3的系数为C■■+C■■+…+C■■，由组合数性质可知x3的系数为C■■；也可以由等比数列的性质对左边求和，得■=■，从而易知x3的系数为C■■，故选B.

5. 由题知向量集合M中共有20个元素，向量集合V中有40个元素，分别在M，V中各任取一个向量的取法为800种. 由V中向量特点知，只需要求出数量积为0的数目，从总数中减去数量积为0的数目后再除以2，即可得到数量积小于0的种数. 而分别在向量集合M，V中各任取一个向量数量积为0的数目是48个，所以分别在向量集合M，V中各任取一个向量数量积<0的数目为■=376，所求概率为P=■=■，故选A.

6. 先让数字1，3，5，7作全排列，有A44=24种；再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法；最后排数字2，4，在剩下的4个空隙中排2，4，有A24种排法，共有A44×3×A24=864种.

7. 由a，b，c成等差数列得2b=a+c，又a+b+c=1，Eξ=-1×a+1×c=c-a=■，联立得a=■，？摇b=■，？摇c=■，所以Dξ=-1-■■×■+■■×■+■■×■=■，故答案为■.

8. 易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，所以P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3），则有P（B）=■×■+■×■+■×■=■，即事件B的概率是确定的，答案为②④.

9. （1）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：

共9种. 由表格可知OP的最大值为■.设事件A为“OP取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，所以P（A）=■.？摇

（2）设事件B为“P点在第一象限”，若0≤x≤3，0≤y≤3，则其所表示的区域面积为3×3=9，由题意可得事件B满足0≤x≤3，0≤y≤3，x-2>0，x-y>0，即如图1所示的阴影部分. 其区域面积为■×3×3-■×2×2=■，所以P（B）=■=■.？摇

■

图1

10. （1）由试验结果知，使用A配方生产的产品的优质品率为P■=■=0.3，使用B配方生产的产品的优质品率为P■=■=0.42.

（2）由y=-2，t<94，2，94≤t<102，4，t≥102，得随机变量利润X的取值为-2，2，4.用B配方生产的100件产品中，质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，所以X的分布列为：

■

所以X的数学期望EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

11. （1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）=■×■=■. 所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为■.

（2）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，那么P（B）=3×■×■=■，所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是P（■）=1-P（B）=■.

（3）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4.那么P（ξ=0）=C■■×■■=■；P（ξ=1）=C■■×■×■■=■；P（ξ=2）=C■■×■■×■■=■；P（ξ=3）=C■■×■■×■=■；P（ξ=4）=C■■×■■=■. 所以随机变量ξ的分布列为：

■

Eξ=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■=■.

12. （1）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P=■.

（2）①

注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

■

图2

注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

■

图3

由图可以看出，注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数.

②得到如下2×2列联表：

■

由表可得χ2=■≈24.56；由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”. ■